1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Элементарная точка зрения школьной математики направляет внимание на частности и приводит к потере общей перспективы в смысле умения подмечать общие зависимости и применять систематические методы. Но, с другой стороны, квысшая точка зрения» общих методов кроет в себе противоположную опасность разрыва с миром конкретного.

Погрузившись в мир общих понятий, часто теряют способность видеть и понимать конкретное и оказываются беспомощными иерей лицом простейших конкретных задач. Читатель должен позаботиться о том, чтобы собственными силами избежать опасности с той и с другой стороны. Только продумывая на каждом отдельном примере самостоятельно все детали и вполне уясняя себе этим путем общую мысль, он сможет этого достигнуть. и в этом заключается основная задача каждого стремящегося изучить науку, ГЛАВА ! ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ Два понятия, если не считать понятия числа, лежат в основе дифференциального и и~!тегрального исчисления и вместе с тем в основе всего высшего анализа: понятие фунийии и понятие предела.

Хотя эти понятия встречались иногда уже в классической древности, но только в современной математике они приняли характерную для них форму и приобрели фундаментальное значение, В настоящей вводной главе мы попытаемся наиболее простым и наглядным образом уяснить сабе эти понятия. В 1. Числовой континуум') Вопрос о том, что. собственно говоря, представляют собой числа, касается больше философа, чем математика, н является предметом многочисленных философских исследований.

Математика, однако, не нуждается ни в каком предварительном теоретико-познавательном исследовании более глубокой сущности понятия числа. Мы будем поэтому рассматривать числа и прежде всего целые положительные или натуральные числа 1, 2, 3, ... как нечто непосредственно данное; точно так же и правила, по которым можно производить действия над этими числамиа), мы будем считать данными и напомним только кратко, каким образом оказалось необходимым расширить понятие целых положительных или натуральных чисел. 1. Система рациональных чисел н необходимость ее расширения. В области натуральных чисел основные операции сложения и умножения всегда неограниченно выполнимы, т.

е. сумма н произведение двух натуральных чисел являются всегда также натуральными числами. Но обращения этих операций, т. е. вычитание и деление, не всегда выполнимы в области натуральных чисел, и это обстоятельство уже давно принудило творческую силу математики ') Контянуумом называется множество всех действительных чисел (рациональных и иррациональных).

(Прим. перец) а) Вот эти правила: 1) (а+Ц+с = а+(Ь+с) (сочетательный закон сложения). 2) а+Ь = Ь+а (переместительиый, илн коммутативный, закон сложения). 3) (аЬ) с = а (Ьс) (сочетательный закон умножения). 4) аЬ = Ьа (переместительиый закай умножения). 5) а(Ь+с) =аЬ+ас (распределительный закон умножения). ГЛ. Ь ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫП МАТЕРИАЛ создать число О, отрицательные числа и, наконец, положительные и отрицательные дроби. Совокупность всех этих чисел принято назы- вать рациональными числами, так как все онн получаютея кз еди- ницы путем применения «рациональнык арифметичесник дей- ствий»: сложения, умножения, вычитания и деления.

Числа принято наглядно изображать посредством точек прямой линии, «числовой прямой» или «оси», принимая на втой прямой не- которую произвольную точку за начало, или точку О, а другую— за точку 1; отрезок между этими двумя точками служит тогда масштау -у -г л г г,у бом, при помощи которого каждому положительному или отрнцаРис. !. тельному рациональному числу приводится в соответствие определенное место на числовой прямой, причем .обыкновенно положитель- ными числами помечаются точки справа от нуля, а отрицатель- ными — слева (рис.

1). Если понимать, как обычно, под абсолютной величиной ~а~ чи- сла а само значение а, если а )~ О '). и число — а, если а ( О, то ~ а ) просто означает расстояние соответствующей точки числовой прямой от начальной точки, Геометрическое истолкование рациональных чисел при помощи точек числовой прямой приводит нас к установлению важного свой- ства совокупности рациональных чисел, формулируемого так: «мно- жество рациональных чисел является всюду плотным». Это означает, что между двумя сколь угодно близкими друг к другу рациональ- ными числами имеются еще другие рациональные числа илн, выра- жаясь геометрически, что любой сколь угодно малый отрезок число- вой прямой содержит внутри себя рациональные точки. Это свойство плотности множества рациональных чисел становится сразу очевидным, .если заметить, что числа 1/2, 1/2т, 1/2з..

