1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Искомая точка сгушения выражается тогда просто числом вида а + й О, а!аэаз 2. Пределы числовых последовательностей. С достигнутой нами точки зрения понятие предела бесконечной числовой последовательности а,, аг, аз, ..., а„ ... получает новое освещение. б Р. Кураяа 82 гл. ь подготовительный млтигнлл рассматривая сначала тот особенный случай, когда последовательность содержит бесконечно мнссго равных между собой чисел, мы расширяем данное выше определение точки сгущения и считаем бесконечно повторяющееся в последовательности число также точкой сгущения. Пусть теперь последовательность содержит бесконечно много отличных друг от друг членов, и пусть все члены а„этой последовательности ограничены, т. е. существует некоторое число М такое, что !а„1< М для любого значения индекса и; тогда члены нашей последовательности образуют бесконечное числовое множество, расположенное на конечном интервале, так как они все заключены между — М н + М.

Следовательно, они долькны иметь по меньшей мере одну точку сгущения Э. И если фактически существует только одна-единственная точка сгущения, то наша числовая последовательность, очевидно, сходится, и притом именно к этой точке, как к своему пределу: э= !пп а„. в. +со Действительно, окружим точку 8 малым интервалом. Если бы вне этого интервзла было бесконечно много точек последовательности, то у них была бы точка сгущения, отличная от с, что противоречит предположению.

Следовательно. вне малой окрестности э имеется лишь конечное число членов последовательности, а потому !пп а„ = $. л-ьса Если же, напротив, существует несколько различных точек сгущения, лго наша числовая последовательность не имеет предела. Итак, существование предела и единственность точки сгущения у ограниченной числовой последовательности являются равно- значащими понятиями. Важно отдать себе отчет в том, что у взятой наудачу ограниченной последовательности, вообще говоря, не существует предела, но имеется несколько точек сгущения.

Нанример, последовательность, члены которой заданы так: аг„= 1/и, аг„, = 1 — 1/и (и = 1, 2, ...), имеет две точки сгущения: 0 и 1. Совокупность всех положительных рациональных чисел можно рассматривать как числовую последовательность, причем, однако, совершенно нарушается расположение чисел по их величине. Подобное расположение множества рациональных чисел в виде последовательности проще всего получить, располагая рациональные числа согласно приводимой схеме.

пробегая эту схему вдоль указанной стрелками ез ДОПОЛНЕНИЕ ! К ГЛАВЕ ! ломаной линии и выкидывая прн этом каждое значение, которое уже раз встретилось (например, 2/4). ~О о ~б Г6 ~б гс 4 Вот как можно перенумеровать рациональные числа Очевидно, для системы рациональных чисел все рациональные и иррациональные числа являются точками сгущения; она представляет собой простой пример числовой последовательности с бесконечно большим числом точек сгущения. Пользуясь понятием сходимости, можно дать принципу точки сгущения следующую замечательную и удобную для некоторых применений формулировку: Оз всякого ограниченного бесконечного числового множества можно выделить бесконечную последовательность а„аг„а, ..., сходящуюся к некоторому пределу С. Для этой цели берем какую-нибудь точку сгущения заданного бесконечного числового множества и затем выбираем из чисел этого множества число а,.

отстоящее от $ меньше чем на 1/10; выбираем дальше другое число аг заданного множества, отстоящее от $ ближе чем иа 1/!00, третье число аг, расстояние которого от З меныпе 1,'1000, и т. д. Очевидно, эта последовательность чисел действительно сходится к пределу й. В будущем нам понадобится следующая теорена о сходящихся последовательностях: Если последовательность ан аг, ...

сходится к пределу а, то всякая выделенная из нее частичная бесконечная последовательность стремится к тому же пределу а. Например, подпоследовательность а,, аа, аг, ... сходится к а. Действительно, всякая точка сгущения частичной последователь-. ности должна быть точкой сгущения материнской последовательности. С другой стороны, бесконечная частичная последовательность, как ограниченная, должна иметь по крайней мере одну точку сгущения. и ею может быть только а.

84 гл. ь подготовительным млтгвилл 3. Доказательство критерия сходимости Коши. Вернемся к сходящимся числовым последовательностям, т. е. к ограниченным последовательностям с одной-единственной точкой сгущения. Формулированный в гл. 1, й 6, критерий сходимостн Коши становится теперь почти самоочевидным.

В самом деле, предположим, что ~ а — а„~ становится сколь угодно малым, если только т и п достаточно велики. Тогда все числа а„лежат в конечном интервале и имеют, следовательно, по меньшей мере одну точку сгущения Э. Если бы существовала еше одна точка сгущения т1, то она находилась бы на некотором расстоянии ~$ — т1(=а) 0 от точки В любой близости от 8, скажем на расстоянии меньшем чем и13, должно находиться бесчисленное множество чисел а„, т.

