1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Чтобы подобное дополнение было возможно, необходимо и достаточно, чтобы пределы функции справа и слева существовали и равнялись друг другу; положив тогда значение функции в этой точке равным соответствующему пределу, мы обеспечим 78 гл.!. подготовнтвльнын млтгпилл непрерывность функции в этой точке. В предшествующем же примере 1 у = з!п — это невозможно, разрыв неустраним, х 3. Теоремы о непрерывных функциях.
В заключение приведем еще следующие важные общие положения, доказательство которых после сделанных нами в $ 6, п'4 замечаний о действиях над прелелами является очевидным: Сумма, разность и произведение двух непрерывных функций суть также непрерывные функции; частное двух непрерывных функций непрерывно всюду, где знаменатвль отличен от нуля. В частности, из этого сразу вытекает непрерывность всех целых рациональных функций, а также всех дробных рациональных функций повсюду, за исключением тех точек, в которых знаменатель обращается в нуль. То, что и прочие элементарные функции, как, например, тригонометрические, также непрерывны, получится как естественное следствие наших последующих рассуждений (ср.
стр. 92 я стр. 122). Упражнения !. Локазать, что 1 хя з!и— 1йп х =О. ,+з и!и х 2. Локазать, что а) йщ,, = 2, б) 1йп =1; в) !йп соз — =1, я|п(х — а) 1, х+созх . 1 к-ьа хг аэ 2а к ь о х+1 л-ь о х 3. а) Лаяо У(х) =бх, Найти значение б, принципиально зависящее от с н от я, настолько малое, чтобы !у(х) — у(с)) < я, коль скоро !х — $ ! < б. Сделать это при 1) я= 0,1; 2) я =0,01; 3) я=0,001. То же самое найти для б) у(х) =х' — 2х; в) /(х) =Зхя+х' — 7; г) у(х) =)' х, х>0; д) у(х) =)схя. 4.
а) Пусть у(х)=бх в интервале 0<х(10. Найти б столь малое, что !7 (х,) — г (хя)! < я, если )х, — х,! < б, где 1) в =0,01; 2) е > 0 произвольно. Сделать то же самое для б) у(х) =ля — 2х, — 1(х(1; в) у(х) = Зхя+х' — 7, 2(х (4; г) у (х) = )сх, 0 ( х ( 4; д) у (х) = )г х', — 2: х ( 2. б. Выяснить, какие из нижеследующих функций непрерывны. Найти точки разрыва для тех функций, которые прерывиы. а) хя я!их; б) ха!и'(х'); в) — мп х; г) х )'х д) %;.з<.т ~+а <.т х' — Ох+8 ' хг — Ох+9 ' х' — Ох+10! е) ж); з)! х; 1 „! н) —; к) с!йх; л); м) хе!их; я) (и — х)!их.
з!пх ' созх ' ДОПОЛНЕНИЕ 1 К ГЛАВЕ Г 79 ДОПОЛНЕНИЕ 1 К ГЛАВЕ 1 Предварительные замечания В греческой математике впервые был последовательно проведен принцип логически связного доказательства всех предложений путем сведения их к возможно меньшему числу уже не подлежащих доказательству аксиом. Эта аксиоматическая форма изложения, являвшаяся в то же время пробным камнем для законченности исследования, была в новое время принята за 'образец и в других отраслях науки. Такие люди, как Декарт и Спиноза, старались придать своим исследованиям в области философии ббльшую убедительность, облекая нх в аксиоматическую или, как тогда говорили, «геометрическую» форму. В ином положении, однако, находилась новая математика, начавшая развиваться почти одновременно с новой философией.
Математики нового времени во многих случаях очень скоро отказалнсь от этого принципа аксиоматического охватывания всего материала. Наглядная очевидность в каждом отдельном случае стала главным орудием доказательства; даже у крупнейших исследователей этой эпохи встречается интуитивное и не всегда свободное от некоторой примеси мистики оперирование с новыми понятиями !и в первую очередь со злополучным понятием «бесконечно малой величины»). Слепая вера во всемогущество новых методов исчисления толкала исследователей на такие пути, какими они никогда не смогли бы пойти, если бы подчинялись требованиям полной строгости.
Неудивительно, что только верный, гениальный инстинкт смог их предохранить от грубых ошибок. И однако было большим счастьем для всего развития математики то, что обстоятельства сложились именно так и что противоположное, критическое направление в математике появилось только в ХЧ!11 столетии. Это течение, которое в Х1Х столетии постепенно завоевало господствующее положение в науке, взяло верх только в той стздии развития математики, когда оно уже не могло препятствовать этому развитию, но, наоборот, обосновывало достигнутые уже результаты и способствовало получению новых.
Но потребность в такой критической разработке и в обосновании достигнутого постепенно усилилась в такой степени, что полное удовлетворение этой потребности должно по праву считаться одним из крупнейших успехов математики Х1Х столетия. Специально в отношении интегрального и дифференциального исчислений здесь следует в первую очередь назвать имя Коши.
