1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 35

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 35)

2!5). 53. Исследовать на дифференцируемость функцию 1 1 Г (х) = х з!и — +х' э!п — при х чь О, у (0) = О. х х 54. Локазать, что функция 1 7" (х) = — з!их при х ныл, 7'(О) = 1 х имеет в любой точке производную 1 ! / (х) = — — з!пх+ — сов х прн х фО, 7 (0) =О. х! х Показать, что 7'(х) непрерывна, и найти 7" (х). 55. Функция 7" (х) непрерывна и дифференцируема на а <к <Ь.

Показать, что если у'(х) <0 при а <х < с н у'(х)~~0 при с < х<Ь, то функция у(х) нигде не принимает зйаченнй, меньших чем 7 (с). 56'. Если непрерывная функция 7" (х) имеет в окрестности точки х = с производную у'(х) в любой точке, отличной от самой точки с, н если у'(х) стремится к пределу Ь при х-+с, то существует и у'(с), причем у'(с) = ь.

11' ГЛ. П. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 164 67'. Если у(х) имеет производную у'(х) (не обязательно непрерывную) в любой точке интервала а <х < Ь и если У' (х) принимает значения щ и М, то она принимает и всякое значение р между т и М. 63. Если у" (х)) 0 при всех значениях х на а <х < Ь, то график функции у =у(х) лежйт выше своей касательной в любой своей точке х= =, > =у(3) (кривая обращена вогнутостью вверх). 60. Если у" (х)) 0 при всех значениях х иа а <х<Ь, то график функции у=у(х) в ийтервале х,.<х<хт лежит ниже хорды, соединяющей точки графика с абсциссамн х = х, и х =х,.

60. Если у" (х)>0 тоу~ '+ 1)< ( ' +~( ') т 1 6!. Лана функция У(х) = — х' — х'+1. Найти такое чнсло 6, чтобы 3 при всяком Ь, для которого ! й ( < Ь, и прн всяком х нз интервала — 1/2~ <х < 1/2 выполнялось неравенство 7 (х + !1) — у (х) ! 1 (у (х)- Ь ! < 100 ' 62. Дифференцировать прямым путем, на основании определения производной, следующие функции: а) )~х.; б) !Ях. Написать соответствующие формулы интегрирования. 63. Вычислить: 1 г 1 1 а) 1!щ =!(!+=+ ... + — 1; л-ьсо )Гп )г2 )1и / 1 г и 2п ,пп! б) Вщ — !!+вест — '+вес' — + ... +вес' — ~. и-ьш 4п 4п ''' 4п ~ 64.

Локазать, что; 1 а) ~ (х' — ! )' 1тх = 16/15; -! 1 б) ~ (х' — 1)" их=2~ — ( ) — +(") -1 !3)2 — + +( ) ( /!' (п! где символы ! ! обозначают бипомиальные козффицненты. Лет 1 Г 1(х 1 66. Показать, что 4+1 л х й < ~ — < — и 1, ! ," нх — + — +...+ — <1 — <1+ — +... + 2 3 ''' п 3 х 2 "' и — 1 1 смшплннын тпвлжнгиня к гллвн и 1бб л Доказать, что последовательность 1+ —,+...

+ — — ~ — (й = 1, 2„,,) 1 ! бах 2 '' й,~ х 1 убываюшая и ограничена снизу. бб'. Функцня г" (х) обладает тем свойством, что ув(х) йьб при всех значениях х, а и = и (т) — произвольная непрерывная функция. Тогда а у л — ) у (и (т)) чт >~ у 1 — ~ и (т) нт 1 Г 1 1 а л а л о бу*. Материальная точка, двигаясь прямолинейно, прошла за единицу времени расстояние, равное 1; свое движение она начала с состояния покоя и закончила состоянием покоя. Доказать, что в некоторый момент своего движения материальная точна имела ускорение, абсолютная величина которого не меньше 4. ГЛАВА !1! ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ В !. Простейшие правила дифференцирования и их применение В анализе и его приложениях дело обыкновенно обстоит так, что проблемы интегрирования важнее проблем дифференцирования, но выполнение дифференцирования представляет значительно меньше трудностей.

Поэтому при построении дифференциального и интегрального исчисления представляется естественным сперва научиться дифференцировать возможно более широкие классы функций и затем использовать полученные результаты с помощью основных теорем гл. 11, э 4, для решения проблем интегрирования. Залачей ближайших параграфов н будет проведение этой программы. При этом мы начнем опять сначала, а именно в систематическом порядке проведем важнейшие дифференцирования и интегрирования, не ссылаясь на реаультаты предыдущей главы. Важную роль при этом будут играть некоторые правила дифференцирования; с первыми из них мы, впрочем, уже поанзкомились в гл. 11, Э 3. 1.

