1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Закон, который относит переменной х функцию у, должен устанавливать это соответствие однозначным образом, если только не сказано совершенно определенно и не вытекает из общей связи прямо противоположное. Примеры однозначного соответствия представлюот функции у=ха или у=з>пх. Но если мы исходим из кривой, заданной геометрически, то может случиться, как, например, у окружности хт+уз=1, что все течение кривой не может быть описано одной-единственной (однозначной) функцией, но что для этого потребуется несколько функций.
В случае окружности это две функции у= )/1 — хз и у= — уг! — хз. То же самое относится к гиперболе у~ — хз = 1, код которой описывается двумя функциямн у=11 1+ха и у= — 'КГ1+ха. Такие кривые определяют соответствующие функции неоднозначно. Поэтому функции, соответствующие такой кривой, часто обзединяют термином лнозозяачяая функция.
Отдельные функции, представляющие эту кривую, называют тогда однозначными вевгвями, принадлежащими кривой (однозначнымн ветяями многозначной функции). Для ясности мы под словом «функция» всегда будем понимать однозначную функцию. В согласии с этим символ угх при х)~О будет всегда обозначать неол>рицательяое число, квадрат которого равен х. Если кривая является графиком одной функции, то она пересекает всякую прямую, параллельную оси у, не более чем в одной точке, так как каждому значению х из интервала, в котором функция определена, соответствует в точности одно значение у. Если же кривая является графиком многозначной функции, состоящей из нескольких однозначных ветвей, то прямые, параллельные оси у, могут ее пере- $2.
понятие Функции секать более чем в одной точке. Так, окружность, представляемая двумя функциями у= у'1 — хг и у= — уг1 — хз, пересекает такие параллели оси у в интервале — 1 ( х ( 1 в двух точках. Части кривой, принадлежащие различным однозначным ветвям функции, могут быть при этом свяаанными одна с другой, образуя вместе единую линию, которую можно описать одним почерком пера, Рис.
4. Рис. 3. как у окружности (ср. рнс. 3); но может также случиться, что различные ветви совершенно отделены друг от друга, как у гиперболы (ср. рис. 4). Приведем еще несколько примеров графического изображения функций. а) у=ах, у пропорционален х. Графиком функции является прямая, проходящая через начало координат (ркс.
5). б) у=ах+Ь, у — (целая) линейнал функция от х (рис. 5). йг Графиком служит прямая, проходящая через р= точку (О, Ь), з если а Ф О, и через точку ( — Ь!а, О). В случае а = О график — горизонтальная прямая. рч лер в) у= —, к гу у обратно пропорционален х. В частности, если а= 1, то у = 1/х, и тогда при х= 1, у = 1; при х= 1/2, у = 2; при х= 2, у= 1 2 и т.
д. График Рнс. 5. втой функции — кривая, симметричная относительно биссектрис углов между осями координат, — равносторонняя гипербола (рис. 6). Рассматриваемая функция, очевидно, не определена при х = О, так как деление нз нуль не имеет смысла. Точка х = О, являющаяся для этой функции исключительной точкой, в окрестности которой функция принимает сколь угодно большие по абсолютной величине положительные и отрицательные значения, представляет простейший пример точки бесконечности или бесконечного разрмеа функции; к этому вопросу мы еще вернемся впоследствии (ср.
$ 8, п' 2). г) у =х'. Эта функция изображается, как известно, параболой (рис, 7). хг Эта функция наглядно изображается так называемой кубической параболой (рис. 8). 3 Р, Курант ГЛ. Ь ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ Только что рассмотренные функции и их графики обладают одним свойством, имеющим очень большое значение при исследовании Рис. 6. функций, а именно свойством непрерывности. Это понятие мы впоследствии (ф 8) проанализируем более подробно. Наглядно оно выражается так: малое изменение независимой переменной х вызывает лишь малое изменение функции у, значение которой не делает внезапных скачков, т, е. график функции нигде не разрывается.
