1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Производная же 1 1 1 хт сйт— х 1 4 Х' (ЕП" +Л Ьх)З стремится с обеих сторон к пределу О, в чем опвть легко убедиться на основании гл. Ш, 5 9'). 4, Функция у = х1Ь вЂ”. У функ- 1 х ции е- Пх у=хгй — = х Рнс. 75. х егж+е предыдущий разрыв устраняется множителем х. При х-ьО с той и с другой стороны функция стремится к пределу О, поэтому целесообразно опять определить у (О) = О. Тогда наша функция становится непрерывной при х = О, ') Другой пример точки конечного разрыва представляет функция 1 у= агсге — при х-ьО. х 15 Р. Курант 226 ГЛ.
Н!. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ однако ее первая производная 1 1 1 у' = !'и — — —. х х Я,1 спэ— х как раз будет иметь разрыв, рассмотренный в предыдущем примере, т. е. сама функция представляется кривой с угловой точкой (рис. 76): в точке 17 I л' Рис. 76.
х=о функция не имеет производной, но она имеет правую производную, равную +1, и левую, равную — 1. 1 6. Функция у=х э!и —, у(0)=9. Мы уже знаем, что эта функция не со- х стоит из конечного числа монотонно изменяющихся кусков или, как иногда говорат, не является чкусочно монотонной», но что она все же непрерывна (стр. 77). Напротив, ее первая производная 1 1 1 у' ып — — — соз — (х+ 0) х х х прн приближении к точке х .О непрестанно колеблетса между все возрастающими по абсэлютному значению положительными и отрицательными границами и, следовательно, в точке х=О имеет разрыв.
В самой точке х=б ' у(Д)-у(О)' отношение з!и —; так как это отношение при Ь-РО беско- Ь д' нечко часто колеблетсв между — 1 и +1, то функция в этой точке не имеет ни правой, ни левой производной. О 2. Замечания относительно дифференцнруемости функций Если функция непрерывна и имеет н каждой точке производную, то эта производная вовсе не обязана быть непрерывной. В качестве простейшего примера рассмотрим функцию 1 у=у(х)=хтз!и —, х' которая пока. определена только при значениях х+О и которой условимся при х = О приписывать значение у (О) = О, и, таким образом, она представляет уже непрерывную, повсюду от)ределенную функцию от х.
Для всех отличных от нуля значениЯ х производная имеет выражение 1 1 1 1 1 у' (х) = — хт соз — — + 2х з!п — = — соз — + 2х з!и — . х хт х х х ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВВ 1П 227 Когда х стремится к нулю, производная у'(х) не стремится к пределу, Если же вычислить отношение приращений 1 Й~ з!н— Л .
1 = Лэ!и„—, то сразу увидим, что оно стремится к нулю при Д-ьО. Следовательно, существует производная в точке х= О и 7'(О) = О, Для того чтобы наглядно представить себе это парадоксальное поведение, изобразим функцию графически (рис. 77). График функции совершает колебания между кривыми у=ха и у= †. которых она поочередно касается.
Хотя при этом отношение высоты Рис. 77. вершин волн нашей кривой к их расстоянию от начала координат все уменьшается при х-+О, тем не менее волны не становятся при 'атом более покатыми; нх наклон (угловой коэффициент касательной), 1 1 1 измеряемый производной у'=2хз!и — — соз —, в точках х=— х х' 2лп 1 1 (л=1г2, 3....), где соз — = 1, равен — 1, аз точках х= х равен +1. В противовес описанной здесь возможности, что производная может везде существовать. но не быть повсюду непрерывной, можно докааать следующую теорему, которая освещает целый ряд предыдущих примеров и рассуждений. Если известно, что производная Г'(х) существует и непрерывна повсюду в некоторой окрестности точки а и что 1!ш у'(х)=д, то мы можем утверждать, что и в точке х =а «+а существует производная у'(а) и что у'(а) = Ь.
Доказательство непосредственно следует из теоремы о среднем значении. По этой теореме у(а Ь) — у (а) =у'(а), где э — некотерое промежуточное значение между а и а+-й. Кегда л стремится к нулю, то у'(й), по условию, стремится к Ь, и отсюда тотчас же вытекает наше утверждение. 15а 228 Гл. н! ДНФФВРенциРОВАИНВ и интеГРиРОВАние Совершенно аналогично доказывается следующая теорема.
Если функция у(х) непрерывна при а(х(д, а при а(х(д имеет непрерывную производную у'(х), которая неограниченно возрастает при приближении точки х к точке а, то и отношение приращений у (а + П) — у (а) неограниченно возрастает, когда П стремится к нулю. оставаясь положительным, т. е. не существует конечной правой произволной. Геометрический смысл такой ситуации тот, что в точке с (конечными) координатами (а, 1(а)) график функции имеет вертикальную касательную. ф 3. Различные частные вопросы 1. Доказательство бинома Ньютона.
