1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 9
Текст из файла (страница 9)
1!. в качестве результата целые рациональные функции или полиномы (многочлены): у=аз+а,х+ ... +а„х", Целые рациональные функции в силу простоты своего строения являются, так сказать, основными функциями всего анализа. Образуя, далее, частное двух таких функций, т. е. выражение вида а,+а,х+ ... +ачхл Ьа+Ь~х+ ... + Ь„,хм 38 гл. ь подготовитвльныи млтсгилл мы приходим к общим, илн лробным рациональным функциям, которые определены всюду, где знаменатель отличен от нуля. Простейшей целой рацноиальпол функцией является (целая) линейная функцив у = шк+ Ь. Она изображается прямой линией. Всякая квадратичная Функция вида У у = ах'+ Ьх + с изображается пзраболой.
Кривые, изображающие целую рациональную функцию третьей степени: у = ах'+ Ьх' + сх+ г(, называются иногда параболамн третьего порядка и т, д. В качестве наглядных примеров мы приводим па рис. 1'1 графические изображения функции у = х" для показателей л = 1, 2, 3, 4. гу л' Паин четных значениях л функция у = х удовлетворяет уравнению у ( — х) == Рис. 12. = у (х) и является, следовательно, четной функцией, тогда как при нечетном и эта функция удовлетворяет условию у ( — х) = — у(х), т.
е. она — нечетная. Простейшим примером дробной рациональной функции является уже рассмотренная раньше функция у = 1)х, график которой — равносторонняя гиперболз. Другой пример: функция у = 1,'х' (рпс. 12). 2. Алгебраические функции. Мы выходим за пределы области рациональных функций, как только поставим себе задачу получить обратные им функции. Важнейшим примером является введение функ- л ции у'х. Исходим из функции у =х", монотонной при х)~0 Она имеет поэтому однозначную обратную функцию, которую 'записывают х символом х = у' у или, меняя буквы, обозначающие зависимую и независимую переменные, у=, у'х=х'1". При этом, в порядке соглашения, этот корень всегда имеет неотрицательное значение. Если л нечетно, то функция х" монотонна при всех (а том числе и при отрицательных) значениях х.
Поэтому при я нечетном а функцию у'х можно считать однозначно определенной ч для всех значений х; в этом случае )/ х отрицателен при отрицательном х. 4 3. ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИН Функции более общего вида можно получить, рассматривая « у = )г й (х), где Я(х) — любая рациональная функция. 1( дальнейшим функциям подобного типа приходим, применяя рациональные арифметические действия к одной или нескольким таким функциям частного вида. . Так получаются, например, функции у=)/х+ "ргхз+1, у=х+)Г ха+1.
Эти функции — частные случаи алгебраических функций. (Определение общего понятия алгебраической функции может быть дано лишь позднее; см. гл. Х или т. П.) 3. Тригонометрические функции. В то время как рациональные и только что рассмотренные алгебраические функции определяются непосредственно, при помощи элементарных арифметических действий и построения обратных функций, источником остальных, так называе- «» мых трансцендентных функций ') является в первую очередь геометрия. гч Мы займемся здесь элементарными трансцендентными функциями, а гт именно: тригонометрическими функциями, показательной функцией и логарифмом. В математическом анализе углы измеряются не в градусах, минутах и секундах, а в радианах.
Вершину Рис. 13, угла, подлежащего измерению, помещают в центр окружности радиуса 1 и величину угла измеряют длиной дуги. вырезаемой углом на окружностиз). Угол в 180' измеряется поэтому числом и, т. е. равен и раз,панам, угол в 90' равен и/2, угол в 45' равен и 4 радианам, угол в 360' (полный оборот) равен 2п радианам. Обратно, угол в 1 радиан выражается в градусах числом 180')п или приближенно 57' 17' 45". В дальнейшем, говоря об угле х. мы будем всегда понимать под этим угол в х радианов. ') Слово «трансцендентные» ие означает чего-либо особо трудного нли таинственного; оно лишь указывает на тот факт, что определение этих функций уже не может быть дано при помощи элементарных арифметических действий: «Чиоо а!йебгае ч!гез !газсепбн» вЂ” то, что превышает силы алгебры (на латинском языке).
') Отсюда ясно, что единичным углом, т. е. единицей измерения углов, служит центральный угол, стягиваемый дугой длины 1, т. е. дугой, длина которой рвана радиусу окружности. Эта единица измерения углов и называетса радианом. (Прим. Лерга.) 40 Гл. 1, подготовительнып мАтггилл П еле этих предварительных замечаний на о п мним е1це кратко о х, ! х, с1к'х'), ссысмысл тригонометрических функций з!их, сов х, д, с' лаясь на рис. , на к 13, котором угол х отсчитывается от неподвижного Рвс. !4.
