1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

С даль- нейшими примерами мы познакомимся уже в настоящем параграфе несколько позже. 2. Второе (внутреннее) определение сходимости. Как распоз- нать по заданной последовательности ан а, аз, ..., а„ ..., что она стремится к пределу, хотя бы и не умея указать заранее этот предел) Ответ на этот вопрос дает критерий сходимости Коши (Сапсйу), но прежде чем его сформулировать, заедем следующее опре- деление: ) ! ал ! = ! (а„— в ) + А' 1 < ! а„— Е ! + ! е ! ( А + 1 + ! Р ! = АВ.

(дрим. перев.) гл. ь подготовитвльнын млтвгиьл Последовательность чисел а,, аг, ..., а„, ... называется внутренне сходящейся, если для всякого сколь угодно малого положительного числа е существует такое число М=М(е), вообще говоря .зависящее от е, что ~ а„— а,„( ч е, ко.чь скоро и ) Аг(г) и т ) Аг(г). Теперь можно формулировать Критерий сходимости Коши. Всякая внутренне сходягцаяся числовая последовательность имеет предел, Важность критерия Коши состоит в том, что он дает возможность говорить о пределе последовательности на основании рассмотрения самой последовательности, не имея какой-либо предварительной информации об этом пределе. Легко доказать следующее предложение, обратное критерию .сходимости Коши: если последовательность а,, аг, ...

стремится к пределу К, то она внутренне сходится. Лействительно, на основании определения предела послеловательностн, если Иш а„ = К, то для любого сколь уголно малого е ) О при достаточно больших .значениях т и и имеем ! й — 11~ < —,' и ! К вЂ” а. ~ С вЂ”,' Поэтому ( а„— а,„( =) (д — а„) — (д — аь)) ~() д — а,„~+ ) К вЂ” а„) ( е. Так как е может быть выбрано сколь угодно малым, то полученное неравенство и выражает паше утверждение.

Сам критерий сходимости Коши становится почти непосредственно очевидным, если изобразить числа точками числовой прямой. Он тогда сводится к утверждению, что последовательность непременно имеет предел, если, начиная с некоторого номера М, все члены последовательности могут излгеняться только в небольшом промежутке, который становится сколь угодно малым, если выбрать М достаточно большим. Аналитическое доказательство критерия будет дано в Лополнении 1 к этой главе. Пока мы ограничимся этим наглядным рассмотрением.

Критерий сходимости Коши эквивалентен принципу стягиааюгцихся промежутков. Пусть дана последовательность интервалов 1, таких, что всякий интервал 1„содержится в предшествующем 1„ а длина 1„стремится к нулю; если теперь почти все члены') числовой последовательности а, содержатся в каждом нз интервалов 1„, то а„стремится к пределу д, который, как «ядро».

принадлежит всем интервалам 1„. (См. Лополнение ! к этой главе, $ 1, п' 3.) В качестве примера рассмотрим последовательность чисел (ь) ') Выражение «ночтн все члеимэ означает: все члены, начиная с некоторого номера ДГ, т. е. при всяком и > Аг. (Прим. перев.) 2! Э К БОЛЕЕ ТОЧНОЕ РАССМОТРЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛЛ 59 где ае и а — два любых заданных положительных числа. Тогда !!ш а„= [/а и -О со независимо от выбора числа иэ. (Кстати, это лучший способ извлечения квадратного корня.) и Доказательство. Положим для краткости Ь = —, так и а 1 что аи+, — — ~(аи-[-Ьи) и аиЬи=а. Все аи и Ь, положительны. Число аит, есть среднее арифметическое чисел аи и Ьи, а [/а — их среднее геометрическое.

Поэтому а„~,)~ !/а при и)~0 (см, и' 8, стр, 65), Число ае выбрано произвольно, независимо от а. Если как раз аз=1/а, то и Ье= [/а, затем и Ь,=а, [/а н вообще Ьи= пи= 1/ а при любом и. Тогда, очевидно, 1!ш аи=1/а. Если же аи чь 1/а, то а„) 1/а при п )~ 1, а Ь„( [/ а, нбо аиЬи = а = [[/а) . Далее, аи+, является серединой предшествующего отрезка [Ь„, аи[, так что а„„, < а„при а )~ 1; стало быть, начиная с и = 1, все аи монотонно убывают, а все Ьи монотонно возрастают.

Итак, перед нами последовательность стягивающихся вложенных отрезков [Ьи, аи[, длины которых с каждым шагом уменьшаются по крайней мере в два раза, а число 1/а принадлежит всем интервалам этой последовательности. Отсюда и вытекает, что 1нп аи='[/а. и-+со Легко убедиться, как превосходно этот процесс сходится. Пусть. 1/а = аи — Ьи, где би ) О. Тогда аи = [/а+б„ и — — 'гг а — "Г' а Гга / Зи Ьи аи У а+Зи 1+ Ьи [С, )са а / г'а Следовательно 1 Ьи аи = — (аи+ Ьи) = 1/ + — — + ...

