1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Предельный переход 1!щ а, = а приводится теперь к предель- Р;ь Р ному переходу !К а = ! Пп !К а, = ! 'Нп у (х,) — у (х) . оу = 1!ш Р,.+Р ж.+л Х~ Х д»-+О ДХ (Когда х,— »х, то Ьх=х, — х-»0.) Предел дроби, стоящий в правой части этого равенства, т. е. предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной, когда это последнее приращение стремится к ну лю. называется производной функции У=Г" (х) в точке х и обозначается, по Лагранжу, символом у'=г" (х) или, по Лейбницу, символом — У, йх ' йу(х) и или —, или — У(х).

На стр. 126 мы рассмотрим смысл обо- йх .' йх вначений Лейбница '); . здесь же мы отметим, что обозначение 1 й ) Символ — следует пока рассматривать только как символическую йх замену термина «производная». (Приме перев.) гл. и. основныв понятия !16 у!агранжа у'(х) выражает тот факт, что производная в свою очередь является функцией от х, так как она имеет определенное значение для каждого значения х рассматриваемого интервала. Этот факт иногда подчеркивают, пользуясь термином производная функция. Теперь имеем: т. е.

тангенс угла от положительной осн х до касательной (другими словами, угловой коэффициент касательной) равен производной от ординаты кривой у = у (х) по абсциссе. Вернемся к определению производной: У'(х) = 1(ш >к х,— х или — = у'(х) = иу иу (х) г их у(хд у(х) . лг . у(х+И) у(х) к к х,— х зк обх а о Ь причем последняя запись получается, если положить х, = х+уз, так что й = х, — х = Лх есть приращение аргумента. Заметим, что в литературе, особенно в английской, встречается еше обозначение производной по Коши: Оу (х) (Пбг1гее — производная по-франнузски). Следует предостеречь против попытки вычислять производную непосредственно — подстановкой х, =х в выражение отношения приу (х,) — у(х) ращений, так как при этом числитель и знаменатель 1 обратятся в нуль и получится лишенный смысла символ О/О.

Фактическое выполнение предельного перехода требует в каждом отдельном случае некоторой подготовительной работы — преобразования отношения приращений. В качестве примера возьмем функцию У(х) = х'. Имеем у (х1) — у (х) х1 — х Лу (х)— — х, +х. х,— х х,— х х — х 2 2 1 Функция х,+х не совпадает полностью с функцией, так как х,— х х,— х г 2 функция х, +х определена и в той точке х, = х, в которой дробь х,— х ие определена.

Прн всех остальных значениях х, обе функции равны; поэтому в процессе перехода к пределу, для которого мы специально поставили г х1 — х требование х, +х, получится то же самое значение как для йш к,-ьк х, — х З з. ппоизводнля 117 так н для !нв (х,+х). Но функция х,+х определена и непрерывна х, -+х в точке х, =х; поэтому с нею можно делать то, чего нельзя было делагь с дробью, а именно выполнить предельный переход х, -эх просто заменой х, через х, Для производной получится выражение а (х') У (х) = — =2х илн (х')'=2х.

Их Выполнение такого прелельного перехода, т. е. действительное нахождение производной, называется дифференцированием функции 7(х). В дальнейшем мы увидим, что этот процесс дифференцирования можно действительно провести лля всех важных функций, и научимся это делать. Большое значение имеет тот факт, что задача дифференцирования заданной функции у'(х) имеет определенный смысл независимо от геометрического представления касательной.

Подобно тому, как при определении интеграла мы освободились от первоначального геометрического цаглядпого представления площади и, напротив. обосновали понятие плошади, опираясь на определение интеграла, так мы теперь, независимо от геометрического изображения функции с помощью кривой, определяем производную арифметически, как новую функцию у' = 7"'(х), приведенным выше равенством в прелположении, что предел отношения приращений существует. Если этот предел существует, то говорят, что функция у'(х) дифференйируема. Отныне мы всегда будем молчаливо предполагать, что всякая функция, с которой мы имеем дело, дифференцируема, если определенно не указано противоположное').

Следует заметить, что для днфференцируемости функции 7'(х) у(х+ Ь) — у(х) в точке х существенно, чтобы предел + при й --ь 0 Ь существовал независимо от того, каким образом й стремится к нулю„пробегает ли й только положительные или только отрицательные значения нли значения того и другого знака. + ь) — у Левый предел, йщ ~(~ (ь), если он существует, называется аь -з Ь левой иронзводной от функции У (х) в точке ь и обозначается символом У (с); правый предел, 1!щ " " ь, называется правой производной л.++о л в точке а н обозначается У~ ($).

