1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Доказать, что треугольник с вершинами в узловых точках не может быть равносторонним. 3. /1оказать неравенства: а) х+ 1/х ) 2, х > О; б) х+ 1/х < — 2, х с О; в) ! х+ 1/х ) > 2, х+О. 4. Показать, что если а>О, то трехчлен ах'+2Ьх+с>О прн всех значениях х в том и только в том случае, если Ь' — ас ( О. 5.
Доказать следующие неравенства: а) хв+ху+ув>О. б)в хвв+хвп-1у+хвв-вув+ +увв~О; в)* х' — Зхв+ 4хв — Зх+ 1 > О. ') Более трудные упражнения отмечены звездочкой. 6 3. понятии Функции 29 6. Доказать неравенство Швзрца, применяя к выражению (а,х+ 6,)з+(а»х+ ЬкР+... +(еее+ Ь„)' теорему упр. 4. 7. Показать, что в неравенстве Шварца знак равенства имеет место в том н только в том случае, если числа аз пропорциональны числам Ьд, т. е. если сае+ азь = 0 прн Ь = 1, 2, ..., л, где с н а не зависят от Ь н не равны одновременно нулю. й. Дать геометрическое истолкование неравенства Шварца при и = 2 нлн 3.
9. Числа аь а, являются направляющими косинусами примой, т. е. аг+аз = 1. Аналогично 6~+аз~ — — 1. Доказать, что нз равенства агзг+азьз — — 1 вытекает а, = Ьь а, = Ь,. 1О'. Доказать неравенство ~~(а — )з+" +(а,— 6„)з<'УГЖ+" +а)+Ь~Я+" +Ьз) н дать ему геометрическое нстолкование. ф 2. Понятие функции Выяснением понятия функции мы обязаны новейшему времени, Принципиальной формулировке этого понятия мы предпошлем несколько поясняющих примеров. 1.
Примеры. а) Если в сосуде заключен сжатый поршнем идеальный газ, температура которого подаер~кивается постоянной, то между давлением р и объемом о существует зависимость ро=С, где С вЂ” некоторая постоянная. Этот так называемый закон Бойля ничего не утверждает о величинах и и р самих по себе и означает только следующее: если р имеет определенную величину, которая в некотором интервале может быть выбрана произвольно (этот интервал определяется физически, а не математически), то на основании этого закона можно вычислить ьч о=С,'р, и обратно: р=С/о. Это выражают словами так: о является функцией величины р, или обратно: р явлнется функцией величины о. б) Если металлический стержень, имеющий при температуре 0' длину 1е, нагреть до температуры о, то при простейших физических допущениях длина стержня 1 выражается законом 1= 1,(1+Вб), гле «коэффгцнент линейного расширения» р является постоянной величиной.
Мы говорим опятги 1 является функцией от б. в) В треуголннике ззданы длины двух сторон а и Ь. Если для угла у между этими сторонами мы выберем любое значение, меньшее 180', то эти данные вполне определяют треугольнин, а стзло быть, и длину с третьей стороны, И здесь мы говорим: если а и Ь ГЛ. Е ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ наперед заданы, а у иаменяется, то е является функцией угла у.
Как известно из тригонометрии, эта функции выражается формулой с= ]г аз+ Ь2 — 2аЬ сову. 2. Интервалы нлн промежутки. Возьмем какой-нибуль опрелеленный отрезок нашей числовой шкалы. например отрезок, концы которого помечены числами а и Ь. Совокупность всех действительных чисел х, принадлежаших этому отрезку, т.
е. удовлетворяющих условию а<х <Ь, называется интервалом или промежутком. Числа а н Ь называются границами интервала: а — нижней, Ь вЂ” верхней границей. Если величину х можно выбирать совершенно произвольно в этом промежутке, то мы называем х переменной величиной в данном промежутке (непрерывной переменной). Во многих рассуждениях не безразлично, причисляют ли'к промежутку от а до Ь его границы, как мы это сделали выше, или нет; в последнем случае величина х удовлетворяет неравенствам а <х<Ь.
Когда отсутствие соответствующего указания способно привести к недоразумениям, мы будем интервал (промежуток) с присоединенными границами а < х ( Ь называть замкнутым, а интервал а ( х ( Ь— открытым. Замкнутый интервал иногда называют просто отрезком (числовым). Если к интервалу причисляется только одна из его границ, но не другая, например а ( х<Ь, то интервал называется волу- или односторонне открытым (в данном случае — открытым на его начале а). Наконец, можно рассматривать открытые интервалы, простирающиеся в одну или в обе стороны до бесконечности. В этом случае говорят, что непрерывная переменная х пробегает бесконечный интервал, и записывают символически: а ( х ( со, или — со ( х ( Ь, или — со ( х ( со.