2 а Ьг Итак, новая погрешность приблизительно равна — '. Это значит. 2 г'а что если мы подсчитали, например, 1/10 с пятью знаками после. запятой. то следующий шаг сразу повысит точность до десяти знаков после запятой. Обобщение этого примера дает последовательность 1 а а и+, — — (т — 1) аи + — „, ли ') Поставленные рядом два анана + — яли — + означают, что знаки дальше чередуются. Гл. е пОдГОтОВительный млтеоиал где т ) 1 есть натуральное число, а и и аь, как и выше, — любые заданные положительные числа.

И здесь имеем стягивающуюся после- довательность вложенных друг в друга отрезков, длины которых уменьшаются с каждым шагом по крайней мере на т-ю часть. Быстрота сходимости того же рода, что и в рассмотренном выше случае т = 2, так что эта последовательность дает удобный прием извлечения корня степени т из числа и, ибо и 11п1 а„= т,/ц, ь+ о 3. Монотонные последовательности. Вопрос о сходимости заданной последовательности к пределу решается особенно просто, если последовательность является так называемой монотонной иоследовательностью, т. е, такой, в которой каждый член последовательности либо всегда больше предшествующего (монотонно возрастающая последовательность), либо всегда меныпе предшествующего 1монотонно убывающая последовательность). В этом случае справедлива следующая теорема: Всякая монотонно возрастающая последовательность, в которой все члены ограничены сверху, т, е, лежат ниже некоторой постоянной верхней грани М, имеет предел; точно так же всякая монотонно убываюигая последовательность, в которой все члены не могут опуститься ниже некоторой постоянной нижней грани т, сходится к пределу, Эти два предложения мы также будем пока считать наглядно очевидными и дадим их строгое доказательство лишь в дополнениях к настоящей главе.

Сходящаяся монотонно возрастающая последовательность может, разумеется, иметь пределом только число, превосходящее все члены последовательности, а монотонно убывающая последовательность может сходиться только к пределу, меньшему любого члена последовательности. Так, например, числа 1/и образуют монотонно убывающую последовательность с пределом О, а числа 1 — 1/и — монотонно возрастающую последовательность с пределом 1.

В некоторых случаях удобно заменить требование монотонного возрастания последовательности более слабым требованием, чтобы члены последовательности во всяком случае ие убывали, т. е., другими словами, допустить возможность равенства между двумя соседними членами последовательности. В этом случае говорят о монотонной неубывающей последовательности или же о монотонно возрастающей последовательности в слабом смысле. Наше предложение о существовании предела сохраняет свою справедливость и для таких последовательностей, равно как и для монотонных невозрастаюших последовательностей и.чи последовательностей, ионотонно убывающих в слабом смысле. И . $ В.

БОЛЕЕ ТОЧНОЕ РАССМОТРЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА 61 4. Действия над пределами. Наконец, сделаем еще одно замечание относительно действий над пределами. Из понятия предела вытекает почти непосредственно, что элементарные арифметические действия сложения, умножения, вычитания и деления производятся над пределами согласно следующим правилам. Если ан а,, ... есть последовательность с пределом а, а Ь,, Ью ... — последовательность с пределом Ь, то и последовательность чисел с„= а„+ Ь„ имеет предел, причем 1~в (а„+Ь„) =а+Ь. Аналогично и последовательность с„= а„— Ь„имеет предел: 1пп(а,— Ь„)=а — Ь, Последовательность чисел с,=авд„тоже сходится, и 3!ш (а,Ь„) =аЬ. ь.+со Если предел Ь отличен от нуля, то сходится и последовательность с =— о„ Ь ь и для нее Иными словами, рациональные арифметические действия перемести- тельны относительно операции перехода к пределу, т.

е. результат — один и тот о4се, совершаем ли мы сначала переход и пределу, а затем производим рациональные действия или поступаем наоборот. Для доказательства этих простых правил достаточно рассмотреть одно из них в качестве примера, по образцу которого читатель легко сам докажет остальные правила. Рассмотрим, например, умножеш е пределов. Соотношения а„— ьа, Ьв — РЬ означают следующее: если выбрать любое сколь угодно малое число е, то достаточно взять и больше, чем М, где А4=Аг(е) — некоторое, соответствующее е, достаточно большое число, чтобы безусловно имели место неравенства )а — а„)(е и (Ь вЂ” Ь„) (е.

Напишем тождество; аЬ вЂ” а„Ь„= Ь(а — а„)+ а„(Ь вЂ” Ь,). Так как обязательно должна существовать такая не зависящая от и положительная грань М, что (а„! ( М, то получаем ) аЬ вЂ” а„Ь„~ ( ~ Ь Й а — а„)+ ( ав )П Ь вЂ” Ь„! ( () Ь )+ Л4) е. ГЛ. Ь ПОДГОТОВИТЕЛЪНЫН МАТЕРИАЛ Так как величина ( ! Ь (+ М) е становится сколь угодно малой, если только е само выбрано лостаточно малым, то отсюда следует, что нри достаточно большом и числа а„Ьп и аЬ действительно сколь угодно мало отличаются лруг от друга; но з этом как раз и заключается утверждение, содержащееся в равенстве 1!ш (а„Ь„) = аЬ.

Характеристики

Список файлов книги