1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Доках зать, что она не равномерно непрерывна в этом открытом интервале. 6. Функция У(х) определена при всех значениях х следующим образом: У(х) = О при всех иррациональных значениях х; У (х) = 1/д при рациональных значениях х = р/и, где р/4 — несократимая дробь (так, например, при х = 16/29 у (х) = 1)29). Доказать, что функция у (х) непрерывна при всех иррациональных значениях х и разрывна при всех рациональных значенняк х.
гл. е подготовительиып мАтеРиАл ДОПОЛНЕННЕ П К ГЛАВЕ 1 $1. Полярные координаты В гл. 1 мы исходили из понятия функции и иллюстрировали его геометрически с помощью кривой. Однзко полезно напомнить1), что аналитическая геометрия идет противоположным путем: она исходит нз геометрически заданной кривой и уже затем представляет эту кривую функцией, которая, например, выражает одну координату точки кривой через другую.
Эта точка зрения, естественно, приводит к рассмотрению, кроме прямоугольных координат, — единственных, Рис. 25. Рвс. 26. употреблявшихся нами до сих пор,— также и других систем координат, которые могут оказаться более подходящими для конкретных кривых, заданных геометрически. Важнейшим примером являются полярные координаты (г, О), связанные с прямоугольными координатами х, у точки Р посредством уравнений: х=гсозб, у=гз1пб; ге=ха+уз 1РО=у/х' геометрическое знзчение полярных координат указано на рис, 25.
Рассмотрим, например, лемниска ту; геометрически она определяется как геометрическое место всех точек Р, для которых произведение расстояний г, и гз от неподвижных точек Р, и Р~ с прямоугольными координатами х = а, у = О и х = — а, у = О равно постоянному числу аз (ср. рис. 26). Так как г1 = (х — а) + уз, гз = (х + а)з+ у~, то после простого преобразования уравнение лемнискаты получается в следующем виде: (хе+ уз)т — 2аз (хз — уз) = О. Вводя полярные координаты, получаем гч — 2азгз (созе Π— з| пз О) = О ') Ср. также стр. 31.
ДОПОЛНЕНИЕ П К ГЛАВЕ 1 96 нли, сокращая множитель Гз и применяя простую тригонометрическую формулу, имеем ГЯ= 2азсоз 26. Мы видим, таким образом, что уравнение лемнискаты в полярных координатах имеет более простой вид, чеч в прямоугольных, 2 2. Некоторые замечания о комплексных числах Наши исследования будут иметь своей основой главным образом область действительных чисел.
Однако я хотел бы уже теперь, имея в виду применения, о которых будет идти речь в гл. ЧН1, !Х и Х1, напомнить, что проблемы алгебры привели к еще более широкому обобщению понятия числа, а именно к введению комллексных чисел. Постепенное расширение области чисел от системы натуральных до совокупности всех действительных чисел было вызвано потребностью устранить случаи возможных исключений из общих математических законов и сделать выполнимыми во всех случаях без исключения известные операции, как, например, деление, вычитание, установление соответствия между числами и отрезками.
Подобно этому к введению комплексных чисел вынудило требование, чтобы всякому квадратному уравнению и даже всякому алгебраическому уравнению можно было приписать известное решение. Если, например. хотят добиться, чтобы уравнение ха+1= б имело корни, то приходится ввести новые символы -+1 и — 1 в качестве корней этого 'уравнения (и этим одновременно достигается, как доказывается в алгебре, разрешимость всех алгебраических уравнений)' ). Если а и Ь вЂ обыкновенн действительные числа, то комплексное число с = а + !Ь означает не что иное, как пару чисел (а, Ь), причем действия над подобными парами производятся просто по следующему правилу. Комплексные числа а+(Ь (в состав которых входят в качестве частного случая при Ь = 0 также и действительные числа) складывают, умножают и делят, рассматривая символ ! как 'неопределенную величину, а затем упрощают все выражения, содержащие 1 в степенях выше первой, пользуясь соотношением !'= — 1, так что ! остается только в первой степени и снова получается выражение вида а+!Ь.
Мы вправе предполагать, что читатель уже имеет некоторое знакомство с этими комплексными числами. Тем не менее обратим внимание на одно особенно важное соотношение, связанное с геометрическим ') Тот факт, что всякое алгебраическое уравнение имеет действительные нлн комплексные корин, составляет содержание так называемой «основной теоремы» алгебры. гл, ь подготовительным млтегилл и тригонометрическим способами изображения комплексных чисел. Комплексное число с=х+1у изображают в прямоугольной системе координат точкой Р с координатами х и у.
Введем теперь вместо прямоугольных координат х и у полярные координаты г н 6 (ср. рис. 25, стр. 94) посредством уравненнй х=гсоз6, у=гяп6, причем мы берем г)~0 и — л(6~(л. так что г= ]/хе+у- "— рас- стояние точки Р от начала координат„а 6 — угол между положи- тельной осью х и лучом ОР. Комплексное число с представляется тогда в виде с = г (соз 6+ 1яп 6). Угол 6 называется арнусом илн аргументом числа с, а величина г — модулем этого числа, который обозначается также символом [с ',.
