1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 36
Текст из файла (страница 36)
« В самом деле, эта последняя формула выражает лишь, что цроизводная правой части равна функции, стоящей под знаком интеграла слева. Если вместо « подставим «+-1. то получим формулу х~+! х" Г(х=. — +С, «+ — 1. «+1 Эта формула справедлива при любом целом значении показателя (если «ч.
О, естественно, лишь при х+О), за исключением « = — 1, когда знаменатель «+1 обратился бы в нуль, Этим исключительным случаем «= — 1 мы займемся подробно в Э 6. Основная теорема интегрального исчисления (формула Ньютона— Лейбница, стр. !43) позволяет тотчас же использовать формулы иптегрирования для определении плошади, т. е, для вычисления определеннык интегралов. Согласно этой формуле непосредственно получаем ~'аЪ = (Ь" ь' — а"+'), «+ — 1; «+1 а прм этом в случае отрицательного значения «предполагается, что « и Ь одинакового знака, ибо в противном случае подынтегральная функция была бы разрывна в промежутке интегрирования. 172 ГЛ.
И1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ формулам дифференцирования для 5!пх, созх, !е х и с!Ех соответствуют следующие формулы интегрирования: соз х г(х = 5!п х + С; ~ 51п х г(х = — сов х + С; 1 — 1(х = !дх — ) — с; з! а'х = — с!Ех+с. 505~ Х 51пт х Из этик формул сразу получаются. согласно правилу Ньютона— Лейбница, значения определенных интегралов, взятых в произвольнык пределах'), например: 5 5 соз х 1(х = 5!и х ~ = 5!п Ь вЂ” 5!и а.
15 Упражнения 1. Продкфференцкровать следующие функции и написать соответствующие формулы ивтегрирования; а) ах+Ь; б) 25схг! в) а+2ЬХ+сх'; ах+Ь ахч+ 2ЬХ+ с 1 1 сх-)-г! ' 5 („2РХ ) т ' 1 — х' 1+х' ' (х' — )' Зх" +4) (х'+)'1!х'+4) х" +15 2. 1(ано: Р (х) = а, + а, х + а,х' + ... + а„х". а) Вычислить многочлен Р(х) из уравнения Р(х) — Р'(х) = Р(х).
б'.) Вычислить Р(х) нз уравнения сьР(х)+с,Р'(х)+с,Р" (х) = Р(х). 3. Проднфференцировать следующие функции и написать соответствующие формулы интегрирования: б) ' 1+!ах 51П х л)— а) 25!и х соз х; в) х!ях! МПХ+ СО5 Х г) 51п х с05 х ') В двух последних интегралах нужно, конечно, слепить за тем, чтобы промежуток интегрирования не содержал точек разрыва подынтегральной функций, Едва ли нужно здесь особо подчеркивать, жо с помощью двух первых правил интегрирования возможно интегрировать любые целые рациональные функции, а также любые линейные комбинации, образованные с помощью произвольных постояннык коэффициентов из других пропнтегрированных злесь функций.
Следует еще отметить одно важное обстоятельство. Правила интегрирования и лифференцирования, согласно основной теореме, эквивалентны друг др>гу; поэтому можно было бы сперва доказать общие правила интегрирования этого параграфа и из ник уже получить правила дифференцирования предыдущего параграфа, Читателю рекомендуется выполнить эту программу самостоятельно. 4 3. ОБРАтнля Функция и се ппоизводнля 173 |1 1 ! Зная, что зес х=, созес х= —, найти производные, указансоз х з|пх ' иые в упр. 4 н 5. 12 из 4. — зес х. б. — созесх. их' йх! Вычислить неопределенные интегралы в упр. б — 13.
6. ( (ах+ Ь) йх. 14. Известно, что любой целый многочлен степени и имеет и корней, среди которых могут быть и равные. Если Л нз зтих корней равны между собой, но отличны от всех лругнх корней, то повторяющийся корень называется Ь-кратным или корнем кратности Ь. Пусть многочлен Р(х) имеет корень а крап|ости Ь; тогда Р (х) = (х — а)л 0 (х), причем многочлен |З (х) уже не имеет корня а, т. е. |З(а)~0. Корень многочлена, не равный нн одному нз остальных его корней, называется простым корнем илн корнем кратности 1. Доказать теорему; 1) Если число а является корнем многочлена Р (х) кратности Ь > 1, то оно булет также корнем его производной Р'(х), но уже кратности Ь вЂ” 1.
2) Простой корень многочлена уже не является корнем его производной. 15. пусть и„(х) = (х' — 1)". показать, что и'„(~1) = и„(~1) = и'"(ж1).= =и'„" г!(х1)=0, а и1„'!(~1)+О. й 3. Обратная функция н ее производная 1. Общая формула дифференцирования. Мы уже раньше (стр. Зб и 90) видели, что непрерывная функция у = у (х) ил|ест однозначную и непрерывную обратную функцию во всяком интервале, в котором она монотонна. Точнее: если а~(х ~(Ь вЂ” интервал„ в котором непрерывная функция у = Г"(х) изменяется монотонно, и если г (а) = а и у (Ь) = — р, то х является в интервале от а до р однозначной, непрерывной и монотонной функцией х =гр(у) от у. Понятие производной лает очень простое средство распознать монотонный характер, а вместе с тем и обратимость функции.
