1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 33
Текст из файла (страница 33)
В статистике, например, в кинетической теории материи нли в статистической биологии эти понятия часто встречаются в форме, в которой характер математической идеализации выступает особенно ясно. Рассмотрим, например, молекулы газа, заключенного в некотором сосуде, и будем наблюдать их скорость в определенный момент времени.
Пусть число их Ог. Число тех молекул, скорость которых меньше О, пусть будет ХФ(О). Тогда Ф(О) означает отношение числа молекул, движущихся со скоростью, лежащей между О и О, ко всему числу молекул (все рассмотрение относится к определенному моменту времени). Эта суммирующая функция, разумеется, не непрерывна, а кусочно постоянна, т.
е. сохраняет постоянные значения в некоторых интервалах н возрастает каждый раз скачкообразно на 1/М, когда скорость при своем ' возрастании проходит такое значение О, которому соответствует точно одна молекула, движущаяся со скоростью О. Математическая идеализация, которую мы здесь совершим, заключается в том, что мы мысленно увеличиваем Ж неограниченнэ.
Мы принимаем, что при этом предельном переходе )тчг-ь со суммирующая функция Ф(О) стремится к определенной непрерывной предельной функции Р(О). Что это действительно так [т. е. что с достаточной точностью можно заменить Ф(О) непрерывной функцией Р(О)), является, очевидно, существенным физическим допущением; и таким же допущением является предположение, что суммирующая функция Р(О) имеет производную Р'(О)=У(О), которую называют плотностью распределения. Суммирующая функция связана с плотностью распределения равенствами и $ Х ОЦЕНКА ИНТЕГРАЛОВ И ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ 153 Зту плотность распределения называют иногда также удельнод вероятностью того, что молекула обладает скоростью о. Проведенная только что идеализация, играющая большую роль в кинетической теории газов Максвелла, встречается во многих вопросах математической статистики в совершенно той же математической форме, ф 7.
Оценка интегралов и теорема о среднем значении интегрального исчисления Закончим эту главу некоторыми соображениями общего характера, вся важность которых выявится, впрочем, лишь несколько позже. Речь идет об оценке интегралов, 1. Теорема о среднем значении в интегральном исчислении. а) Первое и простейшее из правил оценки интеграла гласиж Если непрерывная функция у(х) в интервале а«(х«((7 нигде пе отрицательна, т. е. принимает либо положительные значения, либо значения нуль, то и определенный интеграл ) у(х)ь(х а имеет неотрицательное значение. Подобным же образом этот интеграл имеет неположительное значение, если функция у(х) повсюду в интервале неположительна. Показательство этого вытекает непосредственно из определения интеграла.
б) Отсюда получается следующая теорема. Если во всем интервале а «( х «( б )'(х).» я (х), ь ь ~ у'(х) ь(х)~ ~ д'(х) ах, то и Ибо, согласно предыдущему замечанию, интеграл от разности у'(х) — л (х) имеет неотрицательное значение, а по правилу интегрирования суммы (стр. 107) ~!У(х) — д' (х)) г(х = ~ У(х)7(х — ~ 7Г(х)л7х. т «( 7 (х) «( Л(, в) Пусть Л( — наибольшее, а т — наименьшее значение функции у (х) в интервале от а до Ь, Тогда гл, и.
основные понятия и, на основании б), при а (Ь ь ь ~ т Фх ( ~ У(х) с(х ( ~ М 4х! так как ь ь тйх=т(Ь вЂ” а), а ~ Мс(х=М(Ь вЂ” а), а а то получаем т (Ь вЂ” а) ( ~ г (х) Фх ( М (Ь вЂ” а). а Рассматриваемый интеграл можно поэтому представить в виде произведения Ь вЂ” а на значение (ь, заключенное между т и М: ) г (х)с(х=(с(Ь вЂ” а), т-((с (М. а Это и есть, собственно, формула оценки определенного интеграла. Эта формула верна и при а ) Ь.
Лля доказательства применяем доказанную формулу к ~, а затем, поменяв местами пределы интегрирования, получим прежнюю формулу. Точную величину этого промежуточного значения (с мы, вообще говоря, не можем указать, да в этом, как правило, и нет надобности, Но можно утверждать, что это значение функция Г" (х) принимает в какой-то точке ч интервала а с ( Ь, так как непрерывная в (а, Ь) функция принимает в интервале все значения, заключенные между ее наибольшим и наименьшим значениями (см. стр. 86).
Во многих приложениях, как и для теоремы о среднем значении в дифференциальном исчислении, не играет существенной роли точное указание й, Итак, можно положить р = г($), где $ — такое промежуточное значение, и писать ~ у(х) их =(Ь вЂ” а)г'(я), а $( Ь. а В этой последней записи формулу оценки интеграла называют теоремой о среднем значении в интегральном исчислении. г) Эту теорему о среднем значении можно еще несколько обобщить, заменив подынтегральную функцию г (х) подынтегральной функцией вида у (х) р(х), где р(х) — нроизвольнан неотрицатель- 2! Э Е ОЦЕНКА ИНТЕГРАЛОВ Н ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ 155 ная функция, которая иредиолагается, так же как и у (х), непрерывной. Так как тр(х) <р(х)у(х) ~( лгр(х), то сразу получается соотношение ь ь т ~ р(х) йх ( )Г ~(х) р (х) йх ( М ~ р(х) ах или, в виде одного равенства, у (х) р (х) ах = у я) ~ р (х) йх, а а где 1 есть промежуточное аначение между а и Ь.