«Сопрнженномув комплексному числу с=х — Еу соответствует. очевидно, тот же самый модуль г, но аркус этого числа с равен — 6. Очевидно, гз=[с[з=се=ха-]-уз. С помощью указанного тригонометрического представления умножение комплексных чисел принимает особенно простую форму. В самом деле, с ° с'.= г(соз6-+1з!п6) г'(сов 6+Ее!п 6 ) = = гг' [(соз 6 соз 6' — з!и 6 яп 6 ) +1(соз 6 яп 6'+ э!п 6 соз 6')], откуда, принимая во внимание известные законы сложения тригонометрических функций, получаем сс = гг [соз (6+ 6 ) + 1 51п (6+ 6 )!, (соз 6+ Ез!п6) (соз 6'+1 э1п 6 ) = сов(6+ 6') -+ 1яп(6+6') непосредственно получается замечательное соотношение (соз 6+-Ез(п 6)" = соз п6+ Еяп п6, которое обычно называется формулой Муавра. Она дает возможность решить уравнение х'=1 для целого положительного п и сразу на- писать все корни этого уравнения (так называемые корни степени п из единицы): 2н .
2п е, = е = соз — "+1яп —, и и 4п , 4л ея=ея=сов — +гз!и— и и е„,=е" '=сов п +Ез!п, е„=е" =1. (и — 1) 2п, (п — 1) 2п т. е. при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аркусы складываются. Из формулы смешанные упРАжненр!я к ГлАВе 1 97 Далее, если разложить левую часть формулы Муавра по правилу бинома Ньютона, то, отделяя действительную и мнимую части этого тождества, мы получим выражения для сояи0 и в!пид через степени н произведения степеней созф н я!Вд. Упражнения 1, Построить графики следующих функций: 1 г=я!и!р; г=соябгр; г=!р; г=, а — постоянно; г=я!пбгр.
сов(!р — а) ' 2. Найти полярное уравнение: а) окружности радиуса а с центром в полюсе; б) окружности радиуса а с центром в точке (а, О,); в) произвольной прямой линни. 3. С помощью формулы Муавра выразить через соя 0 и я!пО: а) соя20 и я!п20; б) соя ЗО н щп30; в) соя50 и я!п58. !1оказагль что соя и8 выражается в виде целого лшогочлена от соя О, ь я!пиО при нечетном и выражается в виде целого многочлена от юпО. 4.
Вычислить нижеследующие выражения н найти модули и аркусы как чисел, над которыми производятся действвя, так и полученных в виде отнета комплексных чисел: ?1 1 а) — 3 2Г; б) (4+4!) ~ — — — р 3 Г 1; в) (!+г)(! — г); г) () 3 — г) з '! 4 д) !"; е) ГГЕ ж) (1+г)'-', з) (3 — Зг)ГЕ н) 19г; ь) (16!)ГЕ 2я .. 2и 5'. Доказать, что если в = соя †+!!и †, где и — натуральное число,. и и большее еливицы, то Г О, если и не является делителем числа ж ъ+ г+ иг ( и, если и является делителем числа ч. СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 1 1. Доказать, что если р н г) — целые числа, то десятичное разложение дроби р'9 будет либо конечной, либо периодической десятичной дробью. Доказать также, что нсякая конечная или периодическая десятичная дробь представляет рациональное число.
2. Записать число 39 в троичной системе счисления (системе с основаннел! 3). 3. Как писалось бы число сто пятьдесят шесть, если бы во всеобщем употреблении была а) двоичная система счисления, б) система счисления с основанием 4? 4. Нижеследующие числа записать в системе счисления с основанием 12: а) 1076; б) 10000; в) 20736; г) 1'6; д) 1764; е) 1 5. 5. Число ! 2 можно вычислить с точностью до 0,1 таким способом: 1' = 1 < 2, 2' = 4 > 2, следовательно, 1 < У 2 < 2. Затем 1,3' =- 1,69 < 2; 1,4' = 1,96 < 2; 1,5' = 2,25 > '2; поэтому 1,4 < )г2 < 1,5. а) Продолжить этот процесс еще на один шаг; б) вычислить тем же способом ) 7 с двумя знаками после запятой. 6.
Прн каких значениях х справедливы следую цне неравенства'. а) х'+Зх+1> 0; б) х' — х+ ! > 0; в) ! х (- !Гх ! > 6; г) Зх — 2:. х'. 7 Р куранг ГЛ. Ь ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ 7. Доказать, что среднее арифметическое двух положительных чисел а и Ь не меньше их среднего геометрического, т. е. что +6>) Ь Выяснить, в каком случае надо писать здесь знак равенства. 1 1!! 1т 8.
Число $, определенное равенством — = — ( — + — ), называется сред- $ 2(а Ь~' ним гармоническим двух положительных чисел а, Ь. Доказать, что среднее геометрическое не меньше среднего гармонического, т. е. что вагаб > Ь. В ианом случае надо писать здесь знак равенства? 9'. Доказать нижеследующие неравенства, если а, Ь, с — положительные числа: а) а'+Ь'+сз) аЬ+Ьс+со; б) (а+ Ь) (Ь+с) (с+а) > 8аЬс; в) атЬ'+Ь'с'+с'ат) аЬс(а+6+с). 1О. Числа хь хм хз и числа а!л (В Ь = 1, 2, 3) все положительны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