*Замкнутый интервал короче обозначают [а. Ь[ или [Ь. а], от- крытый интервал — круглыми скобками: (а, Ь) или также (Ь, а); полуоткрытый — [а, Ь) или (а, Ь], причем круглая скобка ставится у буквы, обозначающей открытую границу интервала. Эти символы удобны, если не желают отметить, какое число больше; а или Ь. Окрестностью числа (точки) $ называется любой интервал (а, Ь), содержащий точку $. Обыкновенно окрестность какой-либо точки $ выбирают так, чтобы границы окрестности находились на одинаковом расстоянии от с. Если обозначить это расстояние через е, то окрестностью упо- мянутой точки будет промежуток ($ — е.
$+е), $2. понятие Функции Бесконечные интервалы обозначают: (и, со), если интервал открыт на границе а, и [а, сю), если он замкнут на границе а; ( — оо, Ь) и ( — со, Ь), наконец, ( — оо, сс2) э 3. Определение понятия функции. Дадим теперь общее определение математического понятия функции. Если каждому значению х какого-либо промежутка на основании некоторого правила приводится в соответствие определенное значение у, то говорят: у является функцией от х, и пишут символически: у= у(х), или у= г".(х), или у=к'(х) или как-нибудь аналогично.
При этом х называют независимой, у — зависимой величиной или переменной; х называют также аргументом функции у. В общем определении понятия заданной в некотоРом интеРвале функции ничего не говорится о характере того правила, согласно которому зависимая переменная получается из независимой переменной. Это правило может быть как угодно сложно, и в некоторых теоретических вопросах эта чрезвычайная общность является преимуществом. Однако в большинстве случаев, в частности в дифференциальном и интегральном исчислении и в приложениях, функции, с которыми приходится иметь дело, не обладают наибольшей общностью; напротив, законы соответствия, относящне каждому значению х определенное значение у, в каждом вопросе обычно подчиняют некоторым упрощающим ограничениям.
4. Графическое изображение. Однозначность н многозначность. Непрерывность. Монотонные функции. К разумному ограничению, которое только и делает общее понятие функции действительно применимым, при- Р водит нас связь с геометрией. Ведь основная мысль аналитической геометрии заклю- У -"""""", чается в том, чтобы аналитически характеризовать геометрически заданную кривую, рассматривая одну из обеих прямоуголю2ых координат, например у, как функцию у=у (х) от другой 2у ,т х координаты х; например, парабола выражается функцией у =ха, окружность радиуса 1 с центром в начале координат — двумя функциями у= )/1 — хт и у = — )/1 — хт. В первом примере мы можем себе представить функцию определенной в бесконечном интервале — со ( х ( со, во втором же оказывается необходимым ограничиться интервалом — 1 (х (1, так как вне этого интервала функция (в области действительных чисел) теряет свой смысл.
Обратно, если мы будем исходить не от геометрически заданной кривой, а, напротив, будем рассматривать функцию у = у (х) как первично заданную, то функциональную зависимость величины у от величины х можно изобразить графически, пользуясь для этого прямоугольной системой координат (рис. 2). 32 ГЛ. 1. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ Проведя в конце каждой абсциссы х соответствующую ординату у = у (х), мы получим в качестве геометрического образа функции криву>о. Ограничение, которое мы налагаем на понятие функции, заключается в том, чтобы этот геометрический образ представлял собой доступную наглядному представлени>о кривую.
Правда, это скорее туманная общая мысль, чем точное математическое условие. Но вскоре мы сформулируем такие условия, как непрерывность, дифференцируемость и т. д., которые обеспечат графику функции характер кривой, допускающей наглядное представление. Во всяком случае мы должны будем исключить из рассмотрения функцию, определенную так: для всякого рационального значения х функция у имеет значение 1; для всякого иррационального х функция у имеет значение О.
Это определение относит каждому значению х определенное значение у; но в любом интервале значений х, как бы он мал ни был, значение у совершает скачки от 0 к 1 и обратно бесконечное число раз. В связи с графическим изображением функций при помощи кривых я хотел бы отметить один пункт, часто доставляющий начинающему известные трудности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
