1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Представим себе, что, благодари каталитическому действию, тростниковый сахар превращается в инвертиро- ванный, н обозначим количество еще ие превращенного тростникового сахара аи в момент вреиенн у через и(!); тогда скорость реакции — < О, и, согласно ат закону действия масс, имеет место уравнение вида аи — = — 'яи, а! где а — положительная постоянная, зависящая от вещества. Из этого дифференциального закона получаем, согласно и' 1, интегральный закон, который дает нам прямо количество и(!) остающегося тростникового сахара как функцию времени: и (т) = ае Эта формула ясно показывает, каким образом химическая реакция асимптотически стремится к своему конечному состоянию и=О, т.
е. к полному превращению реагирующего вещества. !!остоянная а, очевидно, представляет количество вещества и,, которое имелось в момент ! =О. 6. Замыкание и размыкание электрического тона. В качестве последнего примера рассмотрим явление, которое происходит при замыкании (или $ азмыкании) постоянного электрического тока. Если )1 — сопротивление цепи, — внешняя электродвижущая сила, то сила тока у постепенно возрастает Е от начального значения О до конечного стационарного значения †. Мы должны, следовательно, рассматривать силу тока у как функцию времени й Ход изменения тока зависит от самоиндукции цепи; цепь характеризуется определенным постоянным числом у., коэффициентом самоиндукции, роль которого такова, что при всяком изменении силы тока н цепи появляется йу электродвижушая сила, равная й — н направленная противоположно внеша! ней зле ктролвижущей силе.
И а основании закона О м а, по которому в каждый момент произведение силы тока на сопротивление р авиа фактически действующей эле к тродвижущей силе, получаем с ледукецее уравнение: гу «у Е )с у )т = Š— й — или — = — — — I. ат а! Е Е Чтобы иметь возможность применить теорему и' 1, полагаем у(!) =у(!) —— Е Л' после чего уравнение примет вид у' (!) = — — у(т)! 1. 14» 212 ГЛ. П1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ Н Ю вЂ” сг следовательно,у(Г) =у(0)е .
Учитывая, что/(О) =О, имеем у(0) = — Е)К и для силы тока как функции времени получим выражение 1=У(Г)+ — = —., с1 — е Из него мы видим, как сила тока при замыкании асимптотически приближается к своему стационарному конечному значению Е(й. (Читателю рекомендуется найти самостоятельно закон убывания тока при размывании цепи, в которой течет постоянный ток.) Упражнения 1. Функция У(х) удовлетворяет уравнению у(х+у) = у(х) у'(у).
а) Если у(х) дифференцируема, то либо у(х) =О. либо у(х) =ее». б)* Если у(х) непрерывна, то либо у(х) =О, либо у(х) = ее». 2. Доказать, что если лифференцнруемая функция У(х) удовлетворяет уравнению у (ху) = у (х) + у' (у), то у'(х) = а1пх. 3. Находящееся в закрытом сосуде количество радик весит 1 г в момент !=О. К моменту времени г=!0 (лет) оно уменьшилось до 0,997 г. К какому времени количество радия уменьшится до 0,5 г2 4. Решить следующие дифференциальные уравнения: а) у'=а(у — Ы; б) у' — ау=а; в) у' — ау=зев»; г) у' — ау=ее". $ 8.
Гнперболнческне функции 1. Аналитическое определение. Во многих приложениях показательная функция встречается не отдельно, но в комбинациях вида 1 (е»+е-») или (е» е-») 2 2 Целесообразно ввести эти и подобные комбинации как отдельные функции; нх обозначают следующим образом: е» вЂ” е» зЛх=, сЛх= 2 2 е» е-» е»+е " (Лх= е», с1Лх= е»+е — » ' е» вЂ” е» н называют гиаерболическим синусом, гиперболическим косинусом, гиперболическим тангенсом и гиаерболическим кошангенсом').
Функции зЛх, сЛ х, 1Лх определены для всех значений х, между тем как для сйчх точку х=О необходимо исключить. Этими обо- ') Иногда удобно ввести функции зесп х= 1/сЬ х и созесв х =1/айх. 2!3 % З. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ тригонометрическими мы сейчас подробно значениями отмечают известную аналогию с функциями, и как раз эта аналогия, которую изучим. оправдывает особое рас- смотрение наших новых функций.
На рис. 68 — 70 представлены гра- фики гиперболических функций: знх и сйх на рис. 68, !Ех на рис. 69 и с1вх на рис. 70. Для сравнения на рис. 68 даны 1 пунктиром кривые у= — е и 2 у = — е, с помощью которых 1 2 можно тотчас же построить кри- вые у=а!г х и у= ейх. Мы видим. что сй х — четная функция, т. е. такая функция, которая не меняет своего значе- нии, когда заменяют х через — х, а з1гх — нечетная функция, т.
е. при замене х на — х пеняет знак (ср. стр. 34 — 35). Функция ег+е .г СЬх = 2 Рис. 63. Рвс. 69. х = О. а именно СЬО = 1. Между БЬх и с1гх имеет место основное соотношение: сйа х — зйах = 1, как вытекает из ее определения, принимает положительные значения при всех значениях х. Наименьшее значение она имеет пргь '214 Гл. и!. диФФеРенциРОВАние и интеГРиРОВАнив 1э что непосредственно следует из определения этих функций. Обозначим теперь независимую переменную через 1 (вместо х) и положим х=сЫ, у=зИ1; тогда получим хэ — уз= 1, т. е.
