1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 39
Текст из файла (страница 39)
137 получнлн формулу дифференцирования — ха+ =(а -(-1) х а+! а бх нли, заменяя а+1 через а, а а — ! — х =ах бх Следовательно, атнм окольным путем все же, наконец, подтвердилась схо- димость га б — х" к — х. дх Упражнения Продиффереицировать 1.
(х+ 1)'. следующие функции: 1 4. 1+х 1 5. 6. (ах+а)а. 2. (Зх + 5)г. 3. (хв — Зхг — х')г. Это рассуждение является характерным примером взаимосвязи дифференциального и интегрального исчислений. Однако из принципиальных соображений мы предпочтем дать в 4 6, стр. 204, вместо элементарного определения степени ха другое, значительно более простое, которое приведет нас снова, и притом прямым путем, к полученному результату. ч в.
млкснмтмы н мнннмтмы 18т 7. 1 х+)' х' — 1 .)/ ахв+ ах+ с гхв+ тх+ и Н. 1й —. 1+х 1 — х' 15 в!в (хв + 3х + 2) 16. агсып (3+х'). 17. агсв!в (сов х). 1а в!п(агссов~'à — хв). Построить графики к упр, 17 и 18. 19. хт в — х ге а 26. (в!п(х+7)) 21. [агсв!п(ассах+Ь))". 9. ~$ (1 — х) ) 1О. в! и' х. 11. в!п(х'). 12.
)' 1+ в!и'х. 1 13. ха в!и —,. хв Вычислить саедуюи!ие Лв 22. — (весх!нх). йхв ДЗ 23. — совес х. ихв производные высших порядков: л4 24. —, (!их в1пх). й б. Максимумы н минимумы После того, как мы до известной степени овладели задачей дифференцирования элементарных функций и сложных функций, из них составленных. мы уже в состоянии заняться разнообразными применениями. Мы здесь изложим самое элементарное нз этих приложений, теорию максимумов н минимумов функции, в связи с геометрическим толкованием второй производной, а затем, в следующем параграфе, снова продолжим изложение общей теории.
1. Геометрическое значение второй производной. Выпуклость н вогнутость кривой. Согласно своему определению, производная. — 7 (х) от функции 7 (х) указывает подъем (крутизну, наклон) кривой у =7'(х). Этот наклон можно, в свою очередь, наглядно представить с помощью кривой у'= — 7'(х) =у'(х) — дифферекииальйх иод кривой от заданной кривой. Наклон этой последней кривой дается производной †„ ~'(х) = †„ , 7'(х) =ув(х), т. е.
производной второго порядка от у'(х), и т. д. Если вторая производная 7"(х) положительна в точке х, а следовательно, вследствие предполагаемой здесь ее непрерывности, и в некоторой окрестности этой точки, то при прохождении этой точки в направлении возрастания х производная возрастает.
Кривая, следовательно, будет обращена своей, выпуклостью в сторону убывания у и вогнутостью в сторону 188 гл, !и. диееввенцивовлнив н интвгвнвовлннв (! возрастания ординаты. Обратное будет иметь место, когда у'(х) имеет отрицательное значение.
Поэтому. в первом случае кривая в окрестности точки х расположена выше своей касательной, а во втором случае — ниже своей касательной (рис. 60, а и 60, б). Особого аг Рис. 60. р ассмотрения требуют только точки, в которых уи(х) =-.О, В общем случае при переходе через такую точку вторая производная Ги(х) будет менять знак. Тогда такал точка будет местом перехода от одного из указанных типов к другому, т. е. касательная в этой точке будет с одной стороны проходить над кривой, а с другой— гу=гггл/ под нею и, следовательно, будет не только касзться, по в то же время и пересекать кривую в этойточке(рис.
61). Такая точка называется точиои перегиба, а соотвезствуюшая касательная называется касательной в точке перегиба кривой. гт $' Простейший пример дает Рис. 6!. кривая у = хз, кубическая парабола, для которой при х = 0 сама ось х является касательной в точке перегиба. Другой пример представляет функция у(х) = з|п х, для которой г! (х) = — 3!и х = соь х, у (х) = — ! 5!и х = — 3!и х. При х = 0 у' (0) = 1.
а у" (0) = 0; так как )'и (х) при л = 0 меняет знак, то начало координат является точкой перегиба для синусоиды, и соответствующая касательная наклонена под у~лом в 45' к оси х. Следует, однако, заметить, что могут быть точки, в которых у"(х) = О, но касательная в этих точках все же це пересекает кри- 5 5.
Максимумы н минимумы 189 вой, а остается по олпу сторону от нее. При переходе через такую точку вторая производная у" (х) сохраняет неизменный знак. Например, кривая у=ха целиком лежит нзд осью х, хотя при х= О ее вторая производная равна нулю. действительно, у" (х) = 12ха и, следовательно, не меняет знака при переходе через х = О.
2. Максимумы и минимумы. Говорят, что непрерывная функция или кривая у=у(х) имеет в точке х=9 .максимум (минимум), есди по крайней мере в какой-либо окрестности этой точки й все значения функции у(х) при х ~ я меньше, чем у (Э) [больше, чем у(9)). Говоря Рг Рэ геометрически, такие максипумы и минимумы являются е 1 Р. гребнями и впадинами гра- Р, фика функции. При одном 1 взгляде на рис. 62 убеждаемся, что значение максимума в какой-либо точке Р Рис.
