1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Между обоими чертежами существует, впрочем, теснейшая связь л в соответствии с тем, что функции у= )Г х являются как раз обрат- ными функциями для степенных функ,т' ций х". Из этого мы можем заключить. что оба чертежа переходят друг в друга при перегибании вокруг прямой у = х. 7. Геометрическая прогрессия. Уже со средней школы более или менее Рнс. 17.
Ряс. 16. знаком переход к пределу, связанный с суммой геометрической прогрессии (геометрического ряда): 1+Ч+?'+ . +?" '=~л (где число гт называется знаменателем прогрессии), Эта сумма при ать 1, как известно, может быть выражена следующей формулой: 1 лл л 1 у в чем легко убедиться, умножая написанную выше сумму О„на д и вычитая получающееся этим путем равенство из первоначального. Возникает вопрос: что происходит с суммой Я„, когда и неограниченно возрастает? Ответ гласит: если д заключено между — 1 н +1, исключая границы, то сумма Ял имеет вполне определенный предел 8, а именно: О=- ИшЯ„=— 1 л.ьсо 1 Ч В1 % 6. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ 53 Чтобы в этом убедиться, напишем числа 5л в форме 5 йл Вл и 1 — В 1 — и 1 — и Но мы показали уже раньше, что при условии ! о ( ( 1 вслийл чина д", а следовательно и 1 — о ' с возрастанием и стремится к нулю, откуда непосредственно следует, что при выполнении этого 1 условия число 8л при возрастании и имеет пределом ! — о Переход к пределу 1+о+из+ ...
+гт" — > при и->со выражают обычно следующим образом: Геометрическая прогрессия при ~о( < 1 может быть продолжена до бесконечное~и, и суммой зтой бесконечной геометрической про- 1 грессии (или геометрического ряда) является выразкение 1 — л Суммы Зи конечных геометрических прогрессий называют частичными (или конечными) суммами бесконечного геометрического ряда 1+Ч+йг+ .. Частичные сУммы Яи Яг, Оз..., обРазУют последовательность чисел, которую следует строго отличать от ряда 1+Ч+Ч'+ ...
Тот факт, что конечные суммы О'„геометрической прогрессии при возрастании и сходятся к числу 1 Б= выражают также и следующим образом: бесконечный ряд 1+о+ф+. „ скодиогся при ~д ~ < 1 к сумме 1 Я= л 8. ал = "у'и. Мы хотим доказать, что последовательность чисел з а,=1, а =УХ а =~/З, ..., при возрастании и стремится к единице; 1ип у' и = 1. и -> Здесь мы воспользуемся небольшим искусственным приемом. и Вместо последовательности ал = "у' и мы сперва рассмотрим после- гл.
ь подготовительным млтгяилл и / довательность Ь„= у' а„= ~/ ')гл = р' "у'и; Ь„) 1 при л) 1. Можно поэтому положить Ь„=1+Ь„с положительным Ь„, зависящим от л. На основании неравенства (1) из примера 4 Ь„"=')/л=(1+Ь„)" > 1+ай„, так что 'г'й — 1 1'и 1 Ь„( — ( — = —. и л рл С другов стороны, 1(а„=Ь'„=(1+ь„)з 1+2Ь ! Ь2 !+ 2 + 1 угй л ' Правая часть этого неравенства стремится, очевидно, к 1. Ясно, что и а„— ь!. 9. а = у' и+ 1 — у' л. Мы утверждаем, что !!ш ('у'л+! — ф~л) =О. Чтобы в этом убедиться, достаточно подлежащее исследованию выражение представить так: 1г + ' ()Ул+! — '~п)( и+1 +Р и) 1 7 л+ 1 + 3' й р л+ 1 + ! 'л Отсюда мы сразу видим, что это выражение при возрастании л .стремится к нулю.
10. аи=а/аи. Пусть а) 1. Мы утверждаем, что при возрастании и последовательность чисел аи=и/а" стремится к пределу О. Как и выше в примере 8, рассмотрим последовательность ~Га = „. Здесь мы положим ф а=1+Ь, где Ь) О, так как )Га, как и а, больше единипы. На основании неравенства, (1) .из примера 4 имеем (~Га) = (1 + Ь)" ) 1 -+ л!и откуда — г' и Ь и г' л 1 1 7'аи — — . ( ( — == (!+Ь)и !+ил .Л Ь'л Л ' Следовательно, 1 а ( —. л лаз' 'Так как а„положительно.
а правая часть этого неравенства стре- мится к нулю, то а„должно стремиться к нулю. 1 Б. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ ЗЬ Упражнения и'+и — 1 1 1. Доказать, что !йп = —. Найти такое/2/, чтобы при и >/с/ л.+, Зиг+ 1 и'+ и — 1 разность между 3, и пределом 1/3 была а) меньше чем 1/10„ б) меньше чем 1/1000, в) меньше чем 1/10'. 2. Найти пределы следующих выражений при гг-ьж: и'+Зи+1 иг+Зи+1, Би'+2и+! и'+7п'+2 ' и'+7и'+2 ' из+из л Ьг 2-! д) иг аои + аси" ' + Зри + б,п" + .
+аь .+Ьь' л 1/ иг = 1. 3. Доказать, что !!ш л +со гг иг 1 а. Доказать, что 1!ш — л О, Найти такое /2/, чтобы было — л <— л +со 1нп 1 + +...+ =1. ! 1 л-+ (фиг+1 'ф/из+2 )Гйг+и) при и > /!!. 5. Найти такие числа Дгь Дгг, л/„чтобы было и 1 и 1 а) — < — при всяком и > /2/г! 6) — < — при всяком и > /!?гь 2л 10 100 и 1 в) — < — при всяком и >гт/2, 2л 1000 6.
