1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Числа 4, 6, 13, 27, 50, 84 суть первые шесть членов арифметичеокой прогрессии. Какого она порядка? Какой у нее восьмой член? 6. доказать, что и-й член арифметической прогрессии второго порядка можно записать в виде аи'+Ьи+с, где а, Ь, с не зависят от и. 7". Локазать, что и-й член арифметической прогрессии порядка Ь можно представить в виде многочлена аиа+ Ьиа ~+ ... + ли+ у, гле л, Ь, ..., р, д не зависят от л.
Найти и-й член прогрессии из упр. 5. $ б. Понятие предела последовательности чисел. Примеры Понятие предела последовательности принадлежит, наряду с понятием функции, к числу основных понятий математического анализа, Разъясним этот вопрос сначала на нескольких примерах. 1. а„ = 1/и. Рассмотрим последовательность чисел а, = 1, а = 1/2, аз = 1/3, ..., а„ = 1/и, ... Все числа этой последовательности отличны от нуля, однако чем больше индекс и. тем меньше число аи отличается от нуля, Если мы г! 5 Ь, ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ 47 поэтому окружим нуль каким угодно интервалом, то, как бы мал этот интервал ни был, все числа ал рассматриваемой последовательности, начиная с некоторого п, попадают в этот интервал.
Это свой- СТВО ДаННОИ ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтИ МЫ ВЫРажаЕМ таКЗ ЧИСЛа ал ПРИ возрастании л слзрелгялгся к нулю, или имеют своим пределом (Ишез) нУль, и.ти' же: последовательность чисел ап аг, аз, ... сходишел к нулю. Наглядно зто означает, что если изображать числа точками числовой прямой, то точки 1/л прн возрастаниии л все плотнее и плотнее скопляются у предельной точки нуль. Совершенно таким же образом ведут себя числа последовательности !)л-1 а1 1 аг 2 аз а4 а 3' 4 ''''' " л И здесь числа ал при возрастании я стремятся к нулю; различие заключается только в том, что зти числа попеременно то больше, то меньше своего предела, или что они, как говорят, колеблются вокруг своего предела О.
Символически сходимость последовательности чисел к нулю записывают равенством Иш а»=О л+ оэ или иногда обозначают сокращенно так; ал-»О. Буквы Иш являются сокращением латинского слова «Ишез» (предел). 2. аг =1/лз; аг 1=1/2т. В предыдущих примерах абсолютная величина разности между ал и его пределом при возрастании п монотонно убывала. Что зто не обязательно, показывает пример последовательности а, = 1/2, аг — 1, аз = 1/4. а4 — — 1/2, а = 1/6, аз — — 1/3, а = 1/8...., т, е. такой последовательности, в которой для четного л = 2т число ал = а,„ = 1/лг, а для нечетного л = 2лз — 1 число ал = агм , = 1/2лг. Эта последовательность такгке имеет определенный предел, а именно нуль, т, е„ начиная с некоторого и, все числа ал попадают внутрь любого сколь угодно малого интервала, окружающего нуль, но уже не так, что всякое число последовательности ближе к пределу нуль, чем предшествующее ему число.
!з 48 Гл. !, подготовительным млтвгиал 3. ал = —. Рассмотрим последовательность и и+1 1 2 п 2' а 3' '''' " п+1 где целочисленный индекс и пробегает все значения 1, 2, 3, Представив а„ в виде 1 ал =! — —, л+1 ' мы непосредственно убеждаемся в том, что при возрастании п число а„все более приближается к пределу 1 в том смысле, что, начиная с известного индекса Аг, все числа а„, индекс п которых превосходит А!, попадают внутрь любого наперед заданного сколь угодно малого интервала, окружающего число 1. И мы пишем: !!ш а„=1. Аналогично и последовательность лг — 1 и'+л+1 при возрастании п стремится к пределу, а именно к пределу 1: 1пп а,=1; в этом проще всего убедиться так: напишем л+2 а„=1 —,+ + — 1 — гл, и достаточно будет показать, что при возрастании и числа г„ стремятся к нулю.
В самом деле, при и ) 2 имеем и+ 2 < 2и и ла+ и + 1 ) ив, откуда 0 < г„<, = — (и ) 2), 2п 2 и отсюда непосредственно следует, что этот остаток гл при возрастании л стремится к нулю. Наше рассуждение дает вместе с тем возможность оценить, насколько число а„может в самом неблагоприятном случае отклониться от своего предела 1; это отклонение не может быть больше чем 2/и.
Только что рассмотренный пример перехода к пределу иллюстрирует следующий сам по себе правдоподобный факт: если ал представлено в виде рациональной дроби, то при больших значениях и преобладают высшие члены числителя и знаменателя, и они-то предопределяют значение предела. л 4. а„=.
~Гр. Пусть р — какое-нибудь положительное число. Рассмотрим последовательность а,, а,, ам ..., а„, ..., где л а„= — ~' р. 4 5. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ 49 Мы утверждаем, что !Ип ил= !!ш 1/р=1. Чтобы это доказать, проще всего опереться на следующую лемму, которая окажется также полезной и для других целей. Если 1+й есть пололсительное число, т. е, й ) — 1, тог) (1+И)л ) 1+ай при целом п ) 1. (!) Допустим, что неравенство (1) уже доказано для некоторого значения п = т ) 1, так что (1 + й)м ) 1 + тй; умножнм теперь обе части этого неравенства на 11-а; (1+й) ~ ) (1+ тй)(1+й) = 1+(т+ 1) й + тйт. Опустив справа положительное число тй'.