точка с координатами х = сИ 1, у = ВИ 1 движетси по равносторонней гиперболе хт — у' = 1, когда 1 пробегает все значения от — Оо до +Оо. При этом, согласно нашему определяющему урав- нению. х )~ 1. Легко убедиться У в том, что у пробегает вместе с1 зсе значения от — со до + со, ибо когда 1 неограниченно возрастает, то е' неограниченно возрастает, а е стремится к нулю. Поэтому мы можем теперь точнее сказать: параметрические уравнения х = сИ Г, у = ВЫ дают одну, а именно правую, ветвь нашей равносторонней гиперболы, когда 1 изменяется от — Оо до + ОО. 2. Теоремы сложения н формулы дифференцирования. Из определения наших функций вытекают указанные ниже формулы, которые носят название теорем сложения: сИ (а+ Ь) = сИ а сИ Ь+ ВИ а ЕИ Ь, ВИ (а+ Ь) = зИ а сИ Ь + сИ и ВИ Ь.
Локазательство получается сразу, если написать равенства еаеа+ е-ае-а еаеа — е ае И( +Ь)= +, И( +Ь)= и подставить в них е =сИа+ВИа, е а=сИ — ВИа, е =сИЬ+-ВИЬ, е а =сИЬ вЂ” ВИЬ. Из теорем сложения при Ь=а получается сИ2а=сИта+ВИаи, ВИ 2а = 2 зИ а сИ а, Аналогия этих формул с соответствующими тригонометрическими .формулами ясна. Различие только в знаке в теореме сложения для гиперболического косинуса.
Соответствующую аналогию мы получаем в формулах дифферен- ае» :цирования. Из наших определений на основании того, что — †. — е', их $ З. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 213 з! вытекают формулы дифференцирования: и 4 ! л йх ' их ' их сагх ' их зьг — сйх =з(гх, — з!!х =с!г х, — !(г х= —, — с!!гх = — —. 3. Обратные гиперболические функции. Гиперболические функции х = сЫ, у = з!г ! имеют обратные функции, которые обозначают так: ! = Агс1г х, ! = агап у. Так как апг — повсюду монотонно возрастающая функция от 1, то ее обратная функция однозначно определена для всех значений у, между тем обратная функция 1= Агс(г х, как видно с первого взгляда на график ейх (рис.
68, стр. 213), двузначна, ввиду того что данному значению х соответствует не только значение 1, но и значение — 1. Так как сЫ)~1, то функция АгсЬх определена только для значений х )~ 1. Эти обратные функции можно выразить с помощью логарифмической функции, рассматривая в уравнениях е'+ е — ' е' — а — ' х= 2 ' 2 у=— . которые служат определением спг и ап1, величину е =и как неизвестную и решая получающиеся квадратные уравнения для и: иг — 2хи+ 1 = 0 и иг — 2уи — 1 = О.
Из этих уравнений получаем и=е'=хЬ~lхг — 1 и и=а'=у+ у уг.+1. Так как и=е' всегда положительно, то во втором равенстве мы отбросили анак минус, а в первом равенстве надо сохранить оба знака. Переходя к логарифмам, имеем 1 = Агсй х =1п(х+ ухг — 1) = Ь1п(х+ ух~ — 1). 1 так как х — )г хг — 1 = — и х+ г' х' — 1 1=агапу=!Е(у+ у'уз+1). Аргумент х двузначной функции Агс!г х ограничен интервалом х )~ 1, а однозначная функция агз!!у определена для всех значений у. (Представляется целесообразным дать положительной ветви двузначной функции Атеях особое обозначение агсЬх (с малой буквы), так что" агс(гх=1п(х+)/х~ — 1), х) 1, и Агой х= ЬагсЬх, агсй х = ~ Агой х ~.1 Совершенно аналогично можно, конечно, определить обратные функции от гиперболических тангенса и котангенса.
Для этих функций. '216 ГЛ. 1Н. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ !1 которые обозначают аг!Л х и агс!Л х, без труда получаем (причем .независимая переменная везде обозначена через х) равенства агййх = — !и в интервале — 1 «. х 1, 1 1+х 2 1 — х 1 хх-Г-! агс!Лх= — !п — в интервалах х «.— 1, х) !. 2 х — 1 формулы дифференцирования обратных гиперболических функ- ций можно вывести либо пользуясь правилом дифференцирования об.ратных функций, либо исходя из выражений этих обратных функций через логарифм и применяя правило дифференцирования слож- нык функций (правило цепочки).
Вот д эти формулы, в которых аргумент обозначен везде через х: А1 1 — агсЛх = лх г' х' — 1 л 1 — агзЛ х = Лх Р"х +1 ' 1Г 1 — аг1Лх = ях 1 хг 1 — агс!Лх =— Ых ха ' Последние две формулы не противоречат друг другу, так как первая имеет место только в интервале — 1 «.х « 1, а вторая применима только при х «. — 1 и х>1. Рис.
т!. 4. Дальнейшие аналогии. Когда мы выше писали параметрические уравнения раваобочной гиперболы, мы там не указывали геометрического значения параметра Г. Теперь можно восполнить этот пробел и тем самым сделать аналогию между. тригонометрическими и гиперболическими функциями более полной. Если окружность, заданную уравнением ха+ уэ = 1, представить параметрическими уравнениями х=соз1, у=з!и!, то параметр 1 можно рассматривать как угол или как длину дуги этой единичной окружности; но можно также рассматривать ! как удвоенную площадь кругового сектора, соответствующего указанному углу, причем эту площадь надо считать положительной или отрицательной, смотря по тому, положителен или отрицателен угол сектора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