Сделать то же самое для последовательности ал= г'и+1 — Уи. 7. Доказать, что !!ш (2'и+1 — )Гл)9'и+1/2)=1/2. л+о 8. Доказать, что !нп (Тг и+1 — )/ и) = О. Л-2 СО 10п 9. Пусть ап = †. а) К какому пределу сходится ал? б) Монотонна ли и! эта последовательность? в) Становится ли она монотонной, начиная с некоторого /2/, т. е. при всяком и > гт/? г) Дать оценку разности между ал н ее пределом.
д) Начиная с какого значения и н выше зта разность меньше чем 0,01? и! 1О. Доказать, что !!ш — '=О. л-ьсо И /1 2 и ! 1 1!. Доказать, что !нп 2( — + — -)- ! ) л.ьсо!тил иг ' иг! 2' / 1 1 1 12. Докззать, что !нп ( —,+ , +...+ —,)=о. (, и' (и+ 1)' ' ' ' (2и)' ~ 1 1 1 13. Доказать, что !!ш 2/=+ +...+ — 1=со. п-+со(Рги Рги+1 )' 2и/ 142. Доказать, что ГЛ, Е ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ 15. доказать, что если а и а < а — положительные числа, то последовательность )га"+З» сходится к а. Аналогично, пусть даны а фиксированных, положительных чисел аь а,, ..., аз, 'Докввать, чтО вЕЛИЧиНа )г а~г +а" + ...
+ а'„' сходится, и найти ее предел. 16. Доказать, что последовательность Г' 2, 1/2)г 2, ггг2 г' 2 )г 2..., сходится. Найти ее предел. 17'. Пусть т 1п) обозначает число различных простых множителей числа и. доказать, что Нт — = О. ч 1п) л+» и Е б. Более точное рассмотрение понятия предела 1. Первое определение сходимостн. Обобщая рассмотренные в предыдущем параграфе примеры, мы приходим к следующему ебщему о п р е д е л е н и ю понятия предела: Если задана бееяопечнап последовате.гьпость чисел а,, аг, а,, ..., а„, и если существует такое число я, что в любом сколь угодно малом интервале, окружающем и, содержатся все числа а„, за исключением, быть может, конечного числа их, то говорят, что число д является пределом данной последовательности или что последовательность ан аг, ..., сходится к пределу А» ').
Необходимо подчеркнуть, что это общее определение включает также и тот тривиальный случай, когда все числа а„равны между собой и, следовательно, совпадают со своим пределом К. Только что данному определению можно придать и следующую, эквивалентную, формулировку: Если для всякгго положительного сколь угодно малого числа е существуелг такое целое положительное число гтг = г»г(е), что, пачиная с индекса гтг и далее, т.
е. при и > гт1(е), всегда ~ а„— д (<е, то число я' называется приделом последовательности аО а,, ... Естественно, что чем меньшим выбрано число е, тем большее значение придется, как правило, выбрать для целого числа гьг(е); другими словами, г»г(г) будет возрастать безгранично, если е стремится к нулю. Полезно запомнить, что всякая сходящаяся числовая ~оследовательность ограничена, т. е. для всякой последовательности ап аг, аз, ..., имеющей предел а, существует такое положительное число М, не зависящее от индекса и, что ~ а„) ( Лч для всех а„.
Зта теорема непосредственно вытекает из определения предела последовательности. Выберем е равным 1; тогда существует такой индекс гт', что при и ) гч' всегда ~ а„— я ~ (1. Обозначим через А ') Вместо выражении «за исключеииелг конечного числа» можно было бы сказатгс «начиная с некоторого значения индекса и».
э! $ б. БОЛЕЕ ТОЧНОЕ РАССМОТРЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА 57 наибольшее нз чисел (а, — А'), (ае — я(, ..., )а„— д' ~. Теперь можно положить М=(у!+А+1. Действительно, при п=!, 2,, АГ справедливо неравенство ) а„— е ( < А < А -+ 1, а при п ) М— неравенство )а„— д (< 1 < А+1, т, е, тоже (а„— д'( < А+1'). Несходящаяся числовая последовательность называется расходя- гйейся. Если с возрастанием и числа ав безгранично возрастают, пробегая положительные значения, то говорят, что последователь- ность расходится к +со и пишут (нам уже приходилось так писать): 1нпа„ = + со. Аналогично пишут 1пп а„ = — со, если при возраста- нии и числа — а„ безгранично возрастают в положительном напра- влении. Однако расходимость может происходить и другим путем, как, например, у последовательности а, =- — 1, а, = + 1, аз = — 1, ав = + 1, ..., члены которой принимают поочередно два различных значения и совершают колебания от одного значения к другому и обратно.
Еще одно важное замечание: поведение последовательности в отно- шении сходимостн не изменится, если удалить из нее конечное число членов а„. В дальнейшем мы этим будем часто пользоваться, ставя, например, вопрос о сходимости или расходимости и таких последо- вательностей, в которых члены а„ для конечного числа значений и вообще не определены, Во всех примерах, рассмотренных в э 5, дело обстояло так, что пределом изучаемой последовательности являлось уже известно.
Нам число. Если бы понятие предела не давало нам ничего другого, кроме указания на возможность приближенно выражать с какой угодно точностью некоторые известные числа с помощью последо- вательности других известных чисел, то это понятие принесло бы нам не очень много пользы. Плодотворность понятия предела в ана- лизе определяется в значительной мере тем, что пределы последова- тельностей известных чисел доставляют новые числа, еще непосред- ственно не известные или не допускающие другого выражения. Весь высший анализ дает сплошную цепь примеров, подтверждаю- щих этот факт, который станет нам в последующих главах все яснее и яснее. Представление иррациональных чисел в виде пределов рациональных чисел можно рассматривать как первый пример.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