62, вполне может быть меньше значения минимума в другой точке Рю Таким образом, понятию максимума и минимума присуще нечто относительное, ибо оно всегда ограничено некоторой малой окрестностью точки. [Эту мысль можно выразить также словами: понятие максимума и минимума носит локальный (местный) характер, в отличие от понятия наибольшего или наименьшего значения функции в замкнутом промежутке а ( х ( Ь.[ Если хотят установить действительно нзибольшее или наименьшее значение функции в замкнутом промежутке, то потребуются специальные рассуждения для решения вопроса: можно ли выделить эти значения из максимумов или минимумов (и как это сделать) нли, может быть, эти значения принимаются функцией на границах интервала? В последнем случае наибольшее значение функции в интервале может не быть максимумом, и наименьшее значение в интервале может не быть минимумом.
Перед нами стоит теперь задача о нахождении максимумов и минимумов или, что то же самое, экстремумов функции илн кривой (если пользоваться термином, который объединяет оба понятия: максимума и минимума; латинское слово «ех1гешцш» означает крайнее значение). Эта задача, которая очень часто ставится в геометрии, механике и физике и которая встречается во многих других приложениях, послужила одним иа первых стимулов к развитию дифференциального и интегрального исчисления в ХЧ11 веке.
Непосредственно видно, что касатедьная в экстремальной точке 9 должна быть горизонтальной, если функция дифференцируема в этой точке. Итак, условпе У (;)=О 190 гл. нь диеегмшгцньоиьнне и интпгяияовлнип 12 является необходимым условием зля сугцествования экстремума; решая это уравнение относительно неизвестной $, мы получим те точки, в которых такой экстремум возможен. Но это условие никоим образом не является достаточным условием экстремума; дело в том, что могут существовать точки, в которых производная обращается в нуль, т. е.
касательная горизонтальна, хотя в этих точках кривая не имеет ни максимума ни минимума. Это тот случай, когда кривзя в рассматриваемой точке имеет точку перегиба и горизонтальная касательная пересекает кривую в этой точке, как в приведенном выше примере функции у = хз — в точке х = О. Но раз найдена точка $, в которой г'Я) обращается в нуль, то можно сейчас же заключить, что в этой точке функция имеет максимум, если Гь($) ( О, и минимум, если гьЯ) > О. нбо в первом случае кривая в окрестности этой точки лежит под касательной, а во втором случае — над ней. Вместо того, чтобы ссылаться на геометрическую интуицию, легко дать чисто аналитическое доказательство необходимого условия экстремума (ср.
совершенно аналогичные рассуждения при выводе теоремы Ролля на стр. 128). Если $ есть точка, в которой функция имеет максимум, то выражение /($) — г'(Э+-й) должно быть при всяком отличном от нуля достаточно малом ~Ь! положштельным. Следовау(з+ л) — у(э) тельно, отношение + будет положительно или отрицал тельно, смотря по тому, будет ли Ь иметь отрицательное или положительное значение, Предел этого отношения, когда й стремится к нулю, пробегая отрицательные значения, не может быть отрицательным; в то же время он не может быть положительным, если й стремится к нулю, оставаясь положительным.
Так как оба предела, на основании допущения о существовании производной, должны быть равны одному числу у" Я), то они могут равняться только нулю, т. е. непременно у"'Я) = О. Аналогичное рассуждение можно провести для минимума. Можно также формулировать и аналитически доказать необходимые и достаточные условия существования максимума или минимума дифференцируемой функции и без привлечения второй произ- волной (если возможно выделить такую достаточно малую окрестность точки $, что Г"'(х) сохраняет постоянный знак с каждой стороны от $ в этой окрестности): Функция у(х) имеет в точке $ максимум или минимум в том и только в том случае, если производная у'(х) меняет знак при переходе через зту точку; при етом, если производная отрицательна слева от точки $ и положительна справа от нее, то функция имеет минимум, а в противном случае — максиииум.
Для доказательства заметим сначала, что по условию слева и справа от точки $ существуют интервалы Э,(х($ и $(х($э (простнрающиеся до ближайших точек, в которых у' (х) = О), Я! % 5. МАКСИМУМЫ И МИИИМУМЫ в каждом из которых у'(х) сохраняет неизменный знак. По теореме о среднем значении .г(й-+й) — У(и=йУ'а+Ой), О < Е <1, Если знаки /'(х) в упомянутых выше двух интервалах различны (а ведь знаки й в них тоже различны), то у(Ц+й) — у ($) имеет олин и тот же знак при всех достаточно малых ~й~, независимо от знака самого й, так что Г(я) есть экстремум. Если У'(х) ил5еет в обоих интервалах одинаковый знак, то йу'Я-+Ой) меняет знак вместе с й, так что у'Я+й) больше, что у(я), с одной стороны от точки $ и меньше, чем г(а). с другой стороны, и, следовательно, экстремума нет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
