1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Простой пример связи между движением и скоростью представляет. случай свободного падения тела в пустоте. Если исходить из установленного. опытным путем закона падения, что путь, пройденный свободно падающим телом за время С, пропорционален величине Ех, т. е. что этот путь у выражается функцией вида у = у (с) = асе, Гл. н. ОснОВные понятия 12О У (х + Ь) — у (х), од д и-ьо Л Далее, дифферепцируем функцию у =у(х) =хи, причем сперва предположим, что и — целое положительное число. Тогда при х, 4= х З (х!) — з (х) хк! — х х,— х х,— х .и правая сторона равна х" ,+х", тх+ ...

+хв '. В этом можно убедиться либо просто выполнив деление, либо с помощью формулы для суммы геометрической прогрессии. Полученное выражение явлиется непрерывной функцией от х,; поэтому можно сразу выполнить предельный переход х! — ьх. просто заменяя повсюду в этом выражении х, через х; тогда каигдое слагаемое дает в пределе хв '. Так как число слагаемых равно а, то получим 1( .о) у =у (х)= — =ах" дх или (х") К тому же результату мы приходим, если а= — () есть целое отрицательное число; но при этом мы определенно предполагаем, что х отлично от нуля. Имеем 1 1 у (х!) — у (х) хв! х,— х х,— х лб — хб! х — х, лзх, и Р-!+хб-зх + + Р-! И !еперь можно выполнить предельный переход х, -ьх заменой х! через х.

Совершенно таким же образом, как и раньше, получим выражение у'= — б = — бх д — ! х'1' Таким образом, и при целых отрицащельных значениях а= — () для производной от функции у = х" получаетси та же формула у'(х) =у'=вх" где а — постоянная, то тотчас же получим для скорости, как в и*1, выражение у'(1) =2ае, указывающее, что скорость при свободном падении возрастает пропорционально времени. а. Примеры. Приведем теперь несколько примеров на фактическое выполнение дифференцирования функций. В качестве первого примера рас.смотрим функцию у = у (х) ° с, где с — постоянная. Имеем у (х + Ь) — у (х)= = с — с =О, следовательно, и )нп у (х + И) — у (х) =О, т.

е. производная ь -ьо д .по!мокиной равна нулю. Для линейной функции у = ох+ Ь имеем $ 3. ПРОИЗНОЛНАЯ 121 Наконец, докажем эту же формулу для случая, когла х — положительное число, а а в произвольное рациональное число. Положим а = р127, где р и 2) — целые числа, которые будем считать положительными. (Если бы одно из них было отрицательно, то в рассуждении ие было бы существснных изменений; прн а = О,ха постоянно, и формула верна.) Тогда у (х,) — У (х) Х11пч — ХР25 х,— х х,— х Полагая хы»=$, а х,'25 =ц„ получим у'(х,) — у(х) Ц' — СР 1Р1 '+Ц' 5+ ...

+$Р х — х 15 — 15 15 1+14 т~+ Выполнив это преобразование, мы можем опять непосредственно совершить предельный переход х, -+х или, что теперь то же, 11 -ьс и получаем для предела выражение — 1 Ф' Лгч Р = Р л-ч Р У= ч,= — 5 = —.Кэ = — ХЧ 421' ' 4 д д или, наконец, у'(х) = у' = аха С05 й — 1 5!ил 5!П Х +СОЗ Х й й Но в гл. 1, б 7 (стр. 69 — 70), мы видели, что ыпй СО5 й — 1 1нп — = 1, !пи =О; Л.+Э й А.ко !1 следовательно, непосредственно получаем, что искомая производная 22 5!П Х у' = — = соз х, или (52п х)' соз х. 22Х Подобным же образом находится производиак функции Именно, С05 (Х+ й) — С05 Х С05 й — 1 520 й й =СО5Х й — з!и х —, й У = С05Х- и предельный переход й->О тотчас же дает производную 22 Соз Х = — 5!и х, нли (с05 х) = — 5!п х.

1!Х т. е. формально тот же результат, что и раньше. Предоставляем читателю доказать самостоятельно, что та же формула дифференцирования сохраняет силу и для отрицательных рациональных значений показателя а. Впрочем, мы еще вернемся позже (стр. 14б) к дифференцированию степени при более- систематическом изложении теории. В качестве последнего примера рассмотрим дифференцирование тригонометрических функций 5!пх и созх. Пользуясь элементарной тригонометрической формулой, имеем 51П (Х+ й) — 5!П Х 510 Х Соз й +С05 Х 5!П!1 — 51П Х й [4 ГЛ.

Н. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ !22 4. Некоторые основные правила дифференцирования. Как и .для интеграла, можно получить и для производной непосредственно из ее определения некоторые простые основные правила дифферен' цирования. Если(р(х) =у (х) + й"(х), то (р'(х) = /'(х) + К'(х). Если ф(х)= = су (х) (с — постоянная), то ф'(х) = су'(х). В самом деле, х( в "( — ((( у( .(-(( — у((.( к(*.6-~( — к(( А Ь ф(х+6) — ф(х) у(х+Ь) — у(х) и а и наши утверждения получаются неПосредственно путем перехода к пределу. Эти правила можно кратко выразить словами так: производная от суммы (разности) равна сумме (разности) производных. Если функцию умножить на постоянное число, то и производная умножится на это число. Согласно этим правилам, например, производная функции (р(х)= =у(х)+ах+о. где а н Ь вЂ” постоянные, выразится равенством (р'(х) = у((х) + а.

