1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Допустим, что точки, соответствующие целым числам, отмечены на числовой прямой. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы ') длины 1. В дальнейшем мы будем говорить, что точка прямой принадлежит интервалу, если она является внутренней или граничной точкой этого интервала. Возьмем теперь произвольную точку Р числовой прямой. Эта точка принадлежит одному или, если она является точной деления, двум из тех интервалов, на которые разбита числовая ось, Условимся, что зо втором случае выбирается правый из двух интервалов, которые встречаются в точке Р. Тогда в любом случае мы будем иметь интервал с граничными точками 9' и д+ 1, которому принадлежит точка Р, где д' — целое число.

Этот интервал мы разобьем на десять равных частичных интервалов с помощью точек, соответствующих числам у+1(10, а+2/10, ... ..., л+9/!О. и этим частичным интервалам отнесем цифры О, 1, ... , 9 в натуральном порядке слева направо. Частичный интервал с номером а имеет граничные точки д'+а/!О и 9+а/!О+1(10. Точка Р должна принадлежать одному из этих частичных интервалов, !Если точка Р является одной из новых точек деления, то она принадлежит двум смежным частичным интервалам; выбираем, как и раньше, правый из них.) Допустим, что определенному таким путем интервалу, содержащему точку Р, отнесена цифра а,, Тогда граничные точки этого интервала соответствуют числам л'+ а,/! 0 и ,, +а,/10+!/10. Этот частичный интервал мы вновь делим на десять равных частей и отмечаем ту часть, которой принадлежит Р; если Р принадлежит двум таким частям, то, как и раньше, выбираем правую.

В итоге получим частичный интервал с граничными точками д+.— + — и й'+ — + — + —, а, а, а, а, 1 10 10' 10 10' 10а ' где а,— одна из цифр О, 1, ..., 9. Этот частичный интервал мы снова делим на десять равных частей и продолжаем далее этот процесс разбиения. После п шагов мы приходим к содержащему точку Р частичному интервалу длины 1/10", граничные точки которого ') В этом параграфе автор употребляет слово интервал в смысле отрезка числовой оси. (П»гиль перев.» % !, числовой контннгям соответствуют числам При этом каждое а„есть одна из цифр О, 1...

„9. Но — '+ — '+ + —" 10 10' '' ' !О" есть просто десятичная дробь О,а, аю .. а„, Граничные точки этого частичного интервала можно поэтому записать и в следующем виде: к+О,а,аю..а, и з+О,а,ат ... (а„+ !О„). 1 Если представить себе, что описанный процесс повторяется бесконечное число раз, то получим бесконечную десятичную дробь О,а!аз ..., смысл которой следующий: если оборвать десятичную дробь на каком-нибудь знаке, например на п-м, то точка Р при- 1 надлежит интервалу длины —, граничные точки которого (аппрок1Ои ' симирующие точки) суть 1 б+О, а,аз ...а„и б+О,а!аз... (а„+ „).

В частности, точка, которая соответствует рациональному числу с+О,а!аю .. а„будет лежать сколь угодно близко к точке Р, коль скоро число п достаточно велико; по этой причине точки б+О,а!а, ... а„и называются аппроксимирующими (приближающими) точками. Мы будем говорить, что бесконечная десятичная дРобь б + О, а,аз ... есть действительное число, соответствУющее точке Р.

Для производства действий целое число а, которое мы адесь примем для простоты положительным, обычно записывают в десятичной системе, т. е. в следующем виде: ам10м+ам,10м '+ ... +а,!0+по, где каждое аь есть одна из цифр О, 1,..., 9.

Тогда действительное число б+О,а,аю .. записывается коротко так: а п, ... а,пе, а,ая Здесь мы подчеркнем фундаментальное допущение, что над действительными числами можно производить все операции согласно обычным формальным законам арифметических действий. Это допущение, которое считалось само собой разумеющимся вплоть до второй половины Х1Х века, можно доказать, опираясь только на свойства целых чисел. Но это нелегкая задача, и, чтобы не задерживать наше гл, ь подготовительным матеэилл продвижение на этой ранней стадии изучения, мы будем рассматривать тот факт, что обычные правила вычислений приложимы к действительным числам, как аксиому, на основе которой мы построим все дифференциальное и интегральное исчисление.

Заметим, что в изложенной выше схеме разбиения существует в некоторых случаях даоякал возможность выбора интервала. Из нашего построения вытекает, что в последовательном процессе разбиения точки деленна, и только зти точки, изображаются конечными десятичными дробями я -!-Одною ..аю Допустим, по такая точка Р появляется впервые как точка деления на л-й ступеив разбиения. Выполняя заключенное выше соглашение, мы на и-й ступени выбираем интервал справа от Р. На следующих ступенях мы должны выбрать частичный интервал э~ого интервала. Но у такого частичного интервала точка Р должна быть левым концом. Поэтому во всех дальнейших стадиях разбиения придется выбирать крайний слева частичный интервал с номером О.

Стало быть, бесконечная десятичная дробь, соответствующая точке Р, есть и+О, а,а, ... а„ООО... С другой стороны, если бы мы на и-й ступени выбрали левый интервал, содержащий Р. то п-й десятичный знак был бы не а„, а а„— ! и на всех дальнейших ступенях разбиения иаи пришлось бы выбирать крайний справа частичный интервал, дая которого Р является правым концом. Такой частичный интервал имеет номер 9. Следовательно, мы получим для точки Р бесконечную десятичную дробь к+О, а,аз ... а„, (а„— 1)999..., в которой все десятичные знаки, начиная с 1п+ 1>-го, — девятки.