С помощью правил дифференцирования получается простое доказательство бинома Ньютона; это доказательство приводится алесь в качестве примера метода неопределенных ноэффааавнтов, который будет иметь для нас зпослелствии важное значение. Мы ищем разложение выражения (1+х)" по степеням х для любого целого и положительного значения п. Непосредственно . видно, что функция (1+ х)" должна быть целой рациональной функцией степени и, т. е. (1+х)" =аз+.а,х+ а,х + ... +а„х", (1) и дело только в том, чтобы определить коэффициенты аа. Положим х= О: тогда сразу получаем а„=1. Если продифференцнруем обе части тождества (1) по х один, два, три раза и т. д., то получим тождества: и(1+ х)" =а, + 2а,х+ ... + па„х" п(а — 1)(!+х)" =2аз+3 2азх+ ...
+п(а — 1)а„х" Так как эти равенства справедливы для любого значения х, то можно опять подставить в каждое из них х = О, и. таким образом, для коэффициентов а,, а,, аа, ... получатся одно за другим выражения: п(п — '1) п(п — 1) (п — 2) а,=п, аз=, аа= 1 2 ' 1 ° 2 ° 3 и (и — 1) (л — 2) ..
(и — П + 1) 1 и ) пав П! Таким образом, окончательно находим разложение бинома в зиле (1+ )"=1+ +( ) '+ ... +(„)х + ... +х", 2. Последовательное дифференцирование. Правило Лейбница. В связи с втим предоставляем читателю в качестве упражнения до- дополнзния к гллвя гн казать, что многократное дифференцирование произведения можно' производить по следующей формуле (правило Лейбница): или Доказательство провести методом полной индукции. Не так нагляден закон образования производнык высшего порядка от сложной функции у=у [гр(х)].
Согласно правилам дифференцирования предыдущей главы (правила дифференцирования произведения и сложной функции), имеем: 'лу л/ лч — = — — =Уф вх ае лх — „'' ' =["'з" + З[ р'ф" +['ф". 3. Дальнейшие примеры применения правила цепочки. Обобщенная теорема о среднем значении.
Производную от функцик х» вычисляют, полагая хх=е"""; применяя правило цепочки, находим — хх=х" (1п х+ 1). лх Совершенно таким же путем получается производная более общего выражения у(х)я =ел в виде — [г (х)]яьп=[г (х)]коз(б'(х)1п г (х)+б(х) — 1. В качестве дальнейшего примера применения этого правила приведем доказательство обобщенной теоремы о среднем значении дифференциального исчисления (теоремы Коши, стр.
162), причем она получится теперь при менее ограничительных условиях, Пусть функция 0(х) и непрерывна и монотонна в замкнутом интервале а~(х4.Ь и дифференцируема в открытом интервале а(х ч д, причем производная 0'(х) нигде не обращается там в нуль, и пусть функция тт(х) тоже непрерывна и дифференцируема в той же области, Введем в Р(х) с помопаью обратной функции х=Ф(и) от 0(х) (вместо х) 230 гл. ин диоевгвицияовлиив и иитпгяияовлиив независимую переменную и, т. е.
рассмотрим сложную функцию у'(и) = Р (Ф(и)); тогда, по правилу дифференцирования сложной функции, ~'(и) = Р'(х) Ф'(и) = —,. Применяя обыкновенную теор'(х) ' рему о среднем значении к функции у (и) в интервале ме!кду и, = 0(а) и нз — — 6(Ь), получаем для некоторого промежуточного значения ш (в') у(и') =у'(ш) (а -ш(Ь) из — и, или Р (6) — Р (а) Р' ($) П(6) — П(а) 6'(!) ' где с=Ф(ю) есть промежуточное значение между а'и Ь. Упражнения 1.
Найти вторую производную от функции у (к (А (х))]. 2. Дифференцировать слелующие функции: «) „в!э». 6) (сочх)га». в) !й „!!и(х)1, т. е. логарифм абсолютной величинм функции и(х) по основанию э(х); о(х) ) О. 3. Найти производную порядка и от функций: а) х ее»; б) (!пх); в) з!ихз!п2х; г) соз вх э!п Лх; д) а» соз 2х; е) (! + х)' е», 4'. Найти и-ю производную от асса!пх при х=О, а затем л-ю производную от функции (агсз!их)' при х= О.
» б. Доказать, что )' Л(Л вЂ” 1) ! ! =л(л — 1) 2" 14/ э а СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ!П 68. Продифференцировать следующие функции; ) ага~»э!ьэ!и». 6)(х+2)а(1 хэ)г/з(ха+1)ЗР в) х'!дх 69. Каким условиям должны удовлетворять коэффициенты а, !1, а, 6, с для того, чтобы функция ах+ 6 г 'а ! 3 .Ь. имела всюду конечную производную, нигле не обращающуюся в нуль? 70. Построить график функции у = (х')» при х+ О, у (0) = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
