1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 24
Текст из файла (страница 24)
„+!а+(л — 1) И)] = = И ьпа+ И+2И+ ... + (и' — 1) И)). Но 1+2+ ... +(л — 1) = и наше выражение переходит поэтому в ай~а+ ~=(Ь вЂ” а)~а+ С возрастанием и правая сторона стремится, очевидно, к пределу (Ь вЂ” )~ + ")=Ь У что и требовалось доказать. 2. Интегрирование функции х'. Не так прост пример функции у(х) = хэ или, говоря геометрически, определение площади, ограниченной дугой параболы, отрезком оси абсцисс и двумя ординатами. Вычислим, например, интеграл э ) х ь(х о ту где Ь ) О. Делим (см. рис.
32) интервал Рис. 32. 0~(х(Ь на л равных частей длины И =ЬЬл; тогда искомая плошадь является пределом следующего выражения (верхьщя сумма); И (Иэ+22И2+32И2+ ( птль) — Иэ (П„( 22+ ( ььь)— Ьз = — (12+22+ ... + пт), п' но на стр. 43 мы видели, что 1,+22+ +, п(л+1)(2п+1) л 6 Подставляя это значение в предыдуньую формулу, мы после очевидного преобразования получим — (1-(- — ) (2+ — ). При неограниченном возрастании л это вырааьение стреми~си к пределу Ьэ(3, и мы имеем искомую формулу интегрирования: э Ьз х' ь(х = —. 3 о )з ГЛ. П. ОСНОВНЫВ ПОНЯТИЯ По Отсюда с помощью основного соотношения (стр.
107) легко получается более общая формула: ь ь Ф Ь' — а' хтдх= х!дх — "хздх= 3 и о о 3. Интегрирование х" прн любвм целом положительном значении а. В качестве третьего примера рассмотрим интегрирование степенной функции у = у (х) = х«, где а — любое целое положительное число. Лля вычислении интеграла ь а (причем предполагаем, что 0 < а < Ь) можно было бы разбить интервал на л равных частей '). но проще выполнить переход к пределу, если произвести разбиение в «геометрической прогрессии», т.
е. следующим образом: "ГЬ полагаем 1/ — д и делим интервал с помощью точек деления а а, а!у, а!у~, ..., а)уя 1. а!у" = Ь. Искомый интеграл является тогда пределом следующей суммы: да (а)у — а) + (а!у)а (д!уз — а!у) + + (д!у!)а (д!уз дгу!) + + (д!ул-!)а (дгул асуп-1) да+1(, 1) (1+, а+! +, т (а+1)» +, (л — П(а+И) при неограниченном возрастании и. В последних скобках стоит геометрическая прогрессия со знаменателем !ус'ь! + 1.
Суммируя, получаем для всего выражения значение и (а+1) да+1(й ц 'у аь! ) Ь та+1 Подставляя вместо !ул!о+ ) его значение ~ — ), получаем, наконец, 'та ) для нашей суммы выражение (Ьа+1 да+1) Ч вЂ” 1 а+1 Когда и неогрзниченно возрастает, первый множитель не изменяется, а второй множитель на основании формулы для суммы геометрической прогрессии можно представить в виде 1 1+4+4'+ ." +()" ') Вычисление интеграла привело бы к нахождению предела от а — „, (1 +2с+...
+и") при п-ьсо, что читатель может сам проделать. пользуясь замечаниями в сноске на стр. 42. 4 2. ПРИМЕРЫ так как <)+1; он стремится к пределу —, нбо при л-»со <) =(э<а) 1 ! л а+1 ' стремится к 1. Таким образом, получаем, наконец, искомое значение нашего интеграла: ь ха г<х = — (ла+ — а""'), а+1 О Мы позже увидим Я 4), что можно совершенно избежать этого простого по идее, но несколько громоздкого вычисления, если охватить нашу проблему интегрирования с несколько более широкой а смысле метода точки зрения.