Ясно, что производная У'(З) существует в том н только в том случае, если левая н правая производные в точке В существуют н равны друг другу, н тогда У (с) = Уь (э) = У' (4). Не следует смещнвагь У (Г) с У (С вЂ” О) и У~ (Г) с У (Г+О). Согласно определению н обозначению односторонних пределов (стр. 08), У'(э — О) = ') Примеры случаев, когда это предположение не выполняется, будут.

приведены позже (см. и'5, стр. 122). Гл. н. Основныв пОнятия 118 ип! у'(х) есть левый предел производной у'(х) (прн стремлении х к 5 «.+1-о слева), и этот левый предел может ие совпадать с левой производной в точке 5, ау'(5+0) = Ип! у'(х) есть правый предел производной у'(х) «-ь1+о (при х -+ $ справа), причем этот правый предел вровзводзой может ие совпадать с правой производной в точке 5 Может случиться и так, что, запрпмер, левая производная У (5) существует, а левый предел производной в точке 5, т.

е. У'($ — О), ве существует, в т. п.) Коль скоро найдена производная у'(х), мы можем принять за .касательную к кривой в точке (х, у) прямую, проходящую через эту точку и имеющую угловой коэффициент 1я а = у'(х). Основывая Рис. 35. геометрическое определение на аналитическом, а не наоборот, мы избегаем таким образом тех затруднений, которые возникают вследствие неопределенности геометрической интуиции.

Тем не менее наглядное представление производной с помощью касательной к кривой является, конечно, важным вспомогательным средством для понимания и в чисто аналитических рассуждениях. Так, мы сразу получаем интуитивно очевидное положение: если у'(х) имеет положительное значение, а кривая описывается в направлении :возрастания х, то касательная направлена вверх; следовательно, кривая в этом месте поднимается в сторону возрастания х (рис. 35, а); .если же у'(х) имеет отрицательное значение, то касательная направлена вниз, и кривая опускается при возрастании х (рис. 35.

б). Аналитически этот факт следует из замечания, что прн положитель- у (х + Ь) — у (х) ном г! предел может иметь положительное значение л лишь в том случае, если функция возрастает в точке х. т. е. если значение г(х+-л) больше, чем у(х), при положительном й и меньше, чем у(х) при отрицательном й, при всех значениях л, достаточно близких к нулю. Аналогичное рассулсгение применимо при отрицательном значении у'(х). $3. ПРОИЗВОДНАЯ 2. Производная кик скорость.

Та же непосредственная интуиция, которая дает нам представление о направлении кривой и вместе с тем о касательной к ней, заставляет нас приписывать каждому движению некоторую скорость. Определение скорости приводит нас как раз к тому же предельному переходу, который мы назвали дифференцированием. рассмотрим, например, движение точки по прямой линии, на которой положение этой точки определяется координатой у, представляющей взятое с определенным знаком расстояние этой точки от неподвижной начальной точки этой прямой.

Лвижение вадано, если известна величина у = у"(1) как функция времени 1. Если у (1) есть. линейная функция у'(1) = с1-+д, то движение называется равномерным движением со скоростью с, и для любых различных значений 1 и 1, можно писать с= ~ Скорость является, таким образом, отношением приращения функции с1-+д к приращеНию независимой переменной С, и это отношение совершенно не ззвисит в данном случае от того, какие моменты времени 1 и 1, мы берем.

Но что же следует понимать под скоростью движения в момент 1, если движение неравномерно? Лля того чтобы прийти к такому определению, рассмотрим отношение — 1-, которое назовем средней скоростью за промежуток времени между моментом 1 и 1и Если теперь средняя скорость приближается к определенному пределу, когда момент С, все более и более приближается к моменту 1, то этот предел мы примем за скорость в момент 1.

Лругими словами, скорость в момент г определнетсл производной: у'(1) =!'Нп Это новое применение понятия производной, которое само по себе. не имеет ничего общего с задачей о касательной, показывает, что действительно целесообразно дать определение прелельного перехода дифференцирования как аналитической операции, независимо от геометрической интуиции. Лифференцируемость функции у = у (1), характеризующей движение, является и в данном случае допущением, которое мы всегда будем делзть, не оговаривая этого специально, и которое безусловно. необходимо, для того чтобы понятие скорости имело смысл.

Характеристики

Список файлов книги