1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Какой путь ведет в самое короткое время из точки А в точку В, если скорость по одну сторону от оси х равна с,, а по другую сторону равна е2? Ясно, что этот <кратчайшийъ путь должен состоять из Рис. 64. двух прямолинейных отрезков. которые смыкаются в некоторой точке Р оси х. При обозначениях рис. 64 длины отрезков РА и РВ равны соответственно 196 Гл. ц!. диФФеРенциРОВАние и интеГРиРОВАние как легко видеть из чертежа, эквивалентно условию 1 .
1 — 3!па — з!пб с, с> или з!па с, з!и 6 са Читателю предоставляется доказать самостоятельно, что существует только одна точка, удовлетворяющая этому условию, и что в этой точке действительно получается наименьшее значение. Физическое значение нашего примера и здесь получается из принципа оптики о кратчайшем времени распространения света. Луч света проходит между двумя точками тот путь, для которого требуется наименьшее время. Если с, и сз означают скорости света по обе стороны плоскости раздела двух оптических сред, то ход светового луча должен происходить согласно полученному результату; итзк, наш результат дает ликом преломления Снеллнуса. Упражнения 1.
Найти максимумы, минимумы и точки перегиба для следующих функций. Построить их графини и определить интервалы возрастания и убывания, а также интервалы постоянного направления выпуклости (вогнутости). 2х х> а) х' — Ох+2; б) хд(1 — х); в); г); д) з!и'л'. 1+х'' х'+1' 2. Определить максимумы, минимумы и точки перегиба функции х'+Зрх+ф Исследовать характер корней уравнения л>+Зря+4=0 1 З. Какая точна гиперболы у' — — л'= 1 ближе всего к точкел = О, у =3? 2 4. Лана точка Р (хм уь) в первой четверти прямоугольной системы каор= динат. Найти уравнение прямой, проходящей через точку Р таким образом, что длина ее отрезка между положительными полуосями координат будет наименыпей.
5. Статуя высотой 4 м стоит на колонне, высота которой 5,6 м. На каком расстоянии должен стать человек ростом (до уровня глаз) 1,6 м, чтобы видеть статую под наиболыиим углом) 6. В двух точках А н В, расстояние между которыми равно л, находятся источники света мощностью а и Ь соответственно. В какой точке прямой АВ освещенность наименьшаяу (Освещенность пропорциональна мощности источника света и обратно пропорциональна квадрату расстояния.) 7. Среди всех прямоугольников с заданной площадью найти: а) прямоугольник .с наименьшим периметром; б) прямоугольник с наименьшей диагональю.
Х у 6. В эллипс — + — =1 вписать прямоугольник наибольшей площади. а' Ь> 9. Ллины двух сторон треугольника равны а и Ь. Определить третью сторону так, чтобы площадь была наибольшей. 1О. Круг радиуса г разделен на два сегмента прямой д, проходящей на расстоянии Д от центра. В меныпнй из этих сегментов вписать прямоугольник наибольшей площади. 11. Среди вснх круговых цилиндров заданного объема найти тот, который имеет наименьшую полную поверхность. 1) 1 в. лОГАРиФмическАя и ИОкАЗАтельнАя Функции 197 12.
Дана пайабола У' = 2рх, Р > О, и точка Р(х„У,) внУтРи ее (Уг < 2Рхг). Найти кратчайший путь (состоящий из лвух прямолинейных отрезков), ве- (1 дущий от данкой точки Р к точке О параболы, а затем к фокусу Р ! — Р, О) !2 параболы. Показать, что угол РЦР делится нормалью параболы пополам и что прямая ()Р параллельна оси параболы. (Приицип параболического зеркала.) 13'.
Призма отклоняет луч сне~а, расположенный в плоскости, перпенг дикулярной к ребру призмы. Каков должен быть угол падения, чтобы отклонение было наимеиыпимг и 14. Дано и чисел аь а,, ..., аи. Определить х так, чтобы ч ', (аа — х)г а-1 имела наименьшее значение. 15. доказать, что если р > 1 и х > О, то хи — 1 ) р (х — 1), в!пх 2 я 16. Доказать неравенство 1)~ — )~ —, если О <х ( —. х я 2' 17.
доказать, что: а) !йх) х, О <х <и/2; б) сов х) 1 — хг/2. 1й'. Дано п положительных чисел аь а,, ..., аи. ОпРЕДелить наименьшее впачение функции а~+ ... +аи,+х и и )Ра,аг .. аи ,х при х > О. Пользуясь этим результатом, доказать методом математической индукции, что а, +а,+ ...
+аи а,аг .. аи( л Е 6. Логарифмическая и показательная функции Установленная нами связь между интегральным и дифференциальным исчислениями открывает простой и естественный путь к построению теории логарифмической и показательной функций. Хотя мы уже рассматривали зти функции, мы им теперь дадим новые определения и вновь разовьем их теорию, не пользуясь прежними определениями и выведенными из них результатами. Мы начнем с логарифмической функции, а затем получим показательную функцию как обратную лвгарифмической 1.
Определение логарифмической функции. Формула дифференцирования. Мы видели, что неопределенный интеграл от степенной функции хи при любом целом я опять приводит к степенной' функции. Единственное исключение представляет функция 1(х. которая не является производной ни от какой из рассмотренных до сих пор функций. Естественно поэтому предположить, что неопределенный интеграл от функции 1/х представляет новую функцию; следуя втой идее, займемся изучением функции У = 1 — =У" (х) (' ае 198 ГЛ, Н1.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ и Геометрически наша логарифмическая функция означает площадь, заштрихованную иа рис. 66. Она ограничена сверку равио- 1 бочиой гиперболой у = †, снизу — осью $, а слева и справа — прямыми 1 = 1 и а = х. Эту площадь надо считать положительной, если х < 1.
При х = 1 площадь исчезает Рис, 65. если х > 1, и отрицательной, и потому 1п1 =О, Из данного выше определений следует, что производная логарифмической функции выражается формулой Л1пх 1 йх х Специально подчеркиваем, что аргумент х всегда предполагается положительным; образовать логарифм нуля или отрицательных чисел мешает нам то обстоятельство, что подынтегральная функция при $ = О обращается в бесконечность.
Можно, конечно, если только взять за нижний предел отрицательное число, например — 1, написать интеграл с отрицательным верхним пределом х, т. е. рассматривать выражение — при х(О. й$ -1 Рассматривая интеграл как предел суммы или как площздь, мы видим, что при х ( Π— х 1х1 -1 1 1 при х » О. Назовем ее логарифмической функцией, короче — логарифмом х или, точнее, натуральным логарифмом х и обозначим ее символом у= !и х. Переменную интеграции мы обозначили через $, чтобы не смешивать ее с верхним пределом х. То, что мы в качестве нижнего предела взяли число 1, есть на первый взгляд произвольный, однако, как скоро обнаружится, целесообразный выбор.
В дальнейшем изложении выяснится само собой, что определенная здесь логарифмическая функция совпадает с логарифмом, определепгч ным ранее кэлементарным путем». Однако, подчеркнем это еще раз, результаты следующих ниже рассуждений не зависят от полученных ранее. 2! 1 е. логлиььмическля и поклзлтвльнля екнкции 199 Соответственно этому можно написать об!кую формулу неопределенного интегрирования в виде — =1п(х 1-(-С и'х х и общую формулу дифференцирования а!п1х ! 1 ах х' Логарифмическую функцию у = !п ) х ~ можно