1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Как и в случае предела последовательности, определение Коши покоится, так сказать, на обращении интуитивно приемлемого порядка. в каком хотелось бы рассматривать переменные. Вместо того, чтобы рассматривать сперва независимую. а затем зависимую переменную, мы сначала направляем свое внимание на «границу точности» е для зависимой переменной, а потом пытаемся отграничить соответствующую «арену» Ь для независимой переменной.
Утверкдение «Г(х)-»а, когда х — »х1» есть только краткое выражение той мысли, что это можно выполнить для любого положительного числа е. Одна- часть этого утверждения, например «х — ь х1», сама по себе не имеет смысла; одна одиночная непрерывная переменная не стремится к пределу. Когда в предельном переходе независимая переменная х «стремится» к х,, то величине х позволяют быть как больше, так и меньше, чем хп но решительно исключают равенство, требуя, чтобы было х Ф х,, и, действительно, х никогда не принимает значения х,. Таким образом.
наше определение можно применить и к таким функциям, которые не определены при х=хн но имеют определенные пределы при стремлении х к х,; например, зщх функция г (х) = — при х, = О. Этому исключению значения х = х, х соответствует тот факт, что при нахождении предела последовательности а» при и †» со никогда не подставляют значения п = со в формулу, скажем, для а„ = !)и. Рассматривая, например, функцию ((х) = х/х и заставляя х стремиться к нулю, никогда не позволяют переменной х принимать само значение О. Но у (х) = 1 при всех х + О, а потому предел а существует и, согласно нашему определению, равен единице. ф 8.
Понятие непрерывности !. Определения. Понятие непрерывности мы иллюстрировали на примерах в $ 2, стр. 34. Теперь, пользуясь понятием предела, мы имеем возможность дать вполне точное определение этого понятия. График функции, непрерывной в некотором интервале, мы себе представляли в виде кривой, состоящей из целого, непрерывающегося куска; мы установили также, что изменение функции у должно оставаться сколь угодно малым, если только изменение независимой переменной ограничивается достаточно малым интервалом. Это свойство формулируется следующим несколько громоздким, но зато более точным образом.
Функции г(х) называется непрерывной в точке ~, если она обладает следующим свойством; в точке $ значение функции г'($) может быть с какой угодно наперед заданной точностью е приближенно представлено любым другим значением у (х), если 74 Гл. ь подготовительный млтвгилл Рис. 19 Существует понятие, родственное понятию непрерывности, но не совпадающее с ним; это — понятие равномерной непрерывности. Функция 7(х) называется равномерно непрерывной в интервале а ~(х~(Ь, если для всякого числа е) О существует такое положительное число б, что для любых двух точек х,, хз этого интервала, расстояние между которыми ~ х,— ха~ е, Ь, выполняется неравенство ~г (х~) — у(хз)!(е.
Отличие по сравнению с определением просто непрерывности состоит в том, что в определении равномерной непрерывности б не зависит ни от хп ни от хм но оказывается только х находится достаточно близко от 9. Другими словами, функция 7"(х) непрерывна в точке с, если для всякого сколь угодно малого положительного числа е можно указать такое другое положительное число Ь = б(е), что для всех точек х, для которых ~ х — в ( ( б, выполняется также У неравенство (ср, рис.
19) УУЬ7 л ---- -----,-- 1.г'(х) — г(с)! < . к7'ск Это можно выразить еще так." свойство непрерывности требует, чтобы в точке $ выполнялось предельное равенство йт г'(х)=7" Я). к-+1 Предел функции при х †> ~ равен ее значению при предельном значении $ независимой переменной.
Важно понять, что наше определение непрерывности содержит два требования: 1) существования предела 11гпу(х) и 2) созпаде- к-> $ лая этого предела с определенным в точке $ значением 7" ($) функции. Установив понятие непрерывности функции в точке, дадим теперь определение непрерывности функции в инлгерзале: функция 7 (х) называется непрерывной в интервале, если она непрерывна во всякой точке этого интервала. Точнее: функция у (х) называется непрерывной в интервале (замкнутом или открытом), если для любого заранее заданного числа е ) О существует для всякой точки х этого интервала такое положительное число Ь, зависящее, вообще говоря, от е и от х, что 1 7 (х) — г (х)(с.
е, коль скоро )х — х )е б и х принадлежит заданному интервалу. Это определение дает ясное указание, как установить факт непрерывности в каждом конкретном случае. Мотивировка определения иепрермвиостк иа языке е-б содержится в тех же замечаниях й 7, и' 2. $ З. ПОНЯТИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ Тб 2! достаточным для всех точек интервала. Отсюда и термин — разномерния непрерывность.
Очевидно, что функция, равномерно непрерывная в замкнутом интервале а .( х ~( Ь, является и (просто) непрерывной в этом интервале. Обратная теорема также справедлива, а именно: всякая функция, непрерывная в замкнутом интервале а ( х ~( Ь, равномерно непрерывна в этом интервале. Доказательство будет дано в Дополнении 1 к этой главе, й 2, п'2. Однако и до того, как читатель усвоит это доказательство, при выполнении упражнений он может принять, что всякий раз, когда говорится, что функция непрерывна в замкнутом интервале, имеется в виду равномерная непрерывность. 2.
