1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 43
Текст из файла (страница 43)
11. Найти максимум функции у=хЛ«е ~, где А и а — постояииые. Найти геометрическое место этого максимума при изменении А. 12, Продиффереицировать функцию а«х (а > О). 13. Продифференцировать функцию а«1" «1" «~ . ф 7. Некоторые приложения показательной функции Мы изучим в этом параграфе ряд различных задач. где появляется показательная функция, и получим таким образом представление о фундаментальном значении этой функции в самых разнообразных приложениях. 1.
Дифференциальное уравнение, характеризующее показательную функцию. Показательную функцию можно охарактеризовать с помощью простой теоремы, применение которой сэкономит много отдельных рассуждений. Если функция у=г'(х) удовлетворяет уравнению вида у'= ау, где а+Π— постоянная, то у имеет еид у = г (х) = се% где с — тоже постоянная; обратно, всякая функция аида се' удовлетворяет уравнению у'=ау. Уравнение (1) называется дифференциальным уравнением, так как в нем устанавливается соотношение между функцией и ее производной. Чтобы уяснить себе эту теорему, заметим сперва, что в простейшем случае, при а=1, наше уравнение принимает вид у'=у.
Мы знаем, что у =е удовлетворяет этому уравнению, и ясно, что у= се" тоже удовлетворяет ему, если с — произвольное постоянное число. Но легко обнаружить и обратное положение: никакая иная функция не удовлетворяет нашему дифференциальному уравнению. В самом леле, пусть у — функция, удовлетворяющая этому дифференциальному уравнению; тогда рассмотрим функцию и =уе-". В таком случае и' = у'е- — уе = е "(у' — у). 200 ГЛ. !ГЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 12 Но правая часть равна нулю вследствие допущения, что у' = у, а потому и и'=О, т. е.
и равно постоянной с, и у=се, что и требовалось доказать. Совершенно так же, как в частном случае а= 1, можно поступить н в случае произвольного а, не равного нулю. Если мы введем и=уе-" как новую искомую функцию, то получим и'=-у'е-" — аул-' =с-' (у' — цу). В силу допущения, что у удовлетворяет данному дифференциальному уравнению (1), получаем и' = О. Итак. и = с и у=се ", как мы и утверждали. Обратная теорема очевидна, Применим доказанную теорему к ряду задач, и это сделает ее более понятной.
2. Непрерывное начисление процентов. Радиоактивный распад. Капитал, иа который процентные деньги начисляются каждый раз через определенные промежутки времени, возрзстает в эти моментм скачками следующим образом. Если 100а — процентная такса и если наросшие проценты присчнтываются к капиталу в конце каждого года, то из начального капитала величиной 1 получается по истечении х лет сумма (1 + а)к Если бы наросшие проценты причислялись к капиталу не по истечении года, а по истечении 1/и части года, то капитал превратился бы по истечении х лет в Если возьмем для простоты х = 1, то рост в 100а% годовых, при начислении процентов в конце каждой л-й части года, образует из капитала 1 через год наращенный капитал (' И' Заставим теперь п расти неограниченно, т. е.
будем неограниченно уменьшать промежутки времени, по истечении которых процентные деньги присчитывэются к капиталу; тогда предельный случай будет означать, что начисление производится известным образом непрерывно в каждый момент, и мы видим, что величина иарзщенного капитала по истечении года равна эл 1пп (1+ — ~ =е, т. е, в е раз больше первоначального капитала; подоба а л.эсл л ным же образом при этом способе начисления по истечении х лет (х может. быть любым целым или нецелым числом) наращенный капитал будет в лак раз более первоначального.
Этот пример и ему подобные можно истолковюь в духе рассуждений п'1 следующим образом. Имеется некоторое количество, выражаемое числом у, которое с течением времени возрастает (или убывает). Пусть скорость возрастания или убывания этого количества будет пропорциональна наличному количеству. Тогда для скорости возрастания у' (как независимую переменную х мы рассматриваем при этом время) имеет место закон вида у = ау, причем множитель пропорциональности а положителен яли отрицателен, смотря по тому, имееэг ли мы дело с возрастанием или убыванием. Сама величина у выразится, согласно и' 1, формулой у = сеак; $ т. некОтОРые пРилОжения пОкА3АтельнОЙ Функции 3)9 при этом значение постоянной с сейчас же обнаружится, если рассмотрим момент х = О.
Тогда лво = 1 н постоянная с уо, т. е. наличному количеству в начальный' момент, так что можем писать у = у,е «.» Типичный пример такого явления представляет радиоакгливлмй распад. Скорость, с которой уменьшается общее количество у радиоактивного вещества, пропорциональна всему имеющемуся налицо в данный момент количеству этого вещества.
