1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Н. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Вели станем теперь делать все более и более мелкие подразделения, т. е. будем неограниченно увеличивать число л, то наглядно ясно, что обе величины Р„и Рл все больше сближаются и стреь мятся к общему пределу Р,. Мы можем, таким образом, рассматривать наш интеграл как предел: Р„= Вш Р, =1нп Р„. к -+ о» з.+ ~ Это наглядное рассмотрение показывает срззу и возможность обобщения. Нет никакой необходимости в том, чтобы частичные интервалы были одинаковой длины; они могут быть и различной длины, если только предположить, что с возрастанием п длина наибольшего из частичных интервалов стремится к нулю. Возможно и другое обобщение, порою полезное, но не столь очевидное. При составлении верхних и нижних сумм можно брать в качестве высоты каждого прямоугольника не точно наибольшее или наименьшее значение функции у(х) в соответствующем частичном интервале, а несколько большее или меньшее значение при условии, что с утончением разбиения наибольшая разность высот стремится к нулю.

2. Аналитическое определение интеграла. Мы только что рассматривали определенный интеграл как число, заданное площадью и, стало быть, до некоторой степени заранее известное, а затем, задним числом, представили его в виде предела. Теперь мы обратим порядок рассмотрения.

Оставим ту точку зрения, будто мы интуитивно уже знали, что всякой криволинейной трапеции можно отнести указанным образом меру площади и как это сделать. Наоборот, мы будем исходить из сумм, составленных чисто аналитически, вроде определенных ранее верхних и нижних сумм, и потом докажем, что эти суммы стремятся к определенному пределу. Этот предел мы будем рассматривать как определение интеграла и площзди. Этот путь нас естественным образом приведет к тем формальным обозначениям, которые со времени Лейбница вошли в употребление в интегральном исчислении. Пусть г(х) — положительная непрерывная функция в интервале а~(х~(Ь.

Представим себе, что интервал длины Ь вЂ” а разделен а — 1 точками деления хн хш ..., х,, нз л произвольных, равных или неравных, частичных интервалов, и, кроме того, положим хе —— а, х„=Ь. В каждом частичном интервале мы выбираем совершснно произвольную точку, которая может лежать внутри или на границе интервала: в первом интервале точку $1, во втором интервале точку Сн ..., в л-м интервале точку ~к, Мы рассматриваем теперь вместо непрерывной функции у (х) разрывную (ступенчатую) функцию, которая в первом частичном интервале имеет постоянное значение ((~,), во втоРом — постоЯнное значение г" Дз)...,, в и-ъ1 з ь оповдвленныьт ннтегглл интервале — постоянное значение у (9„). Графическое изображение этой функции определяет, как указано на рис. 29, совокупность прямоугольников, сумма площадей которых дается выражением Е„=(х,— хе)У'(~,)+(хг — х,)УЯг)+ ...

+(х„— х„,)У($е). Сокращенно эту сумму записывают, пользуясь знаком суммирования ~, в форме Е„= ~ (х,— х,,)у($,). т=1 Введя обозначение Ьхч = х, — х,, можно эту запись еще более сократить: л Е.=Худ,)бх Символ Л не является здесь множителем, а обозначает разность (б!11егеп1!а).

Цельный неразделимый символ Лх, обозначает, по определению, длину ч-го частичного интервала. Рис. 29. Наша основная т е о р е и а заключается в следующем: Если число точек деления неограниченно возрастает и в то же время длина Ьх наибольшего частичного интервала сгпремится к нулю, то указанная сумма стремится к пределу. стопе предел не зависит от выбора точек деления и промежуточных значений ~и йг, ..., й„в частичных интервалах. Этот предел называют определенным интегралом от функции г (х), взятым от а до К и рассматривают его, как уже было упомянуто, как определение площади ') между кривой у = у (х), ') Можно, конечно, понятие площади определить и чисто геометрически и затем доказать эквивалентность такого геометрического определения с предыдущим онредевеиием площади как предела суммы.

Ср. гл. Ч. э" 2, и' 1, стр, 311. ГЛ. П. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ осью х и ординатами а и Ь. Нашу основную теорему можно перефразировать так: если г" (х) непрерывна в интервале а (х (д, то ее определенный интеграл от а до Ь существует. Эту теорему о существовании определенного инлгеграла огп непрерывной функции можно и должно доказать чисто аналитически, не прибегая к интуиции. Однако мы пока пропустим здесь это доказательство и приведем его в дополнении к этой главе, когда читатель, убедившись в плодотворности новых понятий, будет более заинтересован в их точном обосновании.

Пока удовлетворимся тем, что наглядные соображения иа и' 1 делают эту теорему чрезвычайно правдоподобной. 3. Дополнения, обозначения и основные свойства определенного интеграла. Только что данное определение интеграла как предела суммы побудило Лейбница обозначить интеграл следующим символом: а ~ у(х)а1х. а Знак интеграла получился при этом путем стилизации анака суммы, имевшего форму латинского О.