Точки разрыва. Мы лучше уясним себе смысл понятия непрерывности, сопоставляя его с противоположным ему понятием — понятием прерывности. Простейший вид прерывности (или разрыва непрерывности) состоит в том, что функция в некоторой точке делает скачок. В такой точке (точка разрыва) значения функции стремятси к определенным, но различным пределам, смотря по тому, приближаемся ли мы к месту скачка справа или слеза. Каково при этом значение функции в самом месте скачка н определена ли вообще рассматриваемая функция в этом месте, не играет роли.
(Такие точки называются точками разрыва 1-го рода.) Так, например, функция, определенная равенствами: У (х) = 0 при х' > 1, у(х) = 1 при х' < 1 и у(х) =1!2 прн х'=1, имеет точки разрыва 1-го рода при 5=1 и $= — 1. Правое н левое яредельиые значения втой функции при приближении к каждой из точек разрыва отличаются друг от друга на единицу (причем сами значения функции в этих точках не совпадают нн с одним нз этих пределов, но равняются их среднему арифметическому). Заметим, между прочим, что„ пользуясь понятием предела,мбжно выразить эту функцию одной формулой: У( )=йш 1 э -ьсо 1 + х В самом деле, при х' < 1, т.
е. если х лежит в интервале Рис. 20 — 1 < х < 1, х'" стремится к пределу О, и функция У(х) имеет поэтому здесь значение 1. Если же х' > 1, то хкч неограниченно растет, и наша функция имеет значение О. Наконец, при х' =1, т. е. при х =+1 и х= — 1, значение функции равняется 1!2 (ср. нс. 20). ругие скачкообразно прерывающиеся кривые (т. е. с разрывами 1-го рода) показаны иа рис. 21, а н 21, б и изображают функции, прерывиые в соответствующих точках. Но кроме точек разрыва 1-го рода, в которых существуют как предельное знзчение функции справа, так н ее предельное значение слева, могут быть и такого рода точки разрыва, в которых этн требования не выполняются. Важнейшими точками разрыва такого рода являются бесконечные 76 ГЛ.
Ь ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ 12 разрывы, или точки бесконечности. В этих точках, как, например, $ = О для функции 1/х или для функции 1/х', значение функции совсем не определено, и прн х -ь $ абсолютное значение ( У (х)) неограниченно растет. У функции 1/х значения функции неограниченно растут в пояожитеаьиом или а/ Рис. 21, отрицательном направлении, смотря по тому, приближается ли х к нулю справа или слева. Напротив, функция у = 1/хт имеет при х = О такую точку бесконечности, в которой значение функции с обеих сторон становится положительно-бесконечным (ср.
Рис. 6 на стр. 34 и рис. 12 на стр, 38). 1 Функция у =, изобрах' — 1 ' жеиная иа рис. 22, имеет две точки бесконечности: при х=+1 и при х = — 1. Наконец, приведем пример еще одного типа прерывности, при нотором ке существует предельного значения функции справа или слева. Рассмотрим функцию 1 у=з1п —, х' определенную при всех значениях х чь О. Эта функция принимает все значения между — 1 и +1, когда число 1/х пробегает значения от (л — 1/2) и до (л+1/2) п, каково бы ни было целое число а. В точках Рис.
22. 2 х=... функция имеет зна(4п+1) п 2 чение 1, а в точках х = (4п — 1) и функция имеет значение — 1. Из этого видно, что по мере приближения к точке х=О функция все быстрее и быстрее колеблется между значениями — 1 и +1, так что в окрестности точки х = О она совершает бесчисленные подобные колебания (ср, рис. 23). В самой же точке х = О функция совершенно не определена. 1 Интересно отметить, что, напротив, функция у = х з!и —, изображение х' которой здесь тоже приводится (рис.
24), в точке х= О остается непрерывной, если приписать этой функции при х = О значение нуль. Эта непрерывность достигается благодаря тому, что множитель х при приближении к нулю приводит к затуханию колебания синуса. $ З. ПОНЯТИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ 1 Однако зта функция у=ха!и — вблизи точки х = 0 бесконечно часто Х меняет монотонное возрастание на монотонное убывание н обратно. Эта д ункцня совершает бесчисленные колебания то в одну, то в другую сторону, хотя амплитуды этих колебаний при приближении х нулю становятся сколь угодно малыми. Этот пример показывает, что одно только свойство непрерывности еще оставляет целый ряд различных своеобразных возможностей, чуждых наивному наглядному представлению. Ряс. 23. Рис.
24. При всем том следует указать на одно обстоятельство, которое необходимо иметь в виду, если хотят вложить в понятие точное содержание. Может случиться, что какая-нибудь функция первоначально заданным законом соответствия не определена в какой-нибудь определенной точке, кае, например, обе последние рассмотренные нами функции при х= О. В последнем примере мы смогли так дополнить заданную функцию добавочным определением ее значения в этой исключительной точке (а именно требованием, чтобы у = 0 при л = О), что после этого дополнения функция оказалась непрерывной также и в этой точке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