Эта гипотеза естественна, так как каждая порция вещества уменьшается столь же быстро, как и всякая другая порция. Поэтому мы имеем право написать лля количества вещества у, рассматриваемого как функция времени х, соотношение у' = — Лу, причем множитель пропорциональности Л следует взять положительным, так как речь идет об уменьшении массы вещества. Отсюда для массы как функции времени х получаем выражение у = у,е "", где уо — количество вещества в начальный момент (х = О). Через некоторое время т количество радиоактивного ве.цества уменьшится вдвое против первоначального количества.
Это время т, так называемый период лолуласлада, находится из уравнения — = — да Уо -ат 2 о 1п2 откуда тотчас же получаем для т значение т = —. Гг 3. Охлаждение или ивгреваиие тела в окружающей среде. Другим типичным примером появления показательной функции служит явление охлаждения тела, например металлической пластийки, погруженной в очень большую ванну определенной температуры; при рассмотрении такого охлажления.мы предполагаем, что ванна настолько велика, что на ее собственную температуру процесс не влияет. Далее предполагаем, что погруженное тело в каждый момент имеет повсюду одну и ту же температуру и что быстрота изменения температуры пропорциональна разности температур тела и окружающей среды (ньютоновский закон охлаждения).
Если обозначиоо время через Г, а разность температур тела и среды через у = у(т), то закон охлаждения выразится уравнением лу. где Л вЂ” положительная постоянная, зависящая от матерйала. Речь теперь идет 'о том, чтобы из этого «дифференциального» закона, который выражает тенденцию процесса охлаждения в определенный момент времени й вывести «интегральный» закон, который позволил бы, на основании известных условий .в начальный момент Г = О, делать заключения относительно любого следующего момента й Этот интегральный закон получается непосредственно с помощью теоремы из л* 1 в виде у=се тле Л вЂ” указанная раньше постоянная, зависящая от материала. Следгшательно. оказывается, что температура с течением времени понижается по экспоненциальному (показательиому) закону и стремится сравняться с окружающей температурой. Скорость, с которой это происходит, характеризуется постоянной л.
Значение постоянной с и здесь находим рассмотрением момента Г = О и получаем уо = с; таким образом, закон охлаждения оконча-. тельно запишется в виде -ш у = уел 14 Р Ктраат 210 Гл. Ие диФФеРенциРОВАние и интеГРиРОЕАние 14 Очевидно что такое же решение применимо н к задаче нагревания тела в окружающей среде Единственное различие заключается в том, что начальная разность температур в данном случае имеет не положительное, а отрицательное значение. 4. Зависимость атмосферного давления от высоты над поверхностью земли. В качестве дальнейшего вримера применения показательной функции выведем закон зависимости атмосферного давления от высоты, так называемую баролеетрическую формулу змеоты.
Мы будем при этом опираться, с одной стороны, на тот известный нз физики факт, что давление воздуха равно весу столба воздуха, стоящего вертикзльно над площздкой, площадь которой равна 1; с другой стороны, на закон Бойля, гласящий, что давление газа р при постоянной температуре пропорционально его удельному весу о, Выражая зто формулой, имеем р = аа, где а — постоянная, зависящая от природы газа. Нашей задачей является определение давления р = у (И) как функции высоты И над поверхностью земли.
Если обозначить через ре давление воздуха у поверхности земли, т. е. вес всего вертикального столба воздуха над единицей площади, н через о (А) удельный вес возлуха на высоте Х над землей, то вес столба до высоты И выразится интегралом ~ п(А).дЛ, а а давление р на высоте И будет равняться р=У(И)=р,— ~ о(А)ЛЛ.
о Но отсюда дифференцированием получаем соотношение между давлением р=/(И) и удельным весом п(И): о (И) = — У'(И) = — р'. Из этого уравнения, с помощью закона Бойля р= па исключаем величину и и приходим, таким образом, к уравнению 1 р = — — р а содержащему одну только неизвестную функцию — давление. На основании п' 1 получаем теперь р=у(И) =се "~'. Обозначая, как и раньше, давление на поверхности земли, т. е. значение р(0), через ре, получаем тотчас же с = р,, и потому р=рое «~~. Переходя к логарифмам, имеем И = а!и — е. р Эти две формулы находят частое применение.
Они позволяют, например, если известна постоянная а, путем измерения атмосферного лавления определить высоту местонахождения илн путем измерения атмосферного давления в двух пестах определить разность их высот. С другой стороны, если известны атмосферное давление р в одной точке и высота И чь 0 этой точки, я! 4 т.
некотОРые пРиложения пОкАЗАтелъной Функции 211 то последняя формула дает возможнскть определить постоянную а, играющую большую роль в теории газов. б. Ход химических реакпий. Рассмотрим еще пример из области химии, а именно так называемые укимолекуляркые реакции. Допустим, что не- которое вещество растворено в гораздо большем количестве растворителя (например, некоторое количество тростникового сахара в воде). Если возни- кает химическая реакция, то в этом простом случае химический закон действия масс гласит: скорость реакции пропорциональна имеюпгемуся еще налицо количеству реагирующего вещества.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