Правила дифференцирования. Предполагаем, что функции г (х) и К(х) днфференцируемы в рассматриваемом интервале; тогда наши правила гласят: П р а в и л о 1. Умножение на постоянную. Если с — постоянная и ф(х) =с! (х), то ф(х) — дифференцируемая функция и гр'(х) = су'(х) или [су(х)]' = су'(х). Доказательство непосредственно следует из соотношения ф(х+ь) — ф(х) у(х+а) — у(х) — с Ь и предельного перехода при й -ь О. П р а в и л о 2. Производная алгебраической суммы.

Если ф(х) = =у(х) + К(х), то ф(х) — дифференцируемая функция и <р'(х)=г'(х) ~ й'(х) или [у(х) + д(х)[ =у (х) + д (х! т. е. процесс дифференцирования и операцию сложения можно переставить между собой. Это же справедливо и для суммы произвольного числа и слагаемых: если И д гр(х)=- ~а гв(х), то гр'(х)= ~а Г'„(х). в-! л ! и $ ь пРОстсишие пРАВилА диФФеРенциРОВАния и их пРименение (б7 Опускаем доказательство, которое поч~и очевидно согласно гл !! 53 Правило 3. )Уроизеодная произведения. Если гр(х) = у(х) А"(х), то функция <~(х) дифференцируема и гр'(х) = у'(х) д (х) + А"'(х)у(х) или ! у(х) А"(х)!' = ,у'(х) д (х) -+д' (х) у (х). Локазательство следует из равенства Ф(х+Ь) — Ф(х) у(х+Ь) е(х+Ь) — у (х) е(х) Ь Ь у(х+Ь) е(х+Ь) — У(х+ Ь) я(х) +7(х+Ь) я(х) — у(х) е(х) Ь у( +Ь) А'(х+Ь) — К(х) + ( ) у(х+Ь) -у(х) Ь В последнем выршкении переход к пределу при ~Ь вЂ” РО выполняется сразу и ведет непосредственно к докааываемой формуле.

Эта формула принимает еше более удобный вид, если разделить обе части на гр(х) = у (х) и (х) '). Мы получаем тогда Ф'(х) у'(х) я' (х) т (х) Х (х) а (х) ' или в более удобной = у1(х) ут(х) ... у'„(х): <р (х) у,(х) = — + Ф(х) у, (х) форме, разделив обе части на ср(х) = ! «-1 ') При этом полученная формула будет, конечно, верна лишь в тех точках, где и (х) не обращается в нуль. Если применить эту формулу дифференцирования произведения несколько раз, то для производной от произведения и функций получается методом полной индукции вырзжение, состоящее из и слагаемых, каждое из которых представляет произведение производной одного из сомножителей на остальные сомножители первоначального произведения. Запишем это формулой: «р'(х)= — „(у,(х)~,(х) ...

у„(х))= =,У',(Х),~т(х) ~ (Х) +,У,(х)УЯ(Х) У (Х) + л ... -+у',(х)у,(х) ... у'„(х)= ~у' (х) ~ А 1 168 гл. нь дичсевгвнцигование и интегиигованив Пр аз и по 4. Производная частного (дробсс). Для частного ср(х) = л (х) имеет место следующее правило: во всех точках, в которых н(х) не обращается в нуль, функция ф(х) днфференцируема и р/(х)1' Х(х)/'(х) — б'(х)/(х) ) е(х)) [д(х)Р или, если ср(х) Ф О, ср' (х) /' (х) Ьи (х) ср(х) / (х) д (х) Если заранее допустить дифференцируемость функции ф(х), то на основании правила дифференцирования произведения из соотношения /(х)=ср(х)д(х) можно заключить, что /'(х) = ср'(х)х (х) +-л'(х)ср(х). Если в правой части заменим ф(х) через и из полученного /' (х) е (х) уравнения найдем ср'(х), то получим указанное правило.

Однако для того, чтобы доказать одновременно н дифференцируемость функции, мы поведем доказательство следующим образом. Пишем; / (х + Л) / (х) ср (х+ Ь) — ср (х) сг (х+ Ь) л (х) а д (х) /(х+ 6) — /(х) д(х+Ь) — л(х) в — — / (х) й //(х+В) х (х) Заставим теперь lг стремиться к нулю. Согласно условию существуют пределы /(х+Ь) — /(х) ь-+о в 11гп + = — Г'(х) н )(тих(х+-/с)=а'(х). Следовательно. сусцествует и предел выражения, стоящего в левой части, равный ср'(х), н искомая формула дифференцирования частного доказана. 2. Дифференцирование рациональных функций. Выведем сперва еще раз для любого целого положительного п формулу сс х сс — с — х =ах с/х опираясь на правило дифференцирования произведения. Рассматри- 2)» 1.