Именно, дифференцируемая функция всегда монотонно возрастает, если в рассматриваемом интервале всюду )"(х) ) О, и монотонно убывает, если ) (9хз -(- 7ха + бх4 + Зхз + 1) их. ' 1(-+ —.') "х 5 9 1о ( (Зх+7з!пх+ —.— йх. хз созт х ) 7. ( (ахл+2Ьх+с) йх. 9. ~~ ( —,+ —,+ —,) а . Г 1 1 1 11. ~ (асозх+ — ~ гтх. з|п'х) 13.
( зесх!Кхнх. 174 ГЛ.!И. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ !! там вс!оду 7''(х)(О. Этот геометрически очевидный факт аналитически сразу же следует из теоремы о срелнем значении 7 (х+ Ь) — Г (х) = Ьг'(х+ОЬ) (О ( О < 1). Если у'(х) имеет в каждой точке интервала положительное значение и значения х и х.+Ь лежат в этом интервале, то г(х+Ь) — 7(х) будет иметь постоянно тот же знак, что и Ь; если же 7"'(х) имеет повсюду отрицательное значение, то разность у' (х+ Ь) — у (х) будет иметь знак, противоположный анаку Ь. Докзжем теперь следующую т е о р е м у: Если функция у = г' (х) дифференцируема в интервале а ( х( Ь и в втом интервале либо всюду У'(х) ) О.
либо всюду 7"'(х) с. О, то и обратная'функция х=!р(у) имеет производную в интервале, в котором она определена, и между производной данной функции у = Г (х) и производной обратной функции х = !у(у) существует соопьношение 7"'(х) <р'(у) = 1, которое можно записать также в виде дх дх ду Разумеется, это соотношение выполняется при соответствующих лруг другу значениях х и у, В последней записи опять обнаруживается гибкость обозначений Лейбница.
Действительно. дело обстоит так, нак будто символы с!у и дх — величины, с которыми можно оперировать, как с обыкновенными числами. Доказательство этой формулы получается непосредственно, если рассматривать производные как пределы отношений приращений: у'= У'(х)= !нп — = 1!ш ю.«» х! причем х и у=у(х), х, и у,=у(х!) означают пары соответствующих значений. Согласно условию первый из этих пределов не равен НУЛЮ. Раасиетза В!и ГьХ = О И !!Ш !ьу = О раВНОСИЛЬНЫ ВСЛЕдСтВИЕ непрерывности функций у=у(х) и х=ц!(у), а следовательно, и соотношения у,— «у и х,— «х равносильны (т.
е. существование первого из них влечет существование второго, и обратно). Поэтому существует также предел !Цп = 1!ш х,— х . х,— х у у и у у 1 и этот предел равен, . С другой стороны, этот же предел, у'(х) ' согласно определению, есть производная гр'(у) от обратной функции ц!(у), и тем самым наша формула доказана. ч 3. ОБРАТИАя пункция и ее пРоиээодиАя 175 Эта формула амеет простой геометрический смысл, который ясно виден на рнс.
50. Касательная к кривой у=У(х) илв х=в(у) образует с положительным направлением осн х угол а, а с положительным направлением оси у угол р; на основании геометрического значения производной имеем: У у'(х) =1яа, гр'(у) =-1я5. Но так как углы а и П как раэ дополняют друг друга до к72, то 1п а 1д р = 1, и это соотношение точно,выражает нашу формулу лнфференчьро,~анна.
Ло сих пор мы явно предполагали, что либо повсюду у'(х) > О, либо повсюду у'(х) ( О и что, следовательно, Г'(х) нигде не равно нулю. Рнс. 50. Что же будет, если у'(х) =О? Если у' (х) = О во всем интервале, то функция имеет там постоянное значение и, следовательно, необратима. потому что одному и тому же значению у должны были бы соответствовать все значения х нашего интервала. Если же равенство 7" (х) =О имеет место только для отдельных точек нашего интервала, а функцию у (х), простоты ради, будем считать непрерывной, то следует различать, меняет ли У'(х) свой знак при переходе через такую точку или нет. В первом случае эта точка отделяет интервал, в котором функция монотонно Рнс.
51. Рнс, 52. возрастает, от интервала, в котором она монотонно убывает. В окрестности такой точки не может быть однозначной обратной функции. Во втором случае обращение в нуль производной не нарушает монотонного характера изменения функции у = у'(х) и, следовательно, однозначная обратная функция существует. Только в соответствующей точке обратная функция не будет дифференцируемой, ее производная будет бесконечна. 176 Гл. и1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