Безупречной и ясной формулировкой основных понятиЯ Коши довел до конца начатое уже в ХН!!! столетии дело изложения высшего анализа в легко понятной форме, освобожденной от всех неясностей бесконечно малого, и достиг прн этом законченности, ставшей во многих отношениях образцовой. Задача, которую еще оставалось разрешить, заключалась в том, чтобы заменить при обосновании положений и методов наглядные Гл, 1. подготовитвльиый мАтеРиАл рассуждения чисто аналитическими.
опирающимися исключительно на понятие числа и на различные возможные операции над числаии; другими словами, предстояла зздача арифмелтизайии анализа. Действительно, ссылки на геометрическую интуицию в доказательствах анализа не внушают доверия критически вышколенному уму. Даже не затрагивая вопроса о точности или неточности нашей интуиции вообще или о существовании «чистого наглядного представления» в смысле Канта, легко убедиться, что рассмотрение, основанное на наивной интуиции, содер>кит в себе слишком много неопределенного и уже в силу этого не должно иметь места в строгих доказательствах анализа.
На протяжении настоящего курса мы познакомимся с большим числом подтверждающих эту истину примеров. Но уже здесь можно указать, например. на то, как трудно наглядно охватить понятие непрерывной кривой. Непрерывная кривая вовсе не должна обязательно иметь в каждой точке определенное направление; напротив, оказалось, что существуют непрерывные кривые, которые ни в одной точке не имеют направления; точно так же существуют непрерывные кривые, для которых понятие кривизны нигде не имеет смысла, а также непрерывные кривые, которым невозможно приписать какую-нибудь длину.
Все эти факты должны показать начинающему, насколько обоснована потребность в арифметизации анализа >). Тем не менее мы не должны забывать, что на протяжении столетий развитие математики происходило блестящим и в высшей степени успешным образом и без удовлетворения этой потребности в критическом обосновании. Несмотря на все свои недостатки, интуиция все же всегда является важнейшим движущим импульсом для математического творчества, и только она перебрасывает мост от теории к практическим применениям.
Опираясь на идеи Больцано и Вейерштрасса, мы изложим теперь те рассуждения, которыми строго обосновываются и дополняются рассмотренные нами в первой главе теоремы, формулированные там только путем ссылки на интуицию. В 1. Принцип точки сгущения н его приложения 1. Принцип точки сгущения. В основу строгого изложения анализа обыкновенно кладут принцип точки сгущения Вейерштрасса, Содержание этого принципа с точки зрения наивной интуиции самоочевидно, но, кратко формулируя положение дел, часто встречаю- ') По существу, необходимо иметь в виду, что строгие математические понятии представляют собой далеко идущую идеализацию возникающих интуитивно представлений.
Поэтому вопросы полного обоснования математики не могут решаться путем ссылки на наивную интуицию. ДОПОЛНЕНИЕ ! К ГЛАВЕ ! 81 шееся в анализе, он представляет большие удобства и очень полезен для применения. Он гласит: Если на конечном интервале задано бесконечное множество чисел, то эти числа имеют по крайней мере одну точну сгущения $, т, е. существует по крайней мере одно число $ такое, что любой сколь угодно малый интервал, окружающий точку $, еще содержит внутри себя бесконечно много заданных чисел. Выражая это положение наглядно, можно сказать, что всякое бесконечное множество точек на конечном отрезке имеет по меньшей мере одну точку сгущения, в любой окрестности которой еше находится бесконечно много заданных точек.
Чтобы чисто арифметически доказать принцип точки сгущения, допустим сначала, чго заданный интервал есть интервал от 0 до 1. Разделим его на 10 равных частей точками 0,1; 0,2; ...; 0,9. Тогда по крайней мере в одном из этих десяти 'частичных интервалов обязательно еше должно содержаться бесконечно много заданных чисел. Пусть этот частичный интервал или, если таких интервалов имеется несколько, то пусть один из них будет интервалом, прилегаюшим к числу О, ан Мы делим тогда этот интервал снова на 1О равных частей точками деления О, а,1; О, а,2; О, ааЗ; ...; О, а,9 и заключаем снова, что по меньшей мере в одном из этих частичных интервалов должно обязательно содержаться бесконечно много заданных чисел; пусть олин такой частичный интервал примыкает к точке О, а,аю Леля снова этот частичный интервал на 10 равных частей, повторяя наше умозаключение и продолжая таким же способом этот процесс дальше, получаем последовательность цифр а,, аг, аз, ..., из которых каждая имеет одно из значений О, 1, 2, ..., 9.
Рассмотрим теперь конечную или бесконечную десятичную дробь е = О, а,агиз Мы непосредственно убеждаемся в том, что эта дробь является точкой сгущения данного числового множества. В самом 'деле, если окружить точку з любым сколь угодно малым интервалом, то все выделенные выше интервалы, содержащие бесконечно много чисел данного числового множества, попадают внутрь данного интервала, как только наше десятичное подразделение становится достаточно мелким, Если вместо интервала 0 ( х ( 1 возьмем, скажем, интервал от а до а +й, то наше рассуждение существенно ни в чем не изменится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