Предельный переход от деления интервала на конечные равности Г»х, к стремящимся к нулю разностям отмечен тем, что вместо символа Л пишут символ д, Не слелует, однако, рассматривать с(х как «бесконечно малую величину», а интеграл — как «сумму бесконечного числа бесконечно малых слагаемых»; такое представление было бы совершенно лишено ясного смысла: то, что в нем есть правильного по существу, как раз точно выражается указанным выше предельным переходом.

Итак, ~ у (х) с(х = 11ш ~~~ у (х ) Лх„ а -» а а ч-1 когда длина наибольшего из частичных интервалов стремится к нулю. В предыдущих чертежах мы предполагали: во-первых, что «подынтегральная» функция у'(х) положительна во всем интервале и, во-вторых, что д ) а. Но формула, определяющая интеграл как предел суммы, совершенно не зависит от этих допущений. Если у (х) имеет отрицательные значения во всем интервале или в части его, то в нашей сумме просто соответствующий множитель у Я„) имеет отрицательное значение. Мы, разумеется, припишем тогда соответствующей части плоскости, ограниченной нашей кривой, отрицательную площадь, что вполне согласуется с правилом знаков, известным из аналитической геометрии. Вся площадь.

ограниченная куском кривой, в общем случае составится из положительных и отрицательных $ Ь ОПРЕДЕЛЕННЫП ИНТЕГРАЛ слагаемых соответственно числу частей кривой, лежащих над осью х или под нею'). Бали отказаться также от допущения а с. Ь и принять а ) Ь, то можно все же сохранить арифметическое онределепие интеграла; только разности Йх„когда мы пробегаем и~первал от а к Ь, становятся отрицательными.

Таким образом, мы непосредственно приходим к соотношению, справедливому при любых значениях а и Ь (а чьЬ): ~ г(х)е(х= — ~ у(х)Нх. В согласии с этим соотношением полагаем (в качестве определения) а ~ у(х)е(х=О. ч Подобным же образом из определении интеграла непосредственно получается основное соотношение: е е е У ) )'(х)е(х+- ~г (х) Нх= ) у(х)дх, если а ( Ь( с (ср.

Рис. 30). На основании предыдущих соотношений это равенство справедливо также и при любом положении еу ег с л' трех точек а, Ь. с. К простому н важному основному свойству Рис. 30. определенного интеграла мы приходим, рассматривая функцию сГ" (х), где с — постоянная. Из определения интеграла непосредственно получаем ~ су (х)е(х = с ~ / (х)е(х. Далее приведем следующее правило интегрирования суммы: если у(х) =<р(х)+ф(х), то ~ /(х)г)х= ( <р(х)дх+ ~ ф(х)е(х.

') Относительно площадей, ограниченных любыми замкнутыми кривыми, см. гл. Ч, й 2. 1ОВ гл. и. осиовньш понятия Доказательство его также непосредственно вытекает нз определения интеграла. Наконец, еше одно само по себе очевидное, но практически важное замечание относительно обозначения переменной интвграции. Мы писали наш интеграл в виде ь 1 у'(х) ах.

О Для вычисления интеграла не имеет никакого значения, назовем ли мы абсциссу системы координат, т. е. независимую переменную, через х или как-нибудь по-нному. Поэтому совершенно безразлично, ь как назвать переменную интеграции: вместо ~ у (х)г(х можно писать ч тагоке ) У(1)й( или ) у(и)ни и т.

п. О ч ф 2. 'Примеры Процесс предельного перехода, о котором идет речь в определении интеграла, можно во многих случаях действительно выполнить, доведя его до полного вычисления искомой плошади. Разъясним это на ряле примеров, причем будем пользоваться то верхними, то нижними суммами' ). 1. Интегрирование линейной функции. Рассмотрим сперва функция У(х) = х", где а~~Π— целое число. Прил = О, т. е.

для у'(х) = 1, результат без всякого предельного перехода настолько очевиден, что мы его просто запишем: ьт Ь х ь ь Рис. 31. 1 йх= ~пх=Ь вЂ” а. ч а И для функции У(х) = х интегрирование геометрически тривиально. Интеграл функции у(х) =- х: ь ~ хйх а представляет площадь трапеции, изображенной на рис.

31, и по формуле элементарной геометрии равен Ь+ а Ь' — а' (Ь вЂ” а) — = 2 2 ') Предоставляем читателю в качестве полезного у „ажнения самому убедиться на следующих примерах, что действительно прн пользовании верхними и нижними суммами получается один и тот же предел. Ь х пРимеРы 1ОО Покажем, что тот же результат получается и путем предельного перехода.

При этом для аахождения предела можно ограничиться рассмотрением или верхних, или нижних сумм. Лазим интервал от а до Ь на и равных частей тачками деления: а+ И, а+2И, ..., а+(л — 1) И, Ь вЂ” а причем И = . Тогда интеграл является пределом следующей суммы, л которая является нижней, если а < Ь, и верхней, если а > Ь: И (а+ (а+ И)+(а+2И)+ ..

Характеристики

Список файлов книги