е. и такие значения а„, для которых и ) Ж, как бы велико ни было М. Точно так же и в любой близости от точки сгущения т1 и, в частности, на расстоянии от нее, меньшем чем а/3. должно находиться бесчисленное множество чисел а и ~ей последовательности, а следовательно, и такие числа а, для которых т ) И, Но для этих значений а„и а наверное имеет место неравенство ~ а„,— а„() и/3, которое несовместно с предположением, что ! а — а„) при достаточно большом М становится сколь угодно малым, как только т и и превосходят одновременно число 1т'. Следовательно, не существует двух различных точек сгущения, и критерий Коши доказан.

4. Существование предела у ограниченной монотонной последовательности. Столь же просто убеждаемся з том, что монотонно воарастаюи1ая и монотонно убывающая ограниченная числовая последовательность должна иметь предел. В самом деле, пусть в первом случае $ будет точкой сгущения — а такая, безусловно, существует, †тог а должно быть больше всех членов последовательности. Ибо если бы какой-нибудь член аг последователь.ности был бы больше или равен 8, то и для всех чисел а, с индексом и ) 1 + ! имело бы место неравенство а„ ) а, , ) а, )~ $, откуда следовало бы, что все числа последовательности, за исключением не больше чем 1 + 1 первых чисел, лежат вне интервала ширины ~8 — агь,~ с левым концом в точке $.

Но это пРотивоРечит пРедположению, что $ является точкой сгущения. Таким образом, справа от 8 нет членов последовательности и подавно нет точек сгущения этой последней. Если бы кроме $ существовала еще одна точка сгущения т1, то было бы и < й. Повторив наше рассуждение с (вместо $), мы получили бы также и $( т1, т. е. пришли бы к противоречию. Стало быть, существует лишь одна точка сгущения, и сходимость доказана. Совершенно аналогичное рассуждение применимо, понятно, и к монотонно убывающей последовательности.

Можно, впрочем, наше предложение о монотонных последовательностях дополнить так, как мы это сделали на стр. 60, допуская для подобных последовательностей промежуточный случай, т. е. случай равен- ДОПОЛНЕНИЕ 1 К ГЛАВЕ Г ства следующих друг за другом чисел последовательности, Тогда лучше говорить о монотонной неубывающей или монотонной невозрастающей последовательности. Теорема о существовании предела сохраняет свою справедливость и для таких последовательностей.

5. Верхняя и нижняя точка сгущения, точная верхняя и точная нижняя граница числового множества. Если при построении, которое привело нас в и' 1 к точке сгущения Е, ограничивать каждый раз выбор частичных интервалов условием брать всегда последний из частичных интервалов, содержащих бесконечно много точек задан- мого множества, то мы получим определенную точку сгущения р, которая называется верхней точкой сгущения или «верхним пределом» («!1щез апрепог») числового множества и обоаначается сокращенно через 1!шапр или !Ип.

Эта точка является крайней правой точкой сгущения данного множества, т. е. хотя справа от р еще может лежать бесконечно много чисел этого множества, но справа от р+е, как бы мало ни было е)0, уже нет больше бесконечного множества этих чисел. Если же в построения п' 1 выбирать каждый раз первый из частичных интервалов, содержащих бесконечно много точек множества, то мы придем к точке сгущения а, называемой нижней точкой сгущения или «яижним пределом» («!!шея ш!ег1ог») числового множества (сокращенно 11ш !и! или 1нп); слева от этой точки нет больше точек сгущения множества. Хотя и возможно, чтобы слева от а еще лежало бесконечно много чисел множества, но слева от а — е эта уже невозможно, как бы мало ни было число е)0. Локазательство этих утверждений предоставляется самому читателю.

Верхняя точка сгущения р, равно как и нижняя а, не должна обязательно принадлежать самому множеству. Так, например, для множества чисел а„, = 1/а, аг„, = 2 — 1/и нижняя точка сгущения а =. О, а верхняя точка сгущения Р = 2, но значения 0 и 2 не содержзтся сами в заданном множестве. В этом примере справа от числа р= 2 нет ни одного числа множества. В этом случае говорят, что р = 2 является также точной верхней границей множества, определяя следующим образом этот термин точная верхняя граница: число О называется точной верхней - границей числового множества, если это множество не содержит.

числа, превосходящего О, но для любого сколь угодно малого положительного е существует по меньшей мере одно число множества, превосходящее Π— е. Соответственным образом определяется и точная нижняя граница й'. Точная верхняя граница может, как мы видели, совпадать с верхней точкой сгущения. Но уже пример множества а„= 1+ 1/и(л = 1, 2,... ) показывает, что это не обязательно. Здесь О = 2, а р = 1. Всякое ограниченное числовое множество имеет точную верхнюю границу. »1ействительно, пусть р — верхний предел множества. ГЛ.

Ь ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ Множество либо не содержит чисел, больших чем Р, либо содержит такие числа. В первом случае Р является точной верхней границей, так как нет чисел множества, больших чем р, и сколь угодно близко к Р имеются числа множества, меньшие чем Р. Во втором случае пусть а — число множества, болыпее чем р. Существует лишь конечное количество чисел множества, равных или больших чем а, ибо в противном случае имелась бы точка сгущения выше, чем р, что невозможно.

Характеристики

Список файлов книги