радиуса ОС (длины ), пр 1', рпчем положительным вращением считается указанное на на чертеже вращение против часовой стрелки. т п осто нкции созх Прямоугольные координаты точки А лаю р фу и з!и х. Графики функций з1п х, сов х, !а х, с!а х даны на рис.
14 и 1 Рис. !5. 4. Показательная функция и логарифм. Наряду с тригонометрическими функциями, элементарными трзнсцендентными являются также показательная фу ! фу1кция с положительным основанием а: к у= — а 1 ') Иногда полезно ввести в рассмотрение функции зес к = —, ! созес х = —. а!и х $ э. ОБ3ОР элементАРных Функции и обратнан ей функции, логарифм при основании а: 41 х= 1оп,у. Ч [/а~' = ажт, где в порядке соглашения корень берется положительным. Так как рациональные значения х расположены всюду плотно, то является естественным приписать функции ах для иррациональных значений х значении, непрерывно примыкающие к ее уже построенным вышеуказанным способом значеняяи.
Этим самым мы дополняем эти последние значения до непрерывной функции, определенной дли всех, й том числе и иррациональных, значений х, которую мы и называем «показательной функцией». Такии образом, под а мы понимаем ту непрерывную функцию, которая для рациональных значений х определена вышеуказанным образом. Примем пока на веру, что это определение является безупречным и что функции а" этим способом действительно однозначно определена, обязуясь впоследствии восполнить этот пробел и строго обосновать наше утверждение (ср. стр. 92). Функцию х = 1ой, у можно тогда определить при у > 0 как функцию, обратную показательной функции.
Упражнения 1. Построить по точкам график функции у=х'. Из него без новых вычислений получить график функции у = [Гх. о Наметить в общих чертах графини следующих ниже функций. Выяснить, являются ли эти функции четными нли нечетными. а) у = Мп 2х; б) у = 5 соэ х; в) у = э1п х+ соэ х; г) у = 2 э1 и х + э1 и 2х; д) у = э1 и (х + ч); е) у = 2 сов (х + и/3); ж) у =1ях — х. 3. Построить графкки следующих функций и выяснить, является лн каждая иэ этих функций 1) монотонной илн нет, 2) четной или нечетной.
Какие две нэ этих функций тождественны2 а) у=х' ( — оо<х<оо); б) у=х' (б<х<1) в) у=-х ( — 1<х<1); г) у=~х[ ( — 1<х<1); д) у = Ухт ( — 1 < х < 1); е) у = |х — 1 ) ( — со < х < со); ж) у = [х'+4х+2! ( — 4 <х<3); з) у = [х) ( — оо < х < оэ), где [х] означает наибольшее целое чесло, не превышающее х, т. е.
[х[ <х <[х)+1; В школе обычно проходят мино тех специфических трудностей, которые кроются в определении этих функций, да и мы также немного отложим более подробное исследование этих функций до того времени, когда мы уже будем располагать более тонкиии вспомогательными средствами (ср. гл. 1П, 3 6). Но уже теперь мы можем сказать, какой смысл следует придать этим функциям.
Если х=р/д есть рациональное число (р и д — положительные целые числа), причем а предполагается положительным, то иы определяем ах как ГЛ. Ь ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЯ МАТЕРИАЛ и) у = х — [х[ ( — со < х < со); к) у = )' х — [х[ ( — со < х < со); л) у=х+)'х — [х) ( — со <х<со): м) у =[х — 1 [+[х+1[ — 2 ( — 5(х (5); н) у=[х — 1[ — 2[х[+[х+1[ ( — со<х<со). ф 4. фуннции целочисленной переменной, Числовые последовательности. Полная нндукция 1.
Определение н примеры. До сих пор мы рассматривали независииую переменную как величину, непрерывно пробегающую все значения в некотором интервале. Однако в математике часто встречаются и величины, зависящие только от натурального числа, »омера п, который может принимать значения 1, 2, 3, ... Такую величину мы называем функцией целочисленной (натуральной) переменкой, или числовой функцией, или же функцией индекса, рассматривая целочисленную незавнсимузо переменную как номер илн индекс (указатель). Мы лучше всего поймем смысл этого понятна на примерах.
1. Сумма первых п целых чисел 34(п) =1+2+3+ ... +и = и (и+ 1) является функцией от и. Точно так же сумма квадратов первых п целых чисел Яз (и) = 1' + 2' + Зз -[- ... + и' тоже является функцией натуральной'переменной и'). ') Эту последнюю сумму легко представить в виде простой рациональной функции от п при помощи следующего приема. Исходим из формулы (а+И вЂ” из=за +за+1, выписываем зто равенство для значений Л = О, 1, 2...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