ПРОСТЕНШИГ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И ИХ ПРИМИ!ЕНИЕ 139 заем х' как произведение и множителей: хл — — х ° х... х, и получаем тогда — хл = 1 ° хл + 1 ° хл + ... + 1 х' = ихл ах Вторая производная функции хл получается непосредственно, если воспользоваться только что полученной формулой и нервьи| правилом дифференцирования: » » †, —,х —.— и(!г — 1) х ах» отсюда таким же путем ,гз — ха = и (и — 1) (и — 2) хл н.ез ал — х»=1 2 ... и=!г1 ил» ясно, что (и+!)-я производная от хл тождественно равна нулю.

Умея дифференцировать степени, можно уже на основании правила дифференцирования суммы найти производную от целой рациональной функции у — ае.+агх+ агхз+ ... -! — алх Получится просто у'= а, + 2а,х-(-За.хз-+ ... — 1-иа х» далее, у" = 2аа+3. 2а„х-+ ... -+и(и — 1) алхл у"= — и!а., у =у = ...

=О. (») (л 1) (» ! 2) Дифференцирование дробных рациональных функций получается теперь с помо!Дью правила дифференцирования частного. В частности, выведем ец(е раз формулу дифференцирования функции х", когда и= — ги есть целое отрицательное число. Прзвило дифференцирования дроби, поскольку производная числителя равна нулю, дает результат т-! .2т ллч! , т или, если заменить ги через — и, и Х» иХ» -1 ах что формально вполне совпадает с формулой для положительного и и согласуется с результатом, полученным ранее (гл. Н, и 3, и' 3, стр. 120). !70 гл.

пь днеегввшивовлннг. и ннтгп нговлние !з 3. Дифференцирование тригонометрических функций. Лля тригонометрических функций гйпх и совх мы уже раньше (стр. 121) получили формулы дифференцирования: а' — з!и х = соз х и — соз х = — 5!и х. Ых С помощью правила дифференцирования частного можно теперь проднфференцировать также функции в!и х сов х у=!их= — и у=с!ах= Производная Первой функции, согласно этому правилу. равна соз х+в!Пвх 1 созвх Созгх ' и мы получаем — !их = =1 + гйгх= весах. ! их сов' х Совершенно так же получается и 1 — с!и х = — —.

= — (1+ с!дг х) = — созесг х. дх в!пв х й 2. Соответствующие формулы интегрирования 1. Общие правила интегрирования. Основная теоремз гл. !1, Э 4, стр. !37, и определение неопределенного интеграла дают возможность отнести каждой формуле дифференцирования соответствующую эквивалентную ей формулу интегрирования. Нижеследующие правила интегрирования (из которых первые два уже упоминались на стр. 107) вполне эквивалентны первым трем правилам дифференцирования. Умножение на постоянное число. Если с — число постоянное, то ~ сУ(х) дх = с ~ ~(х)дх. Интегрирование алгебраической суммы. / ]у(х) + и'(х)]дх= / 7(х)дх + ] и(х) Хх. Третьему правилу дифференцирования соответствует правило интегрировании произведения, часто называемое правилом интегрирования по частям. Из правила дифференцирования произведения получаем интегрированием ~ ~у(х)и.(х)]'г(х = ~ !'(х)у'(х)г!х]- ~ й(х)У'(х)г7х. т! $ Х СООТВЕТСТВУЮШИР ФОРМУЛЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 17! Неопределенный интеграл в левой части равен, очевидно, у (х) Гг(х) (с точностью до постоянного слагаемого); поэтому ~ у (х) д' (х) Г(х = у (х) и (х) — ~ А (х) у'(х) ах.

Это и есть формула интегрирования проиаведения (формула интегрирования по частям). Эта формула дана здесь только для полноты, как соответствуюшая формуле дифференцирования проиаведения; мы займемся ею обстоятельно в следующей главе (сл!. стр. 248), 2. Интегрирование простейших функций. Полученным выше формулам дифференцирования отдельных функций мы теперь противопоставляем по сушеству эквивалентные им формулы интегрирования. Формула — х" = «х" лх влечет за собой формулу интегрирования х" ' Г(х = — + С, «ть О.

Характеристики

Список файлов книги