Упражнения 1. Дифференцировать следующие функции непосредственно с помощью определения яронзводной: 1 1 ! 1 х+1 ' х'+2 ' 2хв+1 ' ) в!их ' д) в!пах; е) совах; ж) в1п'х; з) сов'х. 2. Дифференцировать следующие функции с помощью выведенной в тексте формулы: 4 4 — 1 )(гх в) 1(х; б) 1/х', в) )( х; г) У х; д) )('х', е) в, ж) —. У' 3. Найти производные от следующих функций: в) у = — 2хв+бхв — ух — 31; б) У(х) = 3 в(их+2 сов х — У 2; в) Ч((х) =(х' — )( 2)~; г) л = хз(~/ х+2)4.

6. Дифференцируемость и непрерывность функций. Полезно .заметить, что если известно, что функция дифференцируема, совсем не нужно отдельно доказывать, что она непрерывна, Иа дифферен- цируемосгли функции вылвенаелг ее непрерывность. В самом деле, у(х+ а) — у(х) если отношение стремится к пределу, когда )г стрел мнтся к нулю, то одновременно со знаменателем й и числитель у(х+й) — у(х) должен стремиться к нулю. но в этом как раз и выражается непрерывность функции у (х) в точке х, а! $ а. пРОизВОднАя Но нельзя ни в коем случае утверждать обратное, что непрерывная функция повсюду дифференцируема. Простейший пример, опровергающий такое утверждение, представляет функция г'(х) = ~ х ), т.

е. у(х)=- — х при х ~0 и г(х)=х при х~~О, изобрансенная на рис. 36. Эта функция хотя и непрерывна в точке х = О, но не имеет У(х+ Ь) — У(х) в этой точке производной. Предел отношения ра- Ь вен 1, если Ь стремится к нулю, оставаясь положительным, и равен — 1, если Ь стремится к нулю, оставаясь отрицательным. Функ- К ция ! х ) имеет в точке х = 0 различные нравую и левую производные. е Дифференцируежость функ- ф ции требует, наряду с существованием правой и левой производных, также и равенства их. Если они между собой не равны, то геометрически это означает по- гг х явление на кривой угловой точни. Рис. 36. В качестве дальнейших примеров точек, в которых непрерывная функция недифференцируема, рассмотрим точки, в которых производная бесконечна, т.

е. те точки, в которых не существует ни пра- У (х + Ь) — У (х) вой, ни левой производной, а отношение приращений Ь при Ь вЂ” «О неограниченно возрастает, Например, функция у=г (х)= ч— = г' х =хо определена и непрерывна при всех значениях х (между прочим, функция нечетная). Производная этой функции при хФО, 1 согласно и'3 (стр. !21), дается формулой у'= — х-Чь В точке х = О 3 отношение ~( + ) ~( ) — ~( ) ~( ) — — — Ь Ь откуда Ь Ь Ь видно, что при Ь-«О предела не существует и отношение приращений стремится к +со.

Положение дел в такой точке часто описывают кратко словами: функция имеет в рассматриваемой точке бесконечную производную или производную, равную со. Однако надо при этом помнить, что это означает лишь то, что отношение приращений безгранично возрастает при Ь вЂ” «О и производная (в том смысле. котоРый имеется в виду в определении) в действительности не существует.

Геометрический смысл бесконечной производной состоит в том, что касательная к кривой в этой точке перпендикулярна к оси х, а кривая протекает в этом месте гладко (рассматриваемая точка не является угловой точкой кривой) (рис. 37). 124 ГЛ, 1!. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Точно так же функция у=у(х)=)/х, определенная и непрерывная при всех значениях х)~ О, недифференцируема в точке х= О. В данном случае мы должны рассматривать только правую производную, так как функция )/х не определена для отрицательных значений х. Эта правая производная есть Ош ==, и, е.+~-о " е~ Ь Ряс.

37. Рнс. 38, следовательно, она бесконечна. Стало быть, в начале координат кривая касается оси у (рис. 38). По-иному обстоит пело у функции у=ф'хя=хчч Здесь перед нами такой случай, когда в точке х = О правая производная положительно-бесконечна, а левая производная отрицательно-бесконечна; это видно из того. что отношение приращений у (а) — у (О) По этой причине непрерывная Рис.

39. кривая у = х')ч так .называемая полукубическая парабола, имеет в начале координат острие, перпендикулярное к оси х (рис. 39). 6. Производные высших порядков н их значение. Производная 7" (х) в свою очередь является функцией от х, график которой называется дифференциальной или производной кривой для данной кривой, т, е. для графика данной функции. Например, дифференциальная кривая параболы у=ха есть прямая, уравнение которой а (х') у= 2х (т.

е. график производной 7'(х)= — „= 2х). Йифференциальной кривой синусоиды у=з! их является косинусоида у=соа х (график производной от а)пх, т. е. график функции 7"'(х)=соах); 125 Ь з. пяонзводнья таким же образом, производной кривой от косинусоиды у = созх служит кривая у*= — з(пх (график производной от функции созх). (Каждая из последних кривых, как это видно из рис, 40, получается из остальных параллельным смешением в направлении оси х.) Рнс.

Характеристики

Список файлов книги