1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Известно, что ась~(М и х~+х~+хзз~!. Доказать, что атсх~с+2а!ах|ха+ ... +аззхз <ЗМ. 11". Доказать, что если числа а„аз, ..., а„и Ьь Ь,, ..., Ь удовлетворяют неравенствам а, > аз>~ ... )~а„и Ь, > Ьт> ... > Ь„, то л ~Ч'~, а!Ь! > ~ а! ~ Ь, . 1д Доказать следующие свойства биномиальных коэффициентов: ) ! (1)+(2) (3)+ ''' ( ) О' б) ( )+2(2)+3(- )+ ... +л( ) =л2л в) 1 ° 2(2)+2 3(3)+ ... +(л — 1)л( л) = а(л — 1) 2л (~)'+(")'+ — +(.")'=('") 13.

Суммируя выражения и(и-)-1)(и+2) ... (и+А+1) — (и — 1) и(и+1) ... (и+А) по и от и = 1 до и = л, показать, что л и (и + 1) (и + 2) ... (и + Ь) = + '' + 6+2 14. Вычислить 1'+2'+ ... +л', используя тождество ит = и (и + 1) (и + 2) — 3и (и+ 1) + и. СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ Г 15.

Вычислить следующие суммы: 1 1 1 1 ° 2 3 2.3.4 ''' ' л(л+1)(л+2) ' 1 1 1 1 б) — + — + —,+ ... 1.3 2 ° 4 3 5 ''' л(л+2) ' 1 1 1 1 2 4 2 3 5 '''+ а(л+1)(л+3) !6. Составить формулу для л-го члена следующих арифметических прогрессий высших порядков (см. упр. 5, стр. 46): а)1,2,4,7,11,16,...; б) — 7,— 10,— 9,1,25,68,... !7'.

Показать, что сумма первых л членов арифметической прогрессии порядка Ь (см. упр. 5, стр. 46) ранна аЗА+ЬЗА, + ..., +р3, + 7л, где Ь' обозначает сумму ч-х степеней первых л натуральных чисел, а коэффициенты а, Ь, ..., р, д не зависят от л. Вычислить сумму первых л членов каждой прогрессии в упр. !6. 18*. Доказать формулу бинома Ньютона ( ! Ь)л л ! ( ) л-1( ! ( ) л-тйз ! ! (л методом математической индукции (см. также стр. 228). !9. Вычислить следующие пределы: 1 1 1 а) 1йп( — + — +...+ (1 2 2 3 ''' л(л+1))' 1 1 1 (1 2 3 2 3 4 ''' ' л(л+1)(л+2))' 1 1 1 л'ь" ( ~/л У'л+ ! ~гг2л / 20.

Зная, что ч', а!=О, доказать, что 1!ш ~~~~ а! 'Ггл+(=О. г-е л.ь' г-о лл 21. Доказать, что 1!ш — „=О. л-!Улл 2 (л+ 1)' 22. Доказать, что !!ш „= О. л 2л л 23. Доказать, что !нп )/л' 1. тл+т 24. Доказать, что 1(ш ~/лт ) „=1. л -Э лл 25. Показать с помощью критерия сходимости Коши, что данные ниже последовательности сходятся: а) ал= —; б) ал=— л+1 л л 1 1 1 в)" ал =1+ — + — + ...

+ —; 1! 2! ' ' л! ' 1 1 1 1 г') ал=1 — — + — — — — ... ~ —. 1! 21 3! ''' л1 ' гл.!. подготовитгльныи млтвннлл 26', Показать, что пределы последовательностей в) и г) предыдущего упражнения являютсн взаимнообратными числами (так что предел последо- вательности г) равен 1/е). 27'. Доказать, что предел последовательности )'2, )с 2+у'2, )сс2+ )/ 2+)с2, ... а) существует; б) равен 2. 26'. Доказать, что предел последовательности 1 1 1 а„= — + — + ...

+— л л+1 ''' 2л существует. Показать, что этот предел меньше чем 1, но не меньше чем !/2. 29, Доказать, что предел последовательности 1 л+1 + '''+2л равен пределу из предшествующего упражнения и что он больше чем 1/2, но не больше чем 1. 30. Для предела Е из предыдущих двух упражнений вынести следующее неравенство: 37/60 < Е < 57/60. 3!'. Пусть а,, Ь, — два любых положительных числа, и пусть а, < Ьь 2а1Ь, Положим а, = Ь, = Г а,/>, и вообще а,+Ь, 2а„ ,Ь„ а„ = -+ , — , ь„ = а„ ,ь„ ,. аи — 1+ и-1 Доказать, что последовательности аь а,, ... и Ьо Ь„... сходятся и имеют один и тот же предел. 32'.

Доказать следующую теорему: если аи > 0 и 1!ш ~"+' Е, то и и-ьси аи !!ш )' а„= 6. и -э. ои ЗЗ. Пользуясь теоремой упр. 32, вычислить пределы последовательно- стей: и и и /са! а) )'и: б) )слэ+лс! в) ~l — „. 34. Пользунсь результатом унр. 33в), показать, что л! =- лии-иа где а„есть функция индекса, обладающая свойством; )' аи — ь1. (См.

Допол- нение к гл. тг!1, стр. 422.) 35. Доказать, что йш =2. Найти такое число Ь, что при (х(<Ь х+2 .сао х+! х+2 абсолютная величина разности между 2 и 1 а) меньше чем 1/10, х $.1 б) меньше чем 1/1000, в) меньше чем е, е > 36. а) Доказать, что !(ш — = —. Найти такое Ь, что при !! — х!<Ь х+2 3 к.ь ! х+1 2 3 х+2 абсолсотная велвчнна разности между —, и — меньше чем е, а ~ О. 2 х+1 5!и х Сделать то же самое для б) !!ш)'1+х'; в) 1нп х -ь 2 с-ьа Х смептлнные упРАжнения к ГлАВе Р31 37.

Доказать, что: а) Ип1 + =; б) Ит т'х-(-1/2(Ух+1 — Гкх)= 1/2. к-ьо х 2 ' к.ьоо 38. Доназать, что 1йп (соз пх)™ существует при любом значении х и равен 1 при х целом и 0 в противном случае. 39'. Доказать, что Ищ ( Ищ (солил!х)™] существует при любом зиал+оо [и+ о чении х и равен 1 прн х рациональном и 0 при х иррациональном. 40.

Выяснить, какие из следующих ниже функций непрерывны. Для тех из них, которые разрынны, найти точки разрыва. В) У(х) = Ип! (соз пх) ! г) У(х)= Ищ ] Игп (созна!х)™]. 41. Функция у(х) непрерывна при 0 <х <1. Известно, что у(х) при- нимает только рациональные значения и что У(1/2) = 1/2. Доказать, что У(х) = 1(2 во всем промежутке 0 < х < 1. 42.

Имеет ли функция у (х) = 2 з!пЗх+ 10 соя 5х действительные корни2 43'. Функция У(х) удовлетворяет функциональному уравнению у(х+у) = у'(х) +у(у) при всех значениях х и у. Найти значения у(х) в рациональных точках и доказать, что если у (х) непрерывна, то у (х) = сх, где с — постоянная. 44'. Доказать теорему: если у(х) равномерно непрерывна в полуот- крытом интервале а < х < Ь, то у(х) стремится к определенному пределу при х -ь а (этот предел можно принять за значение фуннции при х = а).

45. Построить кривые по их уравнениям в полярных координатах и вы- разить уравнения этих кривых в декартовых ноординатах: 2 а) г = а+ Ь соз О (улитка); б) г = (эллипс); 2 — соз О 2а з!пт О За з!и 0 соз 0 в) г = О (циссоида); г) г =,, О (декартов лист). 8 з!п 0 +соло О 46'. Показать, что уравнение эллипса, один фокус которого находится в полюсе полярной системы координат, имеет следующий вид: г= р 1 с соз (О Оо) 47. Комплексная переменная «=х+!у изображается точкой в декар- товой системе координат.

Построить кривые; « — ! ! ! « — и а) ~ . ~ = 2; б)* ~ — ~ =. Ь, где а, () — комплексные постоянные, «+( ( ' 1« — () а Ь вЂ” действительная положительная постоянная; в) 1«' — 1) = д. 48. Пусть сь ст — два коыплекснык числа. Доказать, что; а) ! с, ж сз ! < ! с,( + ( ск !; б) ! с, ж с, ! ) (! с, ! — ) со!~. 49. Доказать тождество ! с, +с, Д+(с, — с, !о = 2(с, !'+2 ! с, Р, где сь с,— компленсные числа.

