1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 14
Текст из файла (страница 14)
и-ооо На основании этих прзвил можно очень просто вычислить пределы многих выражений, например; 1 1 —— л' — 1 н' и'+я+1 1 1 !!а, = !Ип =1, л и' так как во втором выражении можно перейти к пределу в числителе и в знаменателе в отдельности. Еще одно простое и само собой разумеющееся правило заслуживает особой формулировки. Если !!а а„= а и !!ш Ь„= Ь и если, кроме того. а„) Ьп длн а->со п.о о любого н, то безусловно имеет место неравенство а )~Ь. Однако нет никаких оснований ожидать, что всегда будет строгое неравенство а ) Ь, в чем. например, можно убедиться, рассматривая две последовательности 1 1 а„= —, Ь„=— П и ' для которых ап ) Ь„при любом н и вместе с тем а =Ь= О. Мы рассмотрим теперь несколько новых важных примеров, с тем чтобы на них подробнее разъяснить вышеизложенный общий принцип. 5. Число е.
В качестве первого примера построения путем предельного перехода нового, предварительно не данного, числа, рассмотрим сумму Е =1+ — + — +...+ —. 1 1 1 П 1 ! 2! ' ' ' л! Мы утверждаем, что это число 8„ нри возрастании и стремится к определенному пределу. Чтобы доказать существование этого предела, заметим, что числа Юп при возрастании и монотонно возрастаюТ. С другой стороны, для любого н имеет место неравенство 1 1 ! 1 1 —— 2п пС + '+ + — г+ ° '+ и-1= + 1 —— 2 б! 1 а волин точнов влссмотвнннз понятия пгвдвлл йз Следовательно, 5„, как монотонно возрастающая последовательность, ограниченная сверху, сходится к определенному пределу.
Этот предел обозначают через е: а =1!ш Яи. и-+со Оказывается, что к этому же пределу е сходится также и последовательность чисел Тождественность этих двух пределов доказывается следующим очень простым и вместе с тем поучительным способом — характерным примером оперирования с пределами. Согласно биному Ньютона, который предполагаем известным, 1!и 1 и(л — 11 1 !! л 1 ° 2 и' + 1 ( 1)( 2) ( л — 1) Отсюда непосредственно следует.
что, во-первых, Ти ( 8„, а во-вторых, последовательность Ти монотонно возрастающая !), откуда следует существование предела 1!ш Ти = Т, Чтобы доказать равенство и +со Т = е, заметим, что во всяком случае Т > ! + !+ —,', (! — — ')+ ... для значений лг > и. Не изменяя п, заставим теперь лг неограниченно возрастать; тогда левая часть неравенства имеет пределом Т, а правая — как раз число 8и, откуда получаем т> ~„. Таким образом, имеем т> 2„>Т, при всех значениях и. Теперь только заставим а безгранично расти; тогда Ти стремится к Т; поэтому из только что написанного двойного неравенства следует сразу Т= Пш Я„=е! И +со ') В самом деле, Тио, получается из T заменой множителей 1 — 1/и, 1 2 1 — 2!и, ...
большими множителями ! — —, 1 — —, ... и прибавлеи+1 ' и+1 ' ''' иием нового положительного последнего члена. в! $6. БОЛЕЕ ТОЧНОЕ РАССМОТРЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА 65 Заставляя пв пробегать не последовательность всех целых чисел, но только последовательность степеней числа 2, лт = 2", т. е. рассматривая как раз те правильные многоугольники, вершины которых получаются путем последовательного деления окружности пополам. чы получим площадь круга в качестве предела: =й у'ж »-На» Это представление числа л в виде предела действительно дает средство для приближенного его вычисления; в самом деле, отправляясь от значения у = 2, можно последовательно вычислять члены этой последовательности. сходящейся к пределу и. Оценку степени приближения члена у,» к числу и можно получить так.
Построим касательные к окружности, параллельные сторонам вписанного 2»-угольника. Эти касательные образуют описанный многоугольник, подобный вписанному 2"-угольнику, со сторонами„ увеличенными в отношении 1: соз — . Поэтому площадь т' » описанного многоугольника дается 2» ' я формулой Так как площадь описанного многоугольника, очевидно, больше пло- щади круга, то Утл уз~ ч.п< Рв~ = (сов — ») Все это — вещи более или менее уже известные читателю. Но мы хотели бы уже здесь отметить, что этот способ вычисления площадей путем исчерпывания данной фигуры с помощью многоугольников, площади которых легко вычислить, лежит в основе понятия интеграла, которое будет введено в следующей главе (стр. 103).
8. Арифметически-геометрическое среднее. Пусть а и р — два положительных числа, причем Р~(а. Среднее арифметическое этих чисел всегда больше их среднего геометрического или равно ему, т. е. всегда причем знак равенства можно поставить только тогда, когда а=8. Доказательством этого утверждения служит замечание, что а+ Р— 2 ~/оР = (~l а — ут Д в качестве квадрата не может быть отрицательным и обращается в нуль только при а=р.