., 1/2" становятся все меньше и меньше и при возрастании п все более приближаются к нулю. Если разделить числовую прямую, начиная с точки О, на рав- ные отрезки длины 1/2". то концы этих отрезков !/2", 2/2", 3/2«, ... представляют рациональные числа вида ш/2"; при этом мы можем располагать числом н по произволу. Если на числовой прямой задан какой-нибудь определенный отрезок, то, как бы мал он ни был, мы можем всегда сделать вышеуказанное подразделение числовой пря- мой настолько мелким, чтобы внутрь заданного отрезка наверное попали точки этого подразделения.

Для этого достаточно число н выбрать настолько большим, чтобы 1/2" было меньше длины задан- ного отрезка. ') а > Ь означает: число а либо больше, либо равно Ь. Аналогично объясняется смысл символов ш и т, которые встретятся в дальнейшем. Э <. числовом континккм Однако, несмотря на это свойство плотности, множества рациональных чисел недостаточно, чтобы снабдить все точки числовой пря-. мой числами. Уже грехэм было известно, что если принять длину какого-нибудь отрезка за единицу, то существуют отрезки, длина которых не выражается рациональным числом, — так называемые несоизмеримые с единицей длины отрезки.

Так, например, гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами, равными единице, несоизмерима с единицей, т. е. ее длина не выражается рациональным числом. В самом леле, квадрат этой длины 1 должен. по теореме Пифагора, равняться 2; поэтому, если бы 1 равнялось рациойальному числу р/<у, где р и <) — целые числа, то рз = 2<)т. При этом мы можем предполом<ить, что р и <1 не имеют общего делителя, так как дробь р<<1 можно предварительно на таковой сократить.

Из уравнения ра = 2<)з следует, что рт — четное число; поэтому р также должно быть четным; пусть, например, р = 2р', Вставив это выражение, мы получим 4р' =2<)а или <уз = 2р', а потому <)Я и, значит, <) само также должно быть четным, что нротиворечит нашему предположению о том, что р и <у не имеют общего делителя и, в частности, не могут оба одновременно содержать множителем 2.

Итак, наше предположение, что гипотенуза выражается дробью р/<), оказалось противоречивым и, значит, неверным. Приведенное нами только что рассуждение — характерный пример «косвенного доказательства» ') — показывает, что символу )< 2 не может соответствовать какое-либо рациональное число. Это рассуждение показывает, что если мы хотим каждой точке прямой привести в соответствие некоторое число, то мы вынуждены ввести кроме рациональных еще другие — «иррациональные» числа.

И мы действительно будем строго придерживаться этого требования, чтобы точкам прямой линии после выбора определенной единицы длины взаимно однозначным образом соответствовали определенные числа. Эту систему рациональных и иррациональных чисел, находящихся во' взаимно однозначном соответствии с точками числовой прямой, называют системой действительных чисел '). 2. Континуум действительных чисел н бесконечные десятичные дроби. Наше требование, чтобы точкам числовой прямой взаимно однозначным образом соответствовали числа, будет выполнено, если в .качестве системы действительных чисел принять множество всех конечных и бесконечных десятичных дробей. ') Доказательство «от противного».

') В отличие от системы кол«лексики чисел, которая получается в результате нового расширения понятия числа. ГЛ. Е ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ Прежде всего вспомним факт, известный нам из элементарной математики; всякое рациональное число может быть представлено в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, и, обратно, всякая такая дробь представляет рациональное число. Теперь же мы покажем, что любой точке числовой прямой можно отнести однозначно определенную десятичную дробь (обычно бесконечную), так что иррациональные точки или иррациональные числа изображаются бесконечными непериодическими десятичными дробями, например: 0,101!01!10...

Характеристики

Список файлов книги