1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Зто множество точек х, где Т"(х) ( О, имеет верхнюю точку сгущения й, которая должна лежать внутри интервала, т. е. $ ) а. Так как в любой близости от $ находятся точки х, в которых / (х) ( О, то в силу непрерывности во всяком случае у'($) «( 0 (стало быть, $чьд). Но у(С) не может быть меньше нуля, так как тогда функция у(х) была бы отрицательной в некоторой достаточно малой окрестности точки $ и, в частности, и для всех тех точек этой окрестности, в которых х)Э; но это противоречит предположению, что С есть верхкяя точка сгущения тех значений х, в которых У(х)(0.

Следовательно. У(з)=0, и наше предложение доказано. Зту теорему можно несколько обобщить. Предположим, что у(а)а, ~(д)=р и что )ь есть какое-либо значение, заключенное между а и Р. Тогда квпрерывкая фуккаия у'(х) принимает в интервале а (х (Ь по'меньшей мерв адик раз значение )ь. В самом деле, непрерывная функция ф(х)= =у" (х) — р имеет на концах интервала противоположные знаки, а потому принимает где-либо внутри интервала значение О. 4. Обращение непрерывной монотонной функции. Если непрерывная функция у= Г'(х) монотонна в интервале а«(х«(К то она принимает каждое свое промежуточное значение р между Г'(а) и у'(И) один и только один раз.

Поэтому, когда у пробегает замкнутый интервал между значениями а — Т'(а) и Р=Т" (д), то каждому значению у соответствует ровно одно значение х. Можно, таким образом, рассматривать в этом интервале и х как однозначную функцию от у, т. е. функцию Т'(х) можно однозначным образом обратить. Эта обратная функция х=ф(у) является, подобно функции Т(х), непрерывной и монотонной функцией от у, когда у изменяется в интервале между а и р. То, что обратная функция х=ф(у) монотонна, очевидно. Чтобы строго доказать ее непрерывность, заметим, что из монотонности фУнкции г(х) вытекает, что (~(хг) — Т(х,)~=)У,— У,1) О, если х, и хг два различных числа нашего интервала. Выберем некоторое положительное число И, меньшее, чем И вЂ” а, и рассмотрим функцию :~ у(х+И) — у(х)), непрерывную в замкнутом интервале а«(х(Ь вЂ” И.

.Эта функция принимает в некоторой точке х = с наименьшее значение )~Я+И) — у($)~=а(И), которое, в силу только что сделан- 91 дополнения 1 к гллвз 1 ного нами замечания, отлично от нуля'), Мы заключаем отсюда следующее: если хп хз — два числа данного интервала, для которых ~х, — хз))~Ь, то (У(х1) — У(хз)~)~а(Ь). Но отсюда непосредственно получается непрерывность обратной функции. Ибо как только ! у,— уз '( становится меньше положительного числа а(Ь), так и (х,— хз((Ь. Поэтому, если задана граница точности е, то достаточно выбрать Ь равным а(е), чтобы для всех у, для которых )у,— у)(Ь, имело место также и неравенство )~р(у,) — ~р(у)((е.

Тем самым доказана следующая теорема: Если функция у=с(х) непрерывна и монотонна в интервале а(х(Ь, причем у(а)= — а, у'(Ь) =Ь, то она имеет однозначную обратную функцию х=ф(у) в интервале а (у (Ь и. эта обратния функция тоже непрерывна и монотонна. б. Дальнейшие теоремы о непрерывных функциях, Я предоставляю читателю доказательство следующей почти очевидной теоремы. Непрерывная функция от непрерывной функции также непрерывна, т.

е. если ср(х) непрерывна в интервале а.(х (Ь, а значения этой функции заполняют интервал и ( гр (Ь и если, далее, у(су) есть непрерывная в этом последнем интервале функция. от ф, то и г" (ф(х)) как функция от х, непрерывна в интервале а.(х(Ь. (Теорема о непрерывности сложной функции, составленной из непрерывных функций.) Далее, как уже было упомянуто на стр.

78, сумма, разность и произведение непрерывных функций сами непрерывны, а также частное двух непрерывных функций. является непрерывной функцией, пока знаменатель отличен от нуля. й 3. Некоторые замечания об элементарных функциях В первой главе мы молчаливо допустили, что элементарные функции непрерывны.

Доказательство этого факта теперь очень просто. Прежде всего, функция у(х) = х непрерывна, поэтому и хз = х ° х непрерывна, как произведение двух непрерывных функций; точно так же непрерывна и всякая целая степень от х, а потому и всякая целая рациональная функция, как сумма непрерывных функций; вместе. с тем и всякая дробная рациональная функция, как частное двух непрерывных функций, непрерывна во всяком интервале, в котором знаменатель не обращается в нуль. Корень и-й степени нз х является непрерывной и монотонной функцией, как обратная функция для функции х", ибо функция х", очевидно, монотонна и непрерывна при х ) О, Поэтому, в силу теоремы о непрерывности сложных функций, корень и-й степени из любой рациональной функции есть также непрерывная функция.