4. Интегрирование х' при произвольном рациональном значении а~= — !. Не усложняя существенно рассуждения, можно полученный результат значительно обобщить. Пусть а=г/з — положительное рациональное число, г и з — целые положительные числа; тогда в только что приведенном вычислении интеграла ничего не меняется, за исключением нахождения пре- !1 — 1 дела выражения, при !)-»1. Это выражение теперь имеет знд ая! д — 1 ты д" ~ "ы — 1 < ~ < . Полагаем д '= т (т~1); тогда т стремится к 1 вместе с <), т' — 1 и мы должны, следовательно, найти предел выражения г,, 1 при 1-»1. Если разделим числитель и знаменатель на т — 1 и применим к каждому нз них указанное выше алгебраическое преобразование, то искомый предел есть просто тэ — <+тлт+ ... +1 !нп ...
т"'-'+т'ч' '+ ... +1 н определяется непосредственно подстановкой т = 1 в числитель и знаменатель, которые являются неп!эерывными функциями от т; таким образом, 5 получаем значение г+з а+1 ' = —, так что н для любого положительного рационального значения а имеем ту же формулу интегрирования: з ха бх (<!а-»! аа "!). 1 а+1 а Эта формула остается справедливой и для отрицательных рациональных значений а, если аф — 1; когда а = — 1, очевидно, теряет смысл примененная выше формула суммы геометрической прогрессии. Чтобы найти !) — 1 предел выражения при отрицательном значении а= — г<з, пола, я<-! гаем !) !Ы=т; тогда !)=т ', а !)а~<=!у П'+1=!у <Г '!Ы=т' ', н, следовательно, мы должны теперь найти предел выражения т* — 1 1 — т' т' ' — 1 т' — т' Предоставляем читателю самому доказать, что этот предел опять-таки 1 равен —.
Итак, получаем для любого положительного или отрицательного а+1 гл. и, основнын понятия 112 (з рационального звачения и, за исключением а= — 1, общую формулу; Ь ха йс (Ьаэ1 и" е1) а+1 а Впрочем, самый вид правой части этой формулы ясно обнаруживает, что формула неприменима прн и= — 1, так как цри этом значении числитель и знаменатель обращаются в нуль. Естественно предположить, что область применения последней формулы рзспространяется и на иррациональные значения а. 1(ейгствительно, мы в й 7, стр. 157, докажем это с помощью простого предельного перехода. 5.
Интегрирование функций з)их н сов х. В качестве последнего примера, который нам также придется решать с помощью специальной уловки, рассматриваем функцию У (х) = з1пх. Мы будем рассматривать интеграл Ь з1п х гГх а как предел следующей суммы: Яь = ь (з1п(и+а) +з1п(и+2ь) + ... +з1п (а+па)), Ь вЂ” а Ь где й = —. Умножая выражение, стоящее в скобках, на 2ып — и при- и 2 нимая во внимания известную тригонометрическую формулу 2 з1п и з1 и о = соз (и — о) — соз (и + о), получаем Зл = — „~ соз (а+ —,) — соз (а+ — Ь)+ 2 2 з1ив / 2л — 1 +соя(а+ —, Ь) — соз1и+ —, 6)+ ... +.сов(и+ й)— 2 ~ ''' ~ 2 -- (+'"+''"))= ".
1- (+-.)--з(+'"" ")) 2жп— 2 Так как а+пЬ=Ь, то интеграл является пределом выражения ) соз (а+ —,) — соз (Ь + — ) ) 2 з1п— 2 прн Ь-эО. Ь Но из первой главы мы знаем, что при л-эО выражение —, 2 Ь ып —, 2 Ь,и мы стреми~ся к 1. следовательно, искомый предел равняется соки — соз получаем формулу интегрирования; э з1 и х йх = — (соз Ь вЂ” соз а). а Пз 5 3. пРимеРы Совершенно аналогично получается формула ь сов х т(х =- в!и Ь вЂ” в!на, а в чем читатель может убедиться сам. Почти в каждом из рассмотренных примеров нам приходилось прибегать к какому-либо особому соображению или специальной уловке.
Существенным пунктом методов дифференциального и интегрального исчислении как раз является то, что вместо таких специальных уловок выступают соображения общего характера, обязательно приводящие к требуемым результатам. Чтобы прийти к этим методам, мы должны обратиться ко второму основному понятию анализа — к понятию производной. Упражнения 1. Вычислить площадь, ограниченную параболой у =2х'+х+ 1, орли- натами х = 1 и х= 3 и осью х.