(Что р(х) есть именно неотрицательная функция, является несущественным ограничением,— она может быть и неположительной функцией, Доказательство почти не ивменится. Другимн словами, если непрерывная функция р(х) сохраняет постоянный знак в интервале а<х <д, обращаясь, быть может, в нуль в некоторых его точках, а функция ~(х) непрерывна в этом интервале, то справедлива теорема о среднем значении, выражаемая формулой (*), где а < В ( Ь4 (д) Из неравенства б) вытекает важное следствие: Если а < Ь, гио ! ь ь ~ у (х) йх ~( ~ ) У(х) ! ах, а а т.
е. абсолютная величина определенного интеграла от г" (х). не превосходит интеграла от абсолютной величины этой функции, Действительно, — ~ у (х) ) < Г (х) ~() Г'(х) ). Стало быть. согласно б) ~ ~ г (х) ~ йх < ( г (х) йх ( ~ ! у'(х) ~ ах, а это и есть только другая запись доказываемого неравенства. Читателю рекомендуется в качестве упражнения дать другое доказательство, исходя из определения интеграла как предела суммы.) 2.
Непрерывная зависимость определенного интеграла от подыитегральной функции. Из теоремы о среднем значении вытекает очень важная теорема, геометрически, впрочем, очевидная. Если значение подынтегральной функции мало изменяется, то и значение определенного интеграла мало изменяется. Точнее: если во всем интервале а ( х ( Ь абсолютная величина разности двух функций ~(х). ГЛ. Н. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ .и л'(х) меньше числа е. то абсолютная величина разности их интегралов меньше чем е(Ь вЂ” а).
На языке формул это запишется так. Если [ у(х) — л(х)[ е при а~(х (Ь, то В ь [ьь*ьь.— [ьь %ьь а а или, в другой записи, а Ф ь — е (Ь вЂ” а)+ [г д(х) ь(х < ~ у(х) г[х < [г л'(х) Фх+е((ь — а). а а а Рис. 49 показывает зто очень ясно. Строим две кривые у = К(х) — е и у = д(х)+ е, «параллельные» кривой у = Н (х), Рис, 49. Согласно условию теоремы, кривая у=у(х) лежит в полосе, ограниченной этими «параллельными» кривыми. Отсюда ясно, что площади криволинейных трапеций, ограниченных кривыми у(х) и л'(х), отличаются между собой меньше чем на половину площади полосы, .а площадь полосы равна ь Ь ) [д(х)+ в[ гьх — ~ [л'(х) — е[ пх = 2е([ь — а).
Не прибегая к геометрической интуиции. Теорему можно доказать так. Применяем теорему о среднем значении к функции Г(х) — л'(х): ь ) [г (х) — А' (х)[ г[х = (б — а) [у (в) — ~($)[. а < ', < Ь. а Но по правилу интегрирования суммы В ь Ь [ [у(х) — л (х)[ г[х= ~ г"(х)аьх — ~ й'(х)ьах, 31 $ Е ОЦЕНКА ИНТЕГРАЛОВ И ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ 167 а по условию теоремы !)'(х) — А'(х) ! ( е во всем промежутке а-(х(б.
Следовательно, ь ь ~ 7< (х) сух — ~ к (х) ссх ( (Ь вЂ” а) е. Эта теорема приводит почти непосредственно к следующей теореме, к которой мы вернемся позднее, в гл. У111, 9 4, и' 4, в более общей ситуации. Пусть функция 7" (х), непрерывная в интервале л (х (Ь, является в этом интервале пределом последовательности непРеРывных фУнкций 7'л(х) пРи и — ьоо; точнее, пУсть длЯ всЯкого положительного числа е существует такое число ссг(е), что при и ) М (е) во всем интервале ! у'(х) — у'„(х)( ( е; тогда г (х)Г(х = 1пп ~ 7" (х)сгх.
л.+со Действительно, по предыдущей теореме 1ссос -1г.с<с*)< а- с, а а а это число становится сколь угодно малым при достаточно больших значениях и. 3. Приложение. Интегрирование и дифференцирование функции х" при любом иррациональном значении и. На стр.
111 и 121 были выведены формулы интегрирования и дифференцирования степенной функции ха при рациональных значениях показателя а. При помощи только что доказанной теоремы можно эти формулы обобщить на любые иррациональные значения а при х ) О. (В этом, может быть, и нет необходимости, поскольку в гл. П1, $6. п' б, будет дан более простой вывод, однако предлагаемое сейчас доказательство полезно как пример рассмотрения предельных переходов.) Для степени ха мы пользуемся определением (при х ) О) ха !1гп хал л.+со где показатели ал составляют последовательность рациональных чисел, для которой 1нп а„=а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
