1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 27
Текст из файла (страница 27)
40. Естественно образовать, далее, дифференциальные кривые этих дифференциальных кривых, т, е, найти производную от функции у'(х) = ф(х). Згу производную у' (х + 6) — /' (х) ь',.о 6 если она существует, называют второй производной или производпой второго порядка от функции у(х) и обозначают ее через у'"(х).
Подобным же образом можно пытаться образовать производную от ук(х), так называемую производную третьего порядка (или третью производную) от у'(х), которую обозначим через у"'(х). Для большинства функций, имевших важное значение, ничто не мешает продолжать этот процесс произвольно далеко, и мы определяем таким образом производную п-го порядка гоя(х). В некоторых случаях целесообразно рассматривать исходную функцию г'(х) как свою же производную нулевого порялка.
Если истолковать независимую переменную х как время 1 и представи~ь, как было указано выше, функцией )'(~) закон изменения абсциссы точки, то физический смысл произволной второго порядка есть скорость изменения скорости г'(Г), или ускорение. Геометрическое гл. и. основнын понятия значение производной второго порядка мы позже рааберем подробно (стр. 187). Но уже здесь непосредственно аамечаем следующее: если 7«(х) имеет положительное значение в точке х, то у'(х) возрастает при возрастании х; если же 7>(х) имеет отрицательное значение, то г'(х) убывает.
Ув р аж не н ня !. Найти численные значения всех производных от функции у(х)=х' — х' прн х= 1. 2. Каково численное зиачю:яс однннадцзтой производной от функции 317ха — Ю2х'+76 прн х = 13 — 7 2' 3. Найти предел прн л -+ со абсолютной величины производной порядка и от функции 1~х з точке х = 2. 7. Производные и отношения приращений; обозначения Леионица.
Тот факт, что при предельном переходе, определяющем производную, разность Лх стремится к нулю, иногда выражают также словами: величина Лх становится бесконечно малой. Зтой формулировкой хотят отметить, что предельный переход рассматривается как процесс, в продолжение которого величина Лх не равна кулю, но приближается неограниченно к нулю. Следуя Лейбницу, символически стали выражать предельный переход при нахождении производной, т. е, дифференцирование, тем, что символ Л заменили символом с(. Таким образом, этот символ Лейбница определяется равен-' ством — = 1!гп— бу Лх =„,.', Ьх Но если мы хотим постигнуть сущность дифференциального исчисления, то должны остерегаться того, чтобы смотреть на производную как на частное двух действительно существующих (актуальных) «бесконечно малых величин». Лело обстоит так, что мы всегда должны сперва образовать отношение приращений Лу/Лх, где разность Лх не равна нулю.
Затем следует предатавить себе, что путем преобразования этого отношения илн каким-либо другим путем совершен переход к пределу. Но ни в коем случае нельзя представлять себе, что сперва совершаем какой-то переход от Лх к бесконечно малой величине с(х. которая все же отлична от нуля, и от Лу к с(у и затем делим этн «бесконечно малые> друг на друга. Такой взгляд на производную совершенно несовместим с требованием математической ясности понятий, да и вообще не имеет смысла.
Такой взгляд, без сомнения, содержит в себе для иного наивного человека нечто привлекательное, именно привлекает то таинственное, что всегда связано со словом «бесконечность»; в начале раавития дифференциального исчисления и, в частности, у самого Лейбница такое. мистически неясное понимание переплетается с вполне отчетливым представлением о предельном переходе. Правда, этот туман. который реял над основами новой Э 3. ПРОИЗВОДНАЯ 127 науки, не мешал Лейбницу и его великим преемникам находить пра- вильные пути, Это однако не освобождает нас от обязанности избегать при по- строении дифференциального и интегрального исчислений всяких ту- ' манных представлений ').
Обозначение Лейбница не только привлекательно само по себе, но действительно чрезвычайно полезно и отличается большой гиб- костью, Причина этого кроется в том. что во многих вычислениях и формальных преобразованиях можно с символами бу и бх оие- рировить тин, нин будто бы они просто ирифметичесние вели- чины, как обыкновенные числа. Многие вычисления существенно выигрывают при этом в смысле наглядности, хотя принципиально их всегда можно, конечно, провести и без этой символики. Мы в даль- нейшем найдем неоднократные подтверждения этого факта и убедимся, что имеем право широко пользоваться этим обстоятельством при усло- вии, что не будем упускать из виду символический характер знаков е)у и Ых. И для производных второго и высших порядков Лейбниц ввел обо- значение, обладающее наводящей способностью (чоп апапез1!чег Кга(1) и практически очень полезное.