2 2. Найти площадь, ограниченную параболой у = — х'+1 и прямой 2 у = 3+х. 3. Вычислить площадь, ограниченную параболой уь = 5х и прямой у =1+х. 4. Найти площадь, ограниченную параболой у = х' и прямой у = ах+ Ь, 5. Пользуясь методами, примененными в тексте. вычислить интегралы а) ~ (х+1)н ~(х; б) ~ в!паху(х; в) ~ сов ах т(х, тле а — любое целое число.
8. С помощью формул, полученных в упр. 5, а также тождеств в!и'х —.—. 1 1 1 1 —..— — — — сов 2х, сов'х = — + — сов 2х доказать, что 2 2 ' 2 2 ь сов х р(х = — +. Ь вЂ” а в1п2Ь вЂ” в1п2а . 2 а ь Ь вЂ” а в!и 2Ь вЂ” в!п 2а в!пт х Нх = 2 4 а ь 7. При поиощи формулы ив упр. 1, стр. 46, вычислить ~ х'~(х, поль- и зуясь разбиением интервала на равные частичные интервалы. 1 8.
Вычислить ~ (1 — х)" Вх, где а — целое положительное число. (Укао ванне: раскрыть скобки.) 8 Р. Курант ГЛ. Н. ОСНОВНЫВ ПОНЯТИЯ 114 5 3. Производная Понятие производной, подобно понятию интеграла, интуитивного происхождения; Источниками этого понятия являются, с одной стороны, задача о проведении ласаглельиой к данной кривой в некоторой точке, с другой стороны, зздача о точном определении скорости произвольного движения.
1. Производная и касательная к кривой. Начнем с задачи о касательной. Если Р есть точка заданной кривой (рис. 33), то касательную в этой точке Р мы охарактеризуем, руководствуясь непосредственно интуицией, следующим геометрическим Рт предельным перехолом. Рассматриваем кроме то- У=УУлУ чки Р еще точку Р, на кривой и проводим через этм две точки прямую РР,, секущую кривой. Когда точка Р, стремится вдоль кривой к совпадению с то- 0 чкой Р, секущая стреми гся к некоторому предельному положению, которое не зависит от того, приближается ли точка Р, к точке Р справа или слева.
Это предельное положение секущей и есть касательная, и утверждение, что предельное положение секущей действительно существует, равносильно допущению, что кривая в точке Р имеет определенную касательпую или определенное направление. (Словом «допущение» мы подчеркиваем, что это действительно предположение, которое даже для непрерывных кривых не всегда справедливо, †о, например, не выполняется в угловой точке кривой; в такой точке имеются «левая» и «правая» касательные, но не существует единой касателыюй.) Если кривая представляет собой график функции у=у (х), то возникает задача: выразить этот геометрический переход к пределу аналитически, с помощью функции у(х). Условимся под углом, образуемым прямой и с осью х понимать тот угол, на который нужно повернуть положительную ось х в положительном направлении '), пока эта ось не станет в первый раз параллельной прямой д'.
Обозначим угол от положительного Направления оси х до секущей через а,, а до касательной — через а (ср. рис. 33 и 34). Тогда Пюа,=а, Р,-+Р ') То есть в том направлении, в котором поворот на угол я/2 переводит положительное направление Оси х в положительное направление оси у, другими словами, — против часовой стрелки. 5 3.
ПРОИЗВОДНАЯ где смысл обовначений совершенно ясен. Пусть х, у=/(х) и хо у, =у'(х,) обозначают координаты точек Р и Р,. Из рис. 34 видно, что СР, у, — у у(х,) — у (х) ду !Ка,— —— РС х,— х х,— х Ьх ' Здесь Лх обозначает приращение абсциссы х, т. е. разность между ее измененным значением х, и исходным значением х; Ьу есть приращение функции, т. е. разность между ее новым зна- У чением Г' (х,) и исходным значением Г (х): !Зх=х,— х, !1у = уг — у = У(хг) Х(х) Таким образом, символ Л, как и на стр. 10б, не является множителем, а лишь кратким обозначением термина «приращение». Итак, тангенс угла от оси х до секущей равен отношению приращения функ- У ции (т. е. Ординаты) к соответствующему приращению рис .34. независимой переменной (абсциссы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
