1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 10
Текст из файла (страница 10)
„и и складываем почлвнно. Получится (п + 1)' = 33, + 35 ! + п + 1, откуда после подстановки выражения для 8! 3 \ 1 334= (п+1) ~(п+1)' — 1 — — и з =(и+1) ! п' + — п), а следовательно, и (и + 1)(2п + 1) б Пользуясь аналогичным приемом, можно представить в виде рациональной функции от п н нижеследующие функции натуральной переменной; (и) 14 [ 24 [ [ из 3 (п) И [ 24 [ [ п4 (См. также следующую рубрику о полной индукции.) $ « Функции целочисленной пегемвннон 2. Другими простыми функциями индекса являются выражения в!=123...п и бивомвальиые коэффициенты 0- и ) п(п — 1) ...
(и — в+1) и! й) д! л! (п — д)! при постоянном д. 3. Всякое целое число и > 1, не являющееся простым числом, имеет известное число делителей, отличных от него самого и единицы, тогда как простые числа делятся только на 1 и иа самих себя. Количество Т (п) всех делителей данного числа и является функцией самого числа и. Для первых чисел натурального ряда эта функция представлена в следующей таблице; п = ! ~ 2 3 ~ 4 ~ 5 ) 6 ) 7 ~ 8 ~ 9 ~ 10 ) 11 ( 12 Т(п)=1(2 2)3~2~4(2(4(3( 4~ 2~ 6 4.
Значительно более сложной числовой функцией является число п(п) простых чисел, не превосходящих заданного числа и. Подробное исследование этой функции является одной из самых интересных и привлекательных проблем теории чисел '). Здесь мы только приведем основной резулыат этих исследований: для больших значений п функция и (п) приближенно выражается функцией и,'!и п '), где символ !и и означает логарифм при «натуральном основании» е, определение которого будет дано позже (гл. !!1, 6 6), Функцию целочисленного аргумента обычно представляют в виде числовой последовательности.
Числовой последовательностщо называется бесконечная совокупность чисел аы а» аз, „ а„, ..., следующих друг за другом по какому-нибудь закону, определяющему а„ как функцию индекса и. Другими словами, мы имеем здесь функцию натурального аргумента и. Единственная разница состоит в том. что вместо символа а(п) пользуются индексным обозначением а„. 2. Принцип полной индукции. Для каждого натурального числа п последовательности 1, 2, 3, 4...., существует непосредственно ва ннм следующее число и+ 1. Последовательность натуральных чисел представляет собой самый простой и естественный пример математически бесконечного, играющего исключительную роль в математическом андлизе.
Повсюду встречаются «множества», состоящие ив бесконечного числа «элементов», т, е. математических объектов: например, множество всех точек прямой или множество всех треугольников плоскости. Бесконечная послеловательность натуральных чисел— простейший пример бесконечного множества.
Процесс постепенного перехода от и к и+1, порождающий последовательность натуральных чисел, приводит к одному из важнейших математических методов доказательства, принципу полной индукции. «Эмпирическая индукция» естественных наук исходит из более ') Теория чисел — математическая наука, изучающая специфичесние свойства целых чисеи (Приди перев.) ') То есть частное от деления числа п(п) на число и/!пи при достаточно большом п сколь угодно мало отличается от единицы. гл, ь подготовитнльный млтьвилл или менее значительного числа наблюдений какого-нибудь явления и отсюда выводит суждение об общем 'законе, которому должны подчиняться все повторения этого явления. Степень уверенности, с которой этот закон признается, таким образом, справедливым, зависит от числа подтверждающих наблюдений.
Такого рода индуктивное умозаключение является часто вполне убедительным; предположение, что солнце взойдет завтра на востоке, столь достоверно, как только может что-либо быть достоверным. Но эмпирическая индукция носит совсем другой характер, чем строго доказанная математическая теорема. Совсем по-иному применяют полную индукцию для того, чтобы доказать истинность математической теоремы для бесконечной последовательности случаев — первого, второго, третьего и т.
д. без исключений. Обозначим через А утверждение, относящееся к любому натуральному числу и. Пусть А означает, например, следующее утверждение: «Сумма углов многоугольника с числом сторон а+-2 равна 180' ° п». Или А' означает утверждение: <Если в плоскости провести п прямых, то плоскость разобьется самое большее на 2' частей». Лля того чтобы доказать такое утверждение для любого натурального числа а, недостаточно доказать его для первых 10, или 100, пли даже 1000 значений. Вместо этого надо будет применить математический метод, который мы разъясним сначала на доказательстве утверждений А и А'.
В случае А мы знаем, что при л = 1 многоугольник является треугольником и сумма его углов равна 1 ° 180'. В случае четырехугольника, и = 2, проводим одну диагональ, и четырехугольник разобьется на два треугольника. Этим непосредственно доказывается, что сумма углов четырехугольника равна сумме углов обоих треугольников, т. е. 2 ° 180'. При и = 3 получается пятиугольник, который диагональю разбивается на треугольник и четырехугольник. Так как сумма углов четырехугольника — 2 !80', а треугольника — 180', то сумма углов пятиугольника равна 3 180'.
