1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Мы здесь категорически исключаем значение х. равное $, с той целью, чтобы определение было применимо и к тому случаю, когда функция у(х) не определена в точке $, хотя и определена во всех других точках некоторой окрестности точки $. Если наша функция определена или рассматривается только в заданном интервале, как, например, у'(х) = у 1 — ха в интервале — 1 «( х «( 1, то в определении предела функции надо значения х ограничить этим интервалом. Стало быть, если с есть одна из конечных точек этого интервала, то х может стремиться к $ только с одной стороны, именно изнутри интервала. Тогда говорят об одностороннем пределе, (Односторонние пределы, Однако и во всякой внутренней точке 8 промежутка определения функции можно детализировать понятие предела функции так: 1) если при нахождении предела рассматривать лишь значения х ( й, т.

е. значения х только слева от $, то предел функции, если он существует, называется ее левым пределом и обозначается символом 11ш у (х) или у ($ — О); 2) если рассматривать х+1-0 лишь значения х) 8, то предел функции называется ее правым пределом и обозначается символом 1пп г" (х) или у Я+0). В том х ->1+0 частном случае, когда изучаются односторонние пределы в точке 8=0 (т. е. при х — ь0), запись упрощают и пишут для левого предела иш у(х)=у( — О), адляправогопредела !1ш у(х)=г"(+О).

х+-О х-ь+О ц а т. понятия пгвдвлл еникции ивпввяывнон пвнвманноп бй Нетрудно убедиться, что существование просто предела (можно сказать: двустороннего предела) !илг(х) равносильно выполнению к+1 следующих трех условий: 1) существует левый предел 1!ш у (х) = А, х.+ а — о 2) существует правый предел !!шу(х)=В. и 3) левый предел равен х+1»а правому пределу: А = В. Тогда предел функции при х †» В равен общему значению ее левого и правого пределов в точке $. Пр имер.

Рассмотрим часто встречающуюся функцию знп х (читается «сигнум х», от латинского слова «з!йпцш» — знак); — 1 при х<0, зяпх= 0 при х=О, +1 при х) О. Ясно, что 1!т здп х = — 1, а 1!ш зап х =+ 1. Двусторонний к-к -о к-> '-о предел, !нп здпх, не существует, ибо в точке 0 левый предел не х+о равен правому пределу.] Из определения предела функции непосредственно вытекает следующий факт. Если !!ш)'(х)=л и дана сходящзяся к пределу й х-Ь$ числовая последовательность хн хт, х,, ..., х„, ..., все члены которой отличны от самого $, то !'нп T(хк) = К. к-+со Действительно, пусть е — любое положительное число; наша задача — показать, что при всех значениях л, больших, чем некоторое и, выполняется неравенство (у(х„) — л ) «.

е. По определению предела функции. существует такое число б) О, что из неравенства )х — с! (6 вытекает неравенство ! Г(х) — д~ «. е. Но так как хк — » й, то неравенство ~ х„— $ ~ ( 6 выполняется при всех достаточно больших значениях л, а следовательно, для таких значений справедливо и неравенство !у (х„) — л'! «. е, что и требовалось доказать. Поясним абстрактное определение предела функции на нескольких простых примерах. а) Рассмотрим сначала функцию з!о х у(х) = —, х определенную прн к+ О. Мы утверждаем, что з!и х !нн — = 1. —. о 70 гл.

!. Подготовительный млтегиал Этого нельзя доказать путем перехода к пределу в числителе и в знаменателе в отдельности, так как при х = 0 числитель н знаменатель одповре- О менно обращаютсн в нуль, а символ — сам по себе не имеет никакого 0 смысла. Мы поведем доказательство следующим путем. Из рис. 18 получаем путем сравнения илощадей треугольников ОАВ и ОАС с площадью сектора ОАВ неравенства 5! 5!и х < х « е х (О < х < н(2), откуда следует х 1 1 « — 5!П Х СО5 Х 1 — созз х 5!и х 1 з!и х. х х(1+сов х) х(1+сов х) х 1+созх При х — «О первый множитель правой части стремится к единице, второй— к 1/2, а третий — к нулю, следовательно, произведение стремится и нулю. Итак, 1 — соз х !пп =О, к «с 1 — соз х Из выведенной выше формулы делением на х получаем 1 — со5х 5!Пх 2 хт ( х ) 1+со5х откуда !!ш 1 — сов х 1 к.+о х' 2 в) Рассмотрим функцию г хз, определенную при всех значенинк х.

Эта функция всегда неотрицательна; она равна х прн х )~ 0 и — х при х < О. Другими словами, г'х' = ! х (. следовательно, функция )< хт<<х, определенная при всех к~О, имеет значение +1 при х > О и — 1 при х < О. Отсюда Это, очевидно, верно и при х < О, если только Су ° 4 0 < ! х ( < и/2. 5!П Х Рис. 18. Таким образом, дробь — заключается между границами 1 и соз х. При х-+О функция созх, как известно, стремится к единице, откуда непосредственно следует, мпх что дробь — должна отличаться от 1 сколь угодно мало, если толы<о х х достаточно близок к нулю; но в атом именно и заключаетСя содержание того предельного равенства, которое мы доказываем.