Точнее: изменение функции у остается по абсолютной величине Рис. 8. Рис. 7. меньше любой произвольно выбранной малой положительной грани, если только изменение х достаточно мало по абсолютной величине. Э и ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ Функция, имеющая для всех аначений х в некотором интервале одно и то же значение у = а, называется постоянной (нонетантай) а; ее график — горизонтальная прямая. Функция у =7'(х), обладающая тем свойством, что в некотором интервале большему значению -х всегда соответствует большее значение у, называется монотонно возрастающей в этом интервале; если же большему значению х всегда соответствует меньшее значение у, то функция называется Рис. 9.
монотонно убывающей в этом интервале. Графики монотонных функций в соответствующем интервале (слева направо) либо постоянно поднимаются, либо постоянно опускаются (рис. 9). Если график функции у=у'(х) симметричен относительно оси у, т. е. если значению х= — а соответствует то же значение функции, что и значению х=а, или, что то же самое, если 7( — х) =7(х), то функция называется четной. Такова, например, функция у = хз (рис. 7).
Если же график симметричен относительно начала координат, т. е. если 7( — х) = — 7(х), то функция называется нечетной. Например, функции у=х, у=ха (рис. 8) и у =11х (рис. 6) являются нечетными. Всякая функция 7" (х) может быть представлена в виде суммы четной и нечетной функций: 7 (х) = и (х) + о (х), где (х) = — [7 (х)+,7" ( — х)[, 1 о(х) = — [7" (х) — 7 ( — х)). 1 При этом предполагается, что 7(х) определена в интервале, симметричном относительно начала координат. б. Обратные функции. Уже на нашем первом примере в и'1 было видно, что формальную зависимость между двумя величинами можно толковать двояко: можно с равным правом рассматривать либо ГЛ. Е ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫИ МАТЕРИАЛ Зб первую величину как функцию второй, либо вторую величину как функцию первой.
Например, если у=ах+б (предполагается, что а + О), то х у — а как функция от у выражается равенством х= —. Точно так ~ке функциональную завнсиллость между у и х, выражаемую уравнением у = хз, можно представить уравнением х = Р )/у, так что функция у = хз равносильна двум функциям х = )~ у и х =- — р' у. Совершенно так же можно для любой функции у=у'(х) пытаться выразить х как функцию от у или, как мы будем говорить, заменить функцию у — Г(х) обратной функцией х=гр(у). Геометрически это означает следующее, Повернем график функции у= Г(х) вместе с осями координат на 180' вокруг биссектрисы угла между положительной осью х и положительной осью у и мы Рис.
10. сразу получим графически х как функцию от у, т. е. график обратной функции х=ф(у) (рис. 10). Уже из этого геометрического рассуждения сразу видно, что функция у = Г(х), определенная в некотором интервале, имеет однозначную обратную функцию лишь при выполнении некоторых условий. Если график функции пересекается прямой у = с, параллельной оси х, более чем в одной точке, то значению у = с соответствует более одного значения х, так что функция у= !'(х) в указанном выше интервале не может иметь однозначной обратной функции. Этого не будет, если функция у = )'(х) непрерывна и монотонна.
В этом случае, как показывает рис. !О, каждому значению у из интервала у, ( у( уз соответствует точно одно значение х из интер, вала х,( х ( хл. Из этого рисунка мы заключаем, что всякая функция, монотонная и непрерывная в некотором интервале, имеет в этом интервале однозначную обратную функцию, и эта обратная функция тоже монотонна и непрерывна.
(Строгое доказательство см. на стр. 90 — 91.) Ь 3. ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ 37 ф 3. Обзор влемеитарных функций 1. Рациональные функции. Мы переходим теперь к краткому обзору элементарных функций, знакомых из средней школы. Простейшие классы функций получаются путем повторного применения элеуентарных арифметических действий: сложения„умножения и вычитания. Применяя эти действия к независимой переменной и к каким-нибудь рациональным или иррациональным числам, мы получаем Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