мы неравенства не нарушим, и, следовательно, (1+И)"' ) 1+-(т+1)й. Мы получили как раз наше неравенство для показателя т+1, Это значит, что если неравенство (1) справедливо для показателя т, то оно справедливо и для показателя т+1. Но оно, очевидно, верно при т = 2, стало быть, оно верно н для и = 3, а потому и для т.=-4 н т. д.— следовательно, оно справедливо для любого натурального показателя. Мы имеем здесь еше один простой пример доказательства методом полной индукции. Возвращаясь к нашей последовательности, рассмотрим отдельно л случай р) 1 и случай р с. 1 (если р=1, то )уср тоже равен 1 при всяком п, и наше утверждение является тривиальным).
л допустим сначала, что р ) 1; тогда и 1ср ) 1; положим ')аср = 1+ йл, где йл — положительная величина, зависящая от а. Ввиду вышеприведенного неравенства (1) мы получаем р =(1+ й„)" ) 1+- угй„, откуда непосредственно следует, что О < й„< ') Предполагается еше, что аь ть О; при И=О обе части неравенства равны. 4 Р.
Курант гл. ь подготовительныи матеРиал Мы убеждаемся, следовательно, что при возрастании и величина йл стремится к нулю, что и доказывает сходимость величин ал к пределу 1. Вместе с тем получается оценка степени приближения к пределу 1 при каком-либо выборе и; именно, отклонение числа а„ р — 1 от 1 меньше чем —. и л Если р «..
1, то и )/р тоже меньше единицы, а потому мы можем положить 1 1+Д где й„— положительное число. Тогда мы получаем, принимая опять во внимание наше неравенство (1), 1 1 Р = (1+а„). 1+за„ ()гменьшая знаменатель, мы дробь увеличиваем.) Отсюда следует 1 — — 1 1+ ий„< — и Ь„< —, р так что опять получается, что при возрастании и величина йл стрел г- 1 мится к нулю, 1+й -«1, а следовательно. и У р= — стрел = 1+Л„ китса к 1. Итак, наше утверждение доказано полностью. 5. а„ = а". Рассмотрим теперь последовательность чисел а„ =а", где а — постоянная, а и пробегает последовательность целых поло- жительных чисел.
Если а — положительное число. меньшее единицы, то мы можем 1 положить а = — „с положительным и, и мы получаем, снова 1+л пользуясь неравенством (1), 1 1 1 1 и„= „„,. <,+„„< — „— „. Так как Ь зависит здесь только от а, т. е. остается постоянным при изменении и, то и 1/и остается неизменным, и мы заключаем из этого неравенства, что при возрастании и величина а" стремится к нулю: !1ш а" = О (О ( а ( 1).
л -«со Это соотношение, очевидно, справедливо при а=О. Оно остается справедливым и для отрицательного а, если только а больше чем — 1. Мы убеждаемся в этом сразу, так как в. этом случае 1а~ (1 и Ва ~а~" =О. л-« б1 б б. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ 51 Если а = 1, то, очевидно, а" всегда равно 1, и мы должны поэтому пределом а" считать число 1. Если а ) 1, то полагаем а = 1 + И с положительным И и непосредственно заключаем иэ нашего неравенства, что при возрастании и величина ал не стремится ни к какому определенному пределу, но неограниченно растет.
Мы выражаем этот факт, говоря, что при возрастании н величина ал стремится к бесконечности или обращается в бесконечностьч символически мы пишем: 1ип а" =СО' (а) 1). л ьсо При этом мы должны, однако, подчеркнуть, что символ ОО ни е коем случае нельзя рассматривать кик число, над которым можно производить действия тик же, кик и нид другими числами; равенства или утверждения, выражающие, что какая-нибудь величина обращается в бесконечность, никогда не носят характера равенств между двумя определенными числами.
Тем не менее такой способ выражения и символ ОО являются чрезвычайно удобными, как мы еще не раз увидим в дальнейшем. Если а = — 1, то ал не стремится ни к какому пределу, но когда п пробегает значения 1, 2, 3, ..., величина а" принимает поочередно значения — 1 и + 1. Если а < — 1, то хотя абсолютная величина а ц растет неограниченно, но при этом само а делается попеременно то положительным, то отрицательным. л 6. Геометрическая иллюстрация пределов а" и )/р. Рассмол грим кривые у=х' и кривые у=хил =1г х и ограничимся при этом, удобства ради, неотрицательными значениями х. Тогда рис. 16 и 17 наглядно изображают соответственные переходы к пределу. Как видно из рисунка, кривые у = ха в интервале от нуля до единицы с возрастанием и приближаются все больше и больше к оси х, тогда как вне этого интервала они подымаются все круче и круче и все более прижимаются к прямой х= 1, паралле.чьной оси у.
Однако все эти кривые проходят через точку с координатамн х=1, у=1 и через начало координат, У кривых же у = х "л = 1/ х значение функции у для всех положительных значений х приближается все больше и больше к единице, так что кривые приближаются все больше и больше к прямой у=1; с другой стороны, все эти кривые должны проходить через начало координат. Следовательно, эти кривые имеют своим предельным положением ломаную линию, состоящую из отрезка оси у между ординатами 4л 62 ГЛ. Ь ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ у = 0 и у = 1, с одной стороны, н прямой у = 1, параллельной оси х, с другой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