Из доказанного равенства следует соотношение <их . з!их . 1 !!ш — = 1ип — 1ип — = 1. к-+О Х к-«О Х к.+О Сея к б) Нй !' 1 сов< !' к+О Х к<«С Имеем прн 0< ~х! < и/2 Щ э т. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ НЕПРЕРЫВНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 71 вытекает, что Иш не может существовать, так как сколь угодно )' х-ьо близко ог х = О можно найти как значения х, для которых дробь равна + 1, так и значения х, лля которых она равна — 1.

(Можно сказать и так: предел функции не существует злесь потому, что ее левый предел ( — 1) не равен правому пределу (+1).) Можно, разумеется, рассматривать и такие предельные переходы, при которых непрерывный аргумент неограниченно возрастает. Так, например, сама собой понятна следующая запись: 1 1+— х+1 .

+х' Иш —,= 1яп =1. «.+ о х 1 х-эх 1 хз Она означает, что выражение слева сколь уголио мало отличается от еди- ницы, если только х взят достаточно большим. В этих примерах мы молчаливо предполагали, что действия над пределами функций непрерывного аргумента подчиняются тем же законам, что и действия иад пределами последовательностей.

В справедливости этого читатель может убедиться самостоятельно; доказательства по существу такие же, как для действий над пределами последовательностей. Упражнения 1. Найти следующие пределы, обосновывая каждый шаг указанием применяемой теоремы о пределах: а) Иш 3х; б) И|п (4х+3); х-ьз х-хз в) Иш 2х+2 г) 1ип У 5+$ 2х «.ьг «+ «-эз 2. Доказать, что: а) Иш =ш б) 1пп =1; в) 1ип х«1 . з1п х з1п (хз) =О. «.+г х — 1 ' «.ь„п — х ' «.+о х 3. Выяснить, существуют ли нижеслелующне пределы, и если существуют, то найти их значения: )'! — х У! + х — У"1 —. ~~о х.ьо х 2.

Мотивировка определения предела функции непрерывной переменной. Определение предела в терминах е-6 является результатом продолжавшихся много десятилетий усилий поставить это понятие на строгий математический базис. Математикам ХН1! и ХНШ веков, изучавшим движение и функцию, понятие независимой переменной, врсиенной величины х, непрерывно «текущей» к пределу хи казалось само собой разумеющимся понятием.

Это первичное течение независимой переменной х ведет ва собой вторичную величину и = у (х), которая, так сказать, ГЛ. Ь ПОД!'ОТОВИТЕЛЬНЫй МАТЕРИАЛ следует за движением х. Наглядному представлению, что г" (х) «стремится», или «приближается», к постоянному значению а, когда х течет к хп хотели дать точную математическую формулировку. Однако со времен Зенона и его парадоксов попытки точной математической формулировки интуитивного физического или метафизического понятия непрерывного движения неизменно терпели неудачу. Дискретную последовательность значений ан ам аз, ... можно пробегать шаг за шагом, Однако, когда имеют дело с непрерывной переменной х, значения которой заполняют целый интервал числовой оси, тогда возникает трудная задача объяснить, каким образом должен л приближаться к постоянному значению хи чтобы х принимал друг за другом и в надлежащем порядке все значения упомянутого интервала.

Точки прямой образуют плотное множество. и когда достигнута какая-то точка, то не существует «ближайшей» к ней точки. Интуитивная идея непрерывной величины и непрерывного течения совершенно естественна. Однако нельзя на нее ссылаться, когда хотят выяснить математическую ситуацию; между интуитивной идеей и математической формулировкой, призванной описать в точных выражениях важные для науки элементы нашей интуиции, всегда останется разрыв, пробел. Парадоксы Зенона и указывают на этот пробел.

Коши первый понял, и в этом его заслуга, что при построении математического понятия можно и даже должно избегать ссылки на первоначальную наглядную идею. Как н в других вопросах, и здесь путь к научной ясности был найден в том, что формулировали понятия, соответствующие явлениям, принципиально «доступным наблюдению». Если мы поразмыслим, какое конкретное представление мы связываем со словами: «непрерывное приближение», как поступить в конкретном случае, чтобы его констатировать, то мы почувствуем себя вынужденными припять такое определение, как определение Коши.

Это определение статично: оно не пользуется интуитивным понятием движения. Напротив, только статическое определение и дает возможность точного математического анализа непрерывного движения и разрешает парадоксы Зенона, насколько это касается математики. В определении в терминах е-Ь независимая переменная не лвижется; она не «стремится» к пределу х, и не «приближается» к' нему в каком-то физическом смысле. Эти выражения и символ -ь сохраняют, и никакой математик не должен отказываться от наглядной картины, которую они вызывают.

Но когда речь идет о том, чтобы проверить. существует ли предел, тогда следует применить именно определение с е и Ь. Достаточно ли хорошо согласуется это определение с наглядным «динамическим» понятием приближения— это вопрос такого же рода, как вопрос: достаточно ли хорошо описывают аксиомы геометрии наглядное понятие пространстваг Обе формулировки являются неполными в том смысле, что они охваты- ! д понятие нвпгзгывности вают только часть нашего наглядного представления, но они дают надежный математический фундамент, чтобы на нем расположить интуитивный опыт.

Характеристики

Список файлов книги