Выяснить геометрический смысл этого тож дества. 50. Доказать формулу Муавра (соз 0+ ! з! и 0)" = соз лО+( з!и л8 мето- дом математической индукции. ГЛАВА П ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Из понятий, связанных с предельным переходом в анализе, два играют особенно важную роль, не только потому, что они то н дело встречаются в самых различных вопросах, но прежде всего в силу того, что они находятся между собой в тесной вззимной связи. Зги два понятия — интеграл и производная.

Приводящие к ним предельные переходы рассматривались на отдельных разрозненных примерах уже давно, частью уже в классической древности; но началом настоящего, систематического развития интегрального и дифференциального исчисления является лишь тот момент, когда ааметилн тесную взаимную связь между этими понятиями и, опираясь на эту связь, положили их в основу совершенно новых методов исчисления. Этим мы обязаны в равной мере двум великим умзм ХЧП столетия — Ньютону и Лейбницу, которые, как в настоящее время установлено.

сделали свои открытия независимо друг от друга. Хотя Ньютон в своих исследованиях, быть может, достиг большей ясности понятий, однако обозначения и методы вычисления Лейбница получили более высокое развитие. Еще и в настоящее время эти формальные стороны концепции Лейбница являются необходимым элементом теории. В Н Определенный интеграл В первую очередь мы рассмотрим понятие интеграла. Это понятие, по существу и из исторических соображений, следует выдвинуть на передний план в значительно большей мере, чем это обычно практикуется в силу действующей поныне педагогической традиции, покоящейся на случайных обстоятельствах. С понятием интеграла мы впервые встречаемся в задаче измерения площади плоской криволинейной фигуры.

Более тонкое рассмотрение позволяет затем тотчас освободить понятие интеграла от наивного представления площади и приводит к чисто аналитической формулировке, построенной на понятии числа. Значение этого анзлитического определения интеграла обнаруживается не только в том, что единственно оно дает нам полную логическую ясность, но и в возможноств разнообразных приложений, далеко выходящих за пределы определения площади. Начнем с наглядного рассмотрения. 1 ь опоиделенный ннтвголл 103 1.

Интеграл как площадь. Пусть на некотором интервале задана непрерывная положительная функция 7(х), и пусть х=а и х=Ь (а < Ь) — два значения в этом интервале; представим себе эту функцию изображенной в виде кривой и рассмотрим площадь, ограниченную этой кривой, двумя прямыми х = а и х =Ь и, наконец, частью оси абсцисс между точками а и Ь (рис. 27). [Эта фигура называетсг криволинейной У трапецией,[ у =Лухл То, что есть определенный смысл говорить об этой площади, является допущением, внушаемым интуицией, и мы здесь формулируем это явно в качестве гипо- ь тезы.

Мы называем эту площадь гь олределенным интегралом от функции у'(х), взятыль от а до Ь. Если мы попытаемся а' х действительно выразить эту плошадь именованным числом, то сразу увидим, что не Рис. 27. умеем измерять площади фигур. ограниченных кривыми линиями, но зато умеем вычислять площади любых прямолинейных многоугольников. разбивая их на треугольники или прямоугольники.

Точно провести такое разбиение нашей плошади в общем случае невозможно. Но весьма естественно представить эту площадь как предел суммы плошадей пряу~ моугольников следующим образом. Делим отрезок оси абсцисс между точками а и Ь на л равных частей и восставляем во всех Г! точкзх деления ординаты до пересечения с кривой; таким образом, площадь разбивается на и полос. Площадь каждой из этих полос столь же трудно вычислить непосредственно с помощью функции у (х), как и всю искомую площадь; но если мы, а' как это видно на рис. 2В, найдем в каждом частичном интервале наибольшее или наименьшее значения функции 7(х) и заменим соответствующую полосу сперва прямоугольником с высотой, равной наименьшему значению функции, а затем прямоугольником с высотой, равной наибольшему значению функции, то получим две ступенчатые фигуры; ступенчатая ломаная одной фигуры вычерчена сплошной линией, другой — пунктиром. Первая ступен- ь чатая фигура имеет, очевидно, плоШадь, меньшую искомой площади р„ а другая — площадь, большую чем Рт Обозначим обе эти площади, полученные тем и другим путем, соответственно через г.„(нижняя сумма) и ре (верхняя сумма); тогда имеет место соотношение 'е <~а<~и ГЛ.

Характеристики

Список файлов книги