5 Р. Курант ГЛ. Ь ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ Положим а=аз, !1=Ьо, где ао>Ьо)0, и образуем среднее арифметическое +Ь 2 и среднее геометрическое =~А Очевидно, Ьз(Ь, ( а,(ао. Образуем теперь как среднее арифметическое, так и среднее геометрическое чисел а, и Ь;. а,+Ь, аг= — к —, Ьг= у а,ЬН так что Ьо < Ьг < Ьг ( а, < а, ( аги и затем снова а,+Ь, аз= 2, Ьз — $ агЬг и т. д. Мы сразу убеждаемся в том, что последовательность ал удовлетворяет неравенствам ао > аг > аг > аа ) . ) Ьо. а последовательность Ь вЂ” неравенствам Ьо < Ьг < Ьг < Ьз « ., ао Следовательно, ал образуют монотонно убывающую, а Ьл — монотонно возрастающую последовательность.
Так как, с другой стороны, все эти числа заключены между границами Ьо и ао, то существуют пределы 11ш ал=А и !1ш Ьл=В. Но легко убедиться в том, что А должно равняться В. Действительно, А = 11ш а = 1пп ал,+ Ьл и и-лил и-ъ 1 А В = — (11ш а,,+!1ш Ьи,)= — + —, 2!и л г и- и ) 2 2 откуда А = В. Этот общий предел обеих последовательностей называется арифметически-геометрическим средним чисел ао и Ьо. 9., Мотивировка точного определения предела.
Не следует удивляться, что тот, кто в первый раз слышит отвлеченное определение предела последовательности, не сразу его вполне поймет. Определение предела как бы заводит игру между двумя лицами А и В; А требует, чтобы постоянная величина а могла быть приближенно представлена величиной ал таким образом, чтобы отклонение » 6. БОЛЕВ ТОЧНОЕ РАССМОТРЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА бт было меньше заданной им, А, произвольной грани е=е,, В выполняет это требование тем, что доказывает существование такого целого числа !сс'=Мг, что все а„, начиная с элемента'алсе удовлетворяют требованию е,. Тогда А хочет задать новую, меньшую грань е=ея, В со своей стороны выполняет это тргбованке тем, что находит новое целое число ссс'=сссз (быть может, много большее), и т. д.
Если В в состоянии всегда удовлетворить требования А. какую бы малую грань А ни задавал, тогда мы имеем ту ситуацию, которая выражается символом а„— «а. Существует, без сомнения, психологическая трудность в овладении этим точным определением пределшюго перехода. Наше наглядное представление внушает «дннамическую» идею предельного перехода как результата движения: мы «пробегаем» последователыюсть чисел 1, 2, 3, ..., и, ... и наблюдаем при этом поведение последовательности а„. У нас такое ощущение, что при этом «пробегании» приближение должно быть доступно наблюдению.
Но эта «естественная» установка не допускает точной математической формулировки. Лля того чтобы прийти к точному определению, необходимо обратить порядок рассмотрения: вместо того, чтобы сперва следить за аргументом и и затем рассматривать связанную с ним зависимую переменную а„, мы основываем наше определение на шагах, которые допускают последующую проверку утверждения ал — «а.
При таком исследовании приходится сначала выбирать сколь угодно малый интервал, окружающий а, а затем проверять, возможно ли выполнить это условие, выбирая независимую переменную п достаточно большой. Так-то мы приходим к точному определению предела, присваивая выражениям «сколь утодно малая грань» и «достаточно большое и» символические имена е и М. Упражнения 1'. Заменить утверждение «последовательность а„яе ограничена по абсолютной величине» эквивалентным утверждением, не пользуясь ии в каком виде словами «ограничено» или «не ограничено». 2'. Заменить утверждение «последовательность а„ расходится» эквивалентным утверждением, не пользуясь ни з каком виде словами «сходится» или «расходится». 3'. Доказать, что если !!ш а„ = А, то и !цп ''' " = А, а,+а,+ ...
+а„ л-»со л -»со л т. е. если последовательность ал стремится к определенному пределу, то к тому же прелелу стремится и средиее арифметическое ее первых л членов. 4. Дано, что 1ця а„ = А. Пусть Ьл = ' + ' ''' " . Показать, л-»со л что среднее арифметическое средних арифметических лл стремится к тому же пределу А.
1 1 1 5. Примем 3„= 1+ — + — + ... + — за приближенное значение 1! 2! '' л! числа е. Поаучнть оценку этого приближения. Найти приближенное значение е с пятью десятичными знакамн. 88 гл. ь подготовитзльиып млтвгилл ф 7. Понятие предела функция непрерывной переменной 1. Определение и примеры. Йо сих пор мы рассматривали пределы числовых последовательностей, т. е. функций а„целочисленной переменной и.
Однако понятие предела возникает также и в связи с функцией у'(х), зависящей от непрерывного аргумента х. Говорят, что функция г(х) стремится к пределу л, когда х стремится к $, или в символической записи: Пш у (х) = л, х+1 если все значения функции у (х) сколь угодно мало отличаются от д, коль скоро х лежит достаточно близко к $. Более точная формулировка этого определения такова. Говорят, что функция г(х) стремится к прелелу д при стремлении х к $, если для всякого сколь угодно малого положительного числа е ) 0 можно окружить 8 интервалом )х — Э! ( Ь настолько малым, что для всякой точки х этого интервала, отличной от самой Э, выполняется неравенство ) ~(х) — й ! ( е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
