1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

Для доказательства преобразуем приращение неопределенного интеграла: Ф(х+ Ь) — Ф(х) = ~ г (и) йи — ~ у (и) йи = а а «+ь у (и) йи+ ~ у (и) йи = )Г у (и) йи, (1) гл. и. основнын понятия Этот результат очень нагляден, если воспользоваться геометрическим х+а толкованием интеграла как площади; ~: г (а) Ни выражает площадь к криволинейной трапеции от ординаты, соответствующей абсциссе х, до ординаты, соответствующей абсциссе х+л (рис. 45). Пусть хе — та точка интервала между х и х+л, где у (х) принимает свое наибольшее значение у (хв), и х, — та точка, в которой у (х) принимает наименьшее значение у(х,); тогда мера рассматриваемой площади заключается между числами лГ"(хз) и Ьу(х,), т. е. между площадями двух прямоугольников, имеющих общее основание — отрезок оси и от х до х+л и равные высоты г(хз) н Г(Хг).

Итак, Ф (х+Л) Ф(6) у( (2) Это двойное неравенство справедливо как при и ) О, так и при и ( О. На рис. 45 изображен тот случай, когда у (и) ) О в промежутке интегрирования [а, д]. Оно справедливо и в том случае, если у(и) (О на [а, Ь], но тогда потребуется другой рисунок, на котором г(и) лежит ниже оси а. Значительно сложнее рассмотрение общего случая, когда Р»г у'(и) принимает в интервале [х, х+Й[ значения различных знаков, т. е. когда график у(и) пересекает в этом интервале ось и. Другими словами, графическое рассмотрение наглядно и быстро приводит к цели, если ограничиваться простейшим случаем. А ведь надо еще рассмотреть разные возможные случаи при а Ь1 То же самое неравенство (2) можно получить аналитически из определения интеграла как предела суммы, не прибегая к геометрическому истолкованию, к тому же сразу для всех возможных 'случаев.

Для этой цели на основании равенства (1) пишем: к»а и [ ) ( ) = — „~ Г'(а)с(и= — „11ш лг'у'(и )Аи, (3) »-+о» Х »'=1 где из= х, и,, аю .... и„=х+Ь представляют точки деления интервала от х до х+л и наибольшая абсолютная величина разностей Ьи =и,— и, стремится к нулю с возрастанием л. Но — „не- лли пременно положительно, каков бы ни был знак Ь1 кроме того, г! З ь неопееделеннын ннтегеьл. пеевоовеьзнля 139 у(хе))~у(и ))~у(х!). Отсюда — „У(хе)ч~МЛи,) Л ~~1( ч)Л,) — „У(х!) ~~ Ли,. Но ~~'., Ли, =,Я~ (и, — и,) = (и, — ае) + (иг — и,) -+ ... ч-! ' ч-! ... +(а, — и„,) = и, — из=(х+Ь) — х = Ь, и последнее неравенство примет вид л У(хе) )~ — ~ г (и,) Ли )~ у(х,), ч=! Переходя к пределу прн и — ьсо, получаем на основании (3) «;ь у (хр) )~ — „~ у (и) йи ) у'(х,), т.

е, неравенство (2): ч! (х + Ь) — Ф (х) Пусть теперь й стремится к нулю; тогда, вследствие непрерывности функции у(х), значения г(хь) и у(х!) должны стремиться к одному и тому же пределу у(х), и мы сразу убеждаемся, что Ф'(х)=!!нп ( + ) ( ) =-у(х); Ь тем самым теорема доказана. Из доказанной дифференцируемости функции Ф(х) тотчас же на основании 3 3, и' 5, стр.

122, следует: интегрил от непрерывной функции у (х) есть в свою очередь непрерывная фунниил своего верхнего предела. ь Для полноты заметим, что при рассмотрении опрелеленного интеграла не как функции верхнего. а как функции !р(х) его нижнего предела производная равна не г"(х), а — у (х), т. е. если <р(х) = ~ у (а) йи, « то «р'(х) = — у (х). !з гл. и. основныи понятия Доказательство этого получаем сразу, заметив, что ~ Г (и) йи = — ~, ') (и) йи.

3. Первообразная функция; общее определение неопределенного интеграла. Только что доказанная теорема обнаруживает, что неопределенный интеграл гр(х) сразу дает решение следующей задачи: дана функция у(х). Найти такую функцию р(х), что р' (х) = г'(х). Эта задача требует от нас обращения процесса дифференцирования. Это — одна из типичных задач на построение обратной операции, которые встречаются в математике во многих местах и с которыми мы уже неоднократно в этом курсе знакомились, как с плодотворным принципом математического творчества.