') Впрочем, при неограниченном убывании Л число и(Ь), в силу равномерной непрерывности у(х), тоже стремится к нулю. ГЛ. 1. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫП МАТЕРИАЛ Непрерывность тригонометрических функций — факт, с которым читателю уже пришлось иметь дело в средней школе,— можно теперь легко доказать при помощи введенных нами выше понятий; однако мы этого здесь не делаем, так как в следующей главе, 9 3, эта непрерывность получится сама собой как следствие дифференцируемости. Мы должны только сделать несколько замечаний относительно определения и непрерывности показательной функции а~, общей степенной функции хч и логарифма.

Мы предполагаем, как и в первой главе, Э 3, стр. 40, что а †положительн число, скажем, большее единицы, и понимаем под а', где г = р1д — положительное рациональное число (р и д — целые числа), положительное значение этого выражения а = аг!ч, т. е. положительное число, д-я степень которого равна ал.

Если а — иррациональное число и если г,, гю ... г , ... есть любая последовательность рациональных чисел, стремящихся к а, то мы утверждаем, что существует 11ш а'ы, и этот предел называем ак, Для того чтобы доказать существование этого предела, доста- Т точно, согласно критерию сходимости Коши, показать, что ~ а л — а ы~ становится сколь угодно малой, если только взять и и т достаточно большими. Пусть, например, г„) гы, т. е.

г„— г„,=б) О. Тогда а'ч — а "ы = а'ы (а — - 1). Так как а " ограничено, то остается только показать, что аз — 1 становится сколь угодно малым при достаточно больших и и т. Но б есть рациональное число, которое стзновится сколь угодно малым, когда и и т достаточно велики. Поэтому, если выбрать произвольное, сколь угодно большое натуральное число 1, то Ь( 1!1, если и и т достаточно велики. Но если Ь ( 1Д и а ) 1, то ') 1 ( а ( а , а так как а при возрастании 1 стремится к единице с 1Л (ср.

стр. 49), то отсюда непосредственно следует наше предложение. Снова предоставляется читателю доказать самостоятельно, что определенная таким образом и для иррациональных значений х функция а является всюду непрерывной и монотонной функцией от х. Для отрицательных значений х эта функция естественным образом определяется условием х а -Х ' а ') Что а > 1, вытекает пз того фактз, что прн а > 1 справедливо неравенство а~ы > 1, если т/и > О. Действительно, если бы а~ш было меньше ы~1" едвницы, то 1а" ! =аж было бы <1, как произведение т множителей, каждый пз которых ~ 1.

Мы пришли к противоречию, так как аы есть произведение т чисел, ббльшик единицы. дополнпнип ~ к главе ! 93 Когда х рзстет от — со до +со. эта функция принимает, монотонно возрастая, все значения от 0 до +оо. Поэтому она имеет непрерывную и монотонную обратную функцию, которую мы называем лоаарифмом при основании а. Совершенно аналогично можно доказать непрерывность общей степенной функции у=х«как функции от х, где а есть любое рациональное или иррациональное число, а х — независимая, переменная, пробегающая интервал 0 <х(со, а также что функция х" монотонна, если и чь О. «Элементарно-математическое» исследование показательной функции, логарифма и степени х', довольно сложное и здесь только намеченное, будет в гл. 1П, 9 6, заменено другим, принципиально значительно более простым исследованием.

Упражнения 1. Указать точные верхние и нижние границы н верхние и нижние преаелы для нижеслслуюших последовательностей и выяснить, какие из них принадлежат последовательности: а) — (п = 1, 2, ...); 6) О, (и = 1, 2...,); 6« ( 1)л з) — + — (а =1, 2, ...); ( — 1)" и в 2п+1 г) !+ + (п=1,2,...); д) — + — (т,п=1,2,...).

( — 1)п ( — 1)ля ! 1 и 2п+1 ' '''' ' ш' и' 2'. Доказать, что если У(х) непрерывна в интервале а < х (Ь, то для всякого а > О существует такая кусочно-линейная функция ф(х) (т. е. непрерывная функция, график которой — ломаная линия, состоящая из конечного числа прямолинейных звеньев), что )у(х) — а(х)! < з при любом х из данного интервала. 3. Доказать, что всякая кусочно-линейная функция ф (х) может быть представлена в виде суммы В(х) = а + Ьх + ~ч~~~ с,)х — х!!, где х! — абсциссы вершин ломаной.

Найти формулу такого вида длк кусочно-линейной функции у(х), заданной в интервале О < х (7 следующими уравнениями: У(х) = 2х — 1 (О.< х (2); У (х) = 5 — х (2 < х < 3); У (х) = х — 1 (3 < х (5); У(х) = 4 (5 < х < 7). 4. Для каждой из следующих функций у(х) найти такое б (с), чтобы было (Х(х,) — У(хе)! < з, лишь только )х, — х, ) < б(а): а) У(х)=2х' ( — 1(х- 1); б) У(х)=х" ( — а(х(а); в) у(х) Ь'Т вЂ” х' ( — ! (х(1), 1 5'. Функция у = э!и — не имеет разрывов в интервале О < х < 1.

Характеристики

Список файлов книги