Именно. он рассматривает производную второго порядка как предел «разностного отношения второго порядка». Рассмотрим, наряду с аргументом х, аргументы х,=х+й и хз=х+2й. Тогда мы под разностным отношением второго порядка понимаем отношение разностей первого порядка от отношения разностей первого порядка (отношение приращений от отношения приращений), т. е. выражение 1 уа — у! У| — у1 1 й й — — — 1= — (у — 2у,+у), -( й ) йа где у=~(х), у,=г"(х,), ух=а(хз). Обозначим еще й=Ьх и уз уг = Оуг уг — у = и у' тогда выражение, стонщее в скобках с правой стороны, равное сау,— еху, т.
е. представляющее собой приращение приращения С»у, естественно назвать разностью второго ') Упрек в туманных представлениях, связанных с термином «бесконечна малая», относится к учебникам »пахи зарождения дифференциального и интегрального исчисления. Ныне термин «бесконечна малая» имеет точный смысл; ан обозначает переменную, стремящуюся к пределу нуль, и польза ега введения состоит в там, чта ряд теорем а пределах легче доказывается, так сказать, «в рассрочку»; сперва для частного случая, когда предел равен нулю (для бесконечно малой), а затем для общего случая, когда пределам является любое число.
Этим приемам доказательства в две ступени пользуется порою н автор. Однако описанное в тексте туманное рассуждение еще и поныне встречается в книгах, написанных нематематиками для нема- тематиков. Поэтому, опасаясь вазмажнага ложного истолкования термина «бесканечна малая», автор предпочитает вовсе ат него отказаться. (Прим. иерее,) ГЛ. И. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 128 порядка от у н символически записать так; Ут — 2У, + У = ЛЛУ = ЛзУ '), С помощью этого символа разностиое отношение второго порядка »2у примет теперь простой вид,, причем в знаменателе действительно стоит квалрат приращения Лх, а показатель 2 в числителе символически означает двукратное выполнение процесса образования разности.
Эта запись а) побулила Лейбница ввести для производных второго и высших порядков символическое обозначение й2 й»у Это обозначение, как мы дальше увидим, тоже вполне оправдывает себя с формальной стороны. 8. Творима Ролля. Если 4уикцил Ф(х) неарерыана в замкнутом интервале х, ~( х -ь, хт и диф4еренцируема в открытом интервале х, «х «. ха и если к тому зке гр(х,)=ф(ха), то непременно существует ио крайней мере одна точка Е внутри интервала, для которой гр'Я) = О. Д о к аз а т е л ь с т в о. Функция гр (х) должна принимать свое наибольшее значение М и свое наименьшее значение т по крайней мере по одному разу внутри или на границах интервала (см.
гл. 1, Дополнение 1, $ 2, п' 1). Как правило, т < М, но в таком случае функция не может принимать оба этих значения на концах интервала, так как ~р(х,) =~р(хт). Следовательно, внутри интервала должна существовать по крайней мере одна точка $, в которой функция ~р(х) принимает свое наибольшее или наименьшее значение, Для определенности предположим, что й есть такая точка, в которой функция ф(х) принимает наибольшее значение ФЯ), так что при всяком х из нашего промежутка ф(х)~(~р(~). Тогда для всякого числа й, имеющего достаточно малую абсолютную величину ~ а (, непременно р(У) — р(~+й) > О. ') ЬЬ = Ь» обозначает здесь, следовательно, не квадрат, а символизирует «разность от разности» илн «разность второго порядка».
') Слелует подчеркнуть, что возможность представить производную вто- Ь»у рого порядка как предел выражения , при Ьх -» 0 требует доказатель(Ьх)' ства, В самом деле, мы раньше дали другое определение второй произволной, именно как производной от первой производной, т. е. как предел отношения приращения производной к приращению аргумента. При соблюдении Лв известных условий вообще ус»1(к) = йш — 1„. (Доказательство см ае»с (ах)в Валле-Пуссен Ш. Ж., Курс анализа бесконечно малых, т. 1, изд, 2, гл. 1, $ 3, стр. 109, 110).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