Теперь ясно, что этот процесс можно таким же образом повторять дальше сколько угодно раз, получая тем самым доказательство теоремы для и = 4, и =.5 н т. д. Каждое отдельное утверждение получается из предыдущего одним и тем же способом, так что общее утверждение А становится очевидным для всех значений и. Аналогично доказывается утверждение А', При и = 1 оно, очевидно, справедливо, ибо одна-единственная прямая делит плоскость на две части. добавим теперь вторую прямую. Каждзя из первых двух частей разобьется теперь на две новые части, за исключением того случая, когда вторая прямая параллельна первой, но, так или иначе, при п = 2 получается не более чем 4 = 2з части.
Теперь добавляется третья прямая. Каждая из уже существующих областей плоскости либо разрежется на две части, либо нет, Стачо быть, общее число частей не больше чем 2з ° 2 = 2', Убедившись в справедливости а «акнкцни цвлочислвннон пвгвменногт утверждения А' при и = 3, можно теперь такии же способом доказать его для следующего случая и т. д. до бесконечности, Основная илея этого рассужления состоит в том, что доказательство теоремы А для всех значений и получают, доказывая ее справедливость поочередно для последовательности частных случаев А,, Аа, ..., А„. Возможность такого умозаключения зависит от двух факторов: а) должно быть дано обгцее доказательство того, что если верно утверэкдение А„то верно и следующее за ним утверждение А,,; б) должно быть известно, что утвержление А, справедливо.
Этих двух условий достаточно для локазательства всех утверждений А,, Аж Аз, ... — таков логический принцип, который имеет в математике столь же основополагающее значение, как классические правила аристотелевой логики. Лаем абстрактную формулировку этого принципа: Пусть бесконечная последовательность математическихпред..гожений Ан Аз, Аз, ... представляет в своей совокупности теорему А. Исходим из следующих допущений: а) с помощьго гсагсоголибо математического рассуждения можно показать для любого целого числа г, что из справедливости утверждения А, вьгтскзет справедливость утверждения А, н и б) известно, что пуз~'.
ожение А, верно; в таком случае все утверждения последовоггельности справедливы, и тем самым теорема А доказана. Мы принимаем этот принцип в качестве основного положения математического мышления. Принцип полной индукции большей частью применяют, не указывая этого ясно н ограничиваясь, самое большее, ничем не обязывающим «и т. ллк Особенно часто это встречается в элементарной,математике. Однако в более сложных доказательствах следует предпочесть ясно выраженное проведение процесса индукции. Приведем простой пример. 3.
Пример: сумма первых и квадратов. Прямой проверкой находим, что по крайней мере для первых значений и 1, +2э + + ь и (» + 1)(2п + 1) 6 в можно предположить, что эта замечательная формула годится для всех целых чисел п. Лля доказательства обнаружим сперва следующее: если допустить, что утверждение А„верно при п=г, т. е. )г 1 2э+3э+ + ь г(г+1)(2гл-1) б то, прибавляя к обеим частям этого равенства (г+1)', получим 1'+2'+Зе+ ... +г'+(г+1)э= +(г+1)э= г (г + 1) (2г + 1) + 6 (г + 1)' (г + 1) (г (2г -+ 1) + 6 (г )- 1)) 6 6 (г+1) (2г'+7г+6) (г-1-!) (г+2) (2г+3) гл. ь подготовитнльнып млтииилл Это равенство есть как раз утверждение А,ьь так как оно получается из предположенного равенства заменой и на « + 1. Лля завершения доказательства остается только заметить, что утверждение Ао выражающееся здесь равенстяом 1 (1 + 1) (2 + 1) б действительно верно.
Следовательно, формула верна при всех значениях и. Таким же способом можно доказать и формулы для суммы третьих степеней, четвертых степеней и вообще для суммы 1" +2" +За+... + иь, где Ь вЂ” любое натуральное число. (Ср. сноску|) на стр. 42.) Упражнения 1. доказать, что 1э+2'+ ... +и'=(1+2+ . +и)э. 2. Из формулы для Р+2э -~-... + и' вывести формулу для 1'+3'+ .. ... +(2и+1)э. 3. Локазать следующие свойства бнномиальных коэффициентов: а)(~)=( ) (Ь(и); б) (Ь !)+(~)=( Ь ) (при Д>0); В) ! ! («ъ) ( (и) )) ( и ) ( (и) 2з 4.
Вычислить следующие суммы: а) 1 2+2 3+ ... +и(и+1); б) — + — + ... + 1 1 1 1 ° 2 2 3 ''' и(и+1)' 3 5 20+1 1э ° 2т + 2э.3э + '' ' + 'иэ(и+1)э 5. Последовательность называется арифметической прогрессией первого порялка, если разность любых двух последовательных членов постоянна. Она называется арифметической прогрессией второго порядка, если разности последовательных членов образуют арифметическую прогрессию первого порядка; н вообще, последовательность называется арифметической прогрессией порядка Ь, если разности последовательных членов образуют арифметическую прогрессию порядка (Ь вЂ” 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