Так, например, первое расширение понятия о натуральном числе 'произошло под влиянием требования об обращении известных простых действий над числами. Образование обратных функций приводило нас и еще приведет в дальнейшем к новым видам функций. Такая функция Г(х), для которой р'(х) = г (х), называется перво- образной или примитивной функцией для функции г'(х) или, короче, переообразной от у (х); этим названием хотят отметить, что функция Т" (х) получается из Р(х) дифференцированием. Эта проблема об обращении дифференцирования, или о нахождении первообразной функции от г" (х), на первый взгляд имеет совершенно иной характер, чем проблема интегрирования. Однако же результат, полученный в п' 2, показывает, что неопределенный интеграл гр(х) от функции Г" (х), к т. е. ~ Т(и)йи, является первообразной функцией для г(х). е Однако этим результатом задача о нахождении первообразной функции еще не вполне решена, ибо еще не известно, получены ли этим путем есе решения задачи.

На вопрос о совокупности всех перво- образных функций дает ответ следующая теорема (которую иногда также называют основной теоремой дифференциального и интегрального исчисления): Разностз двух различных перзообразкых функций Р, (х) и Р(х) для одной и той же функции Г'(х) всегда постоянное число: р, (х) — р (х) = с. Таким образом, из одной переообразяой функции Р(х) получаются асе остальные е виде Р(х)-+с при соответствующем выборе постоянной с.

Обратно, выражение Р,(х) = Р(х)+с представляет перзообразкую функцию от Т(х) при всяком значении постоянной с. з1 $ Е НЕОПРЕДЕЛЕННЫИ ИНТЕГРАЛ, ПЕРВООБРАЗНАЯ 141 Что при любом выборе этой постоянной с функция Р(х)+-с является первообразной функцией от 1" (х) одновременно с Р(х), видно сразу на основании правил дифференцирования (стр. 120 и 122) — ( Р (х) -+ с) = — „Р (х) +- — = Р' (х) + О = У (х). Остается теперь только доказать, что разность двух произвольных первообразных функций Р,(х) и Рз(х) является постоянной.

Для этого рассмотрим разность Рз(х)-Р1(х) =0(х) и вычислим производную 0 (х) = — 1Рз(х) — Рг(х)~ = Рз(х) — Рг(х) = У(х) — У(х) = О. Но функция, производная которой повсюду равна нулю, должна изображаться кривой, в любой точке которой касательная параллельна оси х, т. е. сама функция должна быть постоянной; таким образом, 0(х) = с, как мы и утверждали.

Это же можно доказать, не прибегая к геолгетрической интуиции, с помощью теоремы о среднем значении следующим образом: имеем 6(хз) — 0(х4) =(хз — х4) 0'(~); хг ( 5 < хз. Так как производная 0'(х) равна нулю прн всех значениях аргумента, а стало быть, и при любом промежуточном значении ~, то сразу получаем 0(хз) = 0 (х,); но х, и хз — два произвольных значения х в рассматриваемом интервале, следовательно, 0(х) сохраняет постоянное значение в этом интервале. Принимая во внимание, что неопределенный интеграл Ф(х) = = ~ г"(и)с(и является первообразной функцией для 1"(х), можно а теперь утверждать: Всягсая первообразния функция Р(х) от у (х) может быть представлена в виде Р (х) = с+.

Ф (х) = с + ~ Г (и) би, а еде с и а — постоянные; и обратно, это выражение представляет при любом фиксированном значении а и произвольной постоянной с первообразную функцию от у'(х). На первый взгляд кажется, что постоянную с можно опустить потому что при изменении нижнего предела интеграции а неопределенный интеграл уже изменяется на аддитизную постоянную. 142 гл. и. основные понятия Однако, если отбросить с, во многих случаях фактически получились бы не все первообразные функции, как показывает пример функции Г'(х) =О. В этом случае неопределенный интеграл в смысле и' 1 всегда равен нулю, каков бы ни был нижний предел а; первообразной же функцией от У(х) = 0 является любая постоянная. Другой пример дает функция у(х)= у'х; она определена только для неотрицательных значений х, и мы ограничимся только неотрицательной однозначной ветвью корня (т.

е. у(х))~0), Тогда неопределенный интеграл будет Ф(х)= — хй — — аь, 2 ° 2 з 3 3 и мы видим, что, как бы мы ни выбирали нижний предел а, всегда неопределенный интеграл Ф (х) получается путем прибавления к' — хя постоянной ( — — а~~, которая ~.0; между тем, например, , 2 / 2 3 3 — х" +1 также является первообразной функцией от у'х. Поэтому 3 в общем выражении (*) для первообразной функции нельзя обойтись без аддитивной постоянной с.

Характеристики

Список файлов книги