Поэтому двоякая возможность выбора в нашем построении соответствует тому факту, что, например, число 1/4 имеет два десятичных разложения: 0,25000... и 0,24999... 3. Системы счисления, отличные от десятичной. Выбор десятичной системы счисления является в известном смысле случайным. Вместо числа 10 можно принять за основание системы счисления любое натуральное число р. Тогда любое целое положительное число д может быть записано одним и только одним способом так: ФэР~+Ра-тр~ '+ ° ° ° +РгР+Ре.

где каждое из чисел р, есть одно иэ чисел О, 1, ..., р — 1. Для некоторых теоретических целей, а также в практических вопросах конструирования автоматических счетных мзшин полезно пользоваться двоичной системой счисления, т. е. принять за основание р=2. В втой системе целое положительное число запишется так: д =аа ° 2 +аа, ° 2" '+... +а, 2+аз, причем цифры аг могут равняться только нулю или единице, Например, число 9 запишется в двоичной системе так: 1. 2з+О.

2т+О. 2+1, 2з — 1001 В двоичной системе счисления числа имеют, очевидно, сравнительно длинную запись. Зато механизм сложения и умножения исключительно прост. В нашем представлении дейсшаилчельного числа число 10 играло особую роль, так как каждый интервал делился на десять равных э ь числовои коитинттм 61 частей.

Единственная причина этого — всеобщее распространение десятичной системы счисления. С таким же успехом можно было делить каждый интервал на р равных частей, где р — любое целое число, большее единицы. Мы тогда получим для действительного числа выражение вцда 4'+Ь,/Р+Ьз/рз+... Записывая и целое положительное чвсло К в системе с основанием р, придем к следующему выводу: всякое положительное действительное число может быть представлено в следующей записи: Вер +Вз 1Р + +В1Р +Во+ Р ( рг + ( ) где В! и Ьг — целые числа из последовательности О, 1..., р --1. Так, например, двоичная запись дроби 2!/4 есть 4 =1 ° 2 +О ° 2+1 ° 2о+ 2+ 2, ° 21 О 1 И здесь мы приходим к выводу, что конечные или бесконечные периодические представления вида (1) имеют рациональные и только рациональные числа.

4. Неравенства. Действия над неравенствами играют в высшей математике значительно более важную роль, чем в элементарной. Поэтому мы вкратце напомним некоторые простейшие правила, касающиеся неравенств. Из неравенств а ) Ь и с ) г( вытекает а+ с ) Ь+г(, но, разумеется, не вытекает а — с ) Ь вЂ” А Из а ) Ь вытекает ас) Ьс, если с положительно, но ас(Ьс, если с отрицательно. Если а ) Ь) О и с ) Н ) О, то ас ) Ьг(. Абсолютные величины чисел удовлетворяют следующим неравенствам: ~ а+Ь! (~а ~+ )Ь ~, !а+Ь~)~ (! а ! — ! Ь!!. Квадрат действительного числа всегда больше нуля или равен нулю.

Поэтому для всех действительных чисел х и у справедливо неравенство (х — у)я=ха+уз — 2ху) 0 или 2ху (ха+ уз. 6. Неравенство Шварца. Из последнегп неравенства мы выведем очень важное для приложений более общее неравенство. Возьмем 2а любых действительных чисел а,, аю ..., а„и Ь,, Ью ..., Ь„. Подставим в последнее неравенство числа ') ! ае! !Ьд! Г.'+ее ~." ' г'е~-е~- ..-~е ') Здесь и в дзльвейшем символ 1' х, где х > О, обозначает положительное число. квадрат которого равен к.

Гл. 1. подготовительный мАТРРИАл 28 последовательно при Ь = 1, 2, ..., п и полученные неравенства сложим; в результате получится 21~ а 6,)+|а Ь,)+... +~ а„Ь„!) )бегах + а +... + а„)/Ьа+ аз +... + Ьз так как 17 Из последнего неравенства имеем ~ а,Ь, )+( азЬт)+... +~ а„Ь„)«( ( ~ а1+ аз+, + а„' У Ь1+ Ьт+... + Ь„ Заменим в левой части сумму абсолютных величин абсолютной величиной суммы, отчего неравенство может только усилиться: а181+ азбт+...

+ а„ЬР~ «( .( 111га', +аз+... + а'„' зг/ Ь1 + Ь,'+... + Ь'„. Так как выражения на обеих сторонах этого неравенства положительны, то можно возвести их в квадрат, а затем опустить символ абсолютной величины: 1а1Ь1+акбт+....+авбв)~ ( «()а1+аз+... +а„)1Ь1+Ьт+... +Ь„), Это — неравенство Шварца. У п р а ж н е н и я ') 1. Доказать иррациональность следующик чисел: а) Ь' 3; б) У л, если л не является точным квадратом; в) )/3; г) х=р2+$Г2; д)в х=угЗ+)в 22. 2". В прямоугольной декартовой системе координат точки, у которык обе координаты — целые числа, называются узловыми точками.

Характеристики

Список файлов книги