1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Из этих чисел остается выбрать наибольшее. оно и будет .точной верхней границей 0 множества. Очевидно, всегда 6)~Р, и легко убедиться в следующем факте: Если точная верхняя граница не совпадает с верхним пределом, то она принадлежит множеству и является его «изолированной» точкой. Аналогично доказывается, что всякое ограниченное числовое множество имеет точную нижнюю границу я', которая не превосходит нижнего предела а: а ( ц. Если д + а, то точная нижняя граница д принадлежит множеству и является его «изолированной» точкой.
В 2. Теоремы о непрерывных функциях 1. Наибольшее н наименьшее значения непрерывных функ:ций. Ограниченное бесконечное числовое множество должно всегда иметь точную верхнюю границу О н точную нижнюю границу д'. Однако эти числа О и д, как мы видели, не обязаны принадлежать числовому множеству, или, как говорят, числовое множество не должно Обязательно иметь наибольшее нлн наименьшее значение.
Так, например, последовательность чисел 1, 1/2, 1/3, ... имеет точную нижнюю границу О, но число О не принадлежит этому мно!кеству, и поэтому множество не содержит в себе наименьшего числа. Имея в виду эту возможность, мы поймем, что нижеследующая теорема о непрерывных функциях не является столь безусловно очевидной, какой она кажется с первого взгляда нашей наивной интуиции: Всякая непрерывная в замкнутом интервале а(х(д функЛия у !х) принимает в этом интервале по меньшей мере один раз наибольшее и по меньшей мере один раз наименьшее значение, или, как говорят, она имеет наибольшее и наименьшее значения. Доказательство получается следующим образом. Совокупность значений функции у'Тх), непрерывной в интервале а (х (1у, представляет собой ограниченное числовое множество, так как в противном случае в данном интервале существовала бы последовательность чисел $г, $г, ..., С„, ..., Для которой значения функции у ($„) неограниченно возрастают.
Эта последовательность $ь должна была бы иметь точку сгущения $'. Но тогда в любой близости от $'* имелись бы еще числа ф„нашей последовательности, для которых ) у1вь) — ! 1В') !) 1 (н даже сколь угодно велика), т. е. функция была бы в точке ~' дополнение 1 к ГлАВЯ ! разрывной. Итак, множество значений функции в замкнутом интервале оераничено, а следовательно, имеет точную верхнюю границу О. Но тогда представляются две возможности: либо О принадлежит к числу принимаемых функцией значений в качестве наибольшего из них, и теорема уже доказана; либо в атем интервале должна существовать такая последовательность чисел х„х,,,... х„, ... что 1пп г'(х„) = О.
На основании принципа точки сгущения (в трактовке стр. 83) из последовательности х„можно выбрать подпоследовательность $э... „й„, ..., сходящуюся к точке $, лежащей внутри или на одном из концов интервала: ьл ь л.+ со Тогда и для $„, конечно, также У (ьл) С другой стороны, так как в принадлежит данному. интервалу (ибгь он замкнутый), то, в силу предположенной непрерывности функции,. !Ип у($ )=г(э) Следовательно, г (э) = О. Итак, функция у (х) действительно при.
всех обстоятельствах принимает значение О в некоторой определенной точке Э внутри или на краю интервала, в чем и ваключается высказанное нами предложение. Вполне аналогичное рассуждение справедливо, разумеется, и для наименьшего значения. Заметим, что теорема о наибольшем и наименьшем значениях непрерывной функции не всегда будет справедлива, если мы не предположим вполне определенным образом, что заданный интервал является замкнутым, т. е. если мы не включим условия о непрерывности функции и на концах интервала.
Так, например, функция у= 1/х непрерывна в открытом интервале О(х ( оо и в то же время не имеет в этом интервале наибольшего значения, принимая, напротив, вблизи значения х = О сколь угодно большие значения. Это объясняется тем, что на левом конце интервала функция имеет разрыв. Точно так же эта функция не имеет наименьшего. значения, но становится при достаточно большом х сколь угодно малой, никогда не достигая точной нижней границы О. На правом конце интервал не замкнут, ибо простирается в бесконечность, 2. Равномерность непрерывности. Как мы уже видели раньше. (ср.
стр. 77) и еще увидим в дальнейшем, непрерывность функции в замкнутом интервале еще оставляет широкий простор для различных своеобразных особенностей,, не допускающих наглядного представления. Поэтому мы выведем из понятия непрерывности строго Гл. ь пОдГОтОВительный мАтет!Ал логически еще некоторые свойства непрерывных функций, кажущиеся с первого взгляда очевиднымн. В определении непрерывности содержится только утверждение, что из соотношения 1!щ х,=$ вытекает соотношение Вш У(х„)=У($).
л л-ьса Это можно выразить также и следующим образом: если задана точка $. то любому сколь угодно малому е ) 0 соответствует число 6) 0 такое. что )у(х) — у(с))(е, если только ) х — $! (6 и при условии, что рассматриваемые числа х лежат в заданном интервале и (х (Ь. Так, например, для функции у =сх при с чь 0 -получим сразу такое число 6, полагая 6=в/! с(; для функции у=ха можно построить такое число следующим образом: предположим, например, что а = 0 и 6 = 1, и спросим, насколько близко от точки $ следует взять точку х, чтобы имело место неравенство ) $' — х' ~ < е. Для этой цели напишем ) $з — х'! = ! х — й ! ( х+ й ( (( х — й (11+ $).
Отсюда видно, что если выбрать 6 ~( 1, то наверное '~ са — х'! ( е. Мы видим на этом примере, что число 6 зависит не только от е, но еще и от того места $.интервала, в котором мы исследуем непрерывность функции. Однако если отказаться от того, чтобы выбирать 6 наиболее благоприятным образом, то можно устра- нить эту зависимость 6 от $, заменяя справа й единицей, от чего 6 в интервале О < В < 1 только уменьшается и становится равным е/2; теперь уже 6 служит с равным успехом для всех точек $ интервала О«;1, Возникает вопрос: справедливо ли нечто подобное для любой функции, непрерывной в замкнутом интервале, т. е.
можно ли, отка- аавшись от наиболее благоприятного в каждом месте выбора 6, опре- делить такое число 6=6!в), которое зависело бы только от е, но не зависело бы больше от 6, так, чтобы вышеприведенное нера- венство ! у Я) — у 1х) ) ( е имело место, коль скоро ! х — $ ! ( 6? Иными словами, возможно ли определить это число 6 одновременно для всех точек $ данного интервала или, как говорят, равномерно относительно Е? Оказывается, что это действительно возможно — в силу одного только общего определения непрерывности и без всяких добавочных специальных предположений.
Это свойство, на которое обратили внимание только во второй половине Х1Х столетия, называется теоремой о равномерной непрерывности непрерывных функций. Доказательство этой теоремы мы поведем от противного, т. е. покажем, что предположение. будто существует функция у (х), не- ДОПОЛНЕНИЕ ! К ГЛАВЕ ! 89 прерывная в замкнутом интервале а ( х < Ь, но не равномерно непрерывная, приводит к противоречию, равномерная непрерывность означает, что если мы хотим сделать (У(и) — Г(о)~ меньше любого сколь угодно малого положительного числа е, когда числа и и о взяты из замкнутого интервала а ~(х<Ь, то должны лишь выбрать и и о достаточно близкими друг к другу, а именно на расстоянии, меньшем чем Ь = Ь(е), одно от другого, притом безразлично, в каком месте интервала взята пара чисел и, о. Так вот, если бы непрерывность функции у(х) не была равномерной, то существовало бы положительное (хотя, возможно, и весьма малое) число а, обладающее следующим свойством: для всякого числа Ь„ из произвольной.
сходящейся к нулю последовательности положительных чисел Ьп Ь, Ьз, ... существует такая пара значений и„, о„ из нашего интервала, что ~и„ вЂ” о,! ( Ь„, а ! 1(и„) — у(о„)) ) а. Согласно принципу точки сгущения, числа и„должны иметь точку сгущения $ и числа о„ должны иметь ту же точку сгущения. Если мы окружим точку й произвольно малым интервалом ~ х- — е ~ ( Ь, то в этом интервале будет лежать бесконечно много пар чисел и„, о„. Но это противоречит предположенной непрерывности функции у (х) в точке й, из которой вытекает (по критерию сходимости Коши), что для точек х, и ха, достаточно близких к точке $, ~у( !) — у( н< . Таким образом.
равномерность непрерывности доказана. В нашем доказательстве мы существенным образом опирались иа то, что интервал замннутыа '). И действительно, теорема о свойстве непрерывности быть равномерной для.незамкнутых интервалов не всегда справедлива. Например, функция 1/х непрерывна в полуоткрытом интервале 0 ( х (1, но уже не равномерно непрерывна.
В самом деле, какую бы малую длину Ь(Ь<1) интервала мы ни взяли, выбрав этот интервал в достаточной близости от точки нуль, например взяв интервал Ь/2~(х~(ВЬ12, можно сделать колебание функции (т. е. ( / (х) — у ($)1) в этом интервале больше любого постоянного числа, например единицы. Неравномерность непрерывности обусловливается, разумеется, тем, что в замкнутом интервале 0<х<1 данная функция имеет а начальной точке разрыв.
Точно так же, рассматривая вышеприведенную функцию у=ха не в каком- нибудь замкнутом конечном интервале, а во всем (открытом) интервале — со ( х < со, мы убедимся, что в этом последнем рассматриваемая функция уже не является равномерно непрерывной, 3. Теорема о промежуточном значении. Постоянно применяется в анализе и следующая теорема. Если фуннйин 1(х), непрерывная в замкнутом интервале а<х (Ь, отрицательна при х=а и положительна при х=д (или наоборот), то она принимает ') В противном случае точка сгущения Е могла бы и не принадлежать интервалу.
ГЛ. Ь ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЯ МАТЕРИАЛ в атом интервале по крайней мере один раз значение куль. Зта теорема выражает тот геометрически очевидный факт, что если начальная точка дуги непрерывной кривой лежит пол., а конечная— над осью х, то дуга должна где-нибудь в промежутке пересечь эту ось. Она доказывается и аналитически очень просто. Действительно, в рассматриваемом интервале безусловно существует бесконечное множество точек, в которых У(х) ( О. Ведь в силу непрерывности функция наверное отрицательна в некотором частичном интервале, прилегающем к начальной точке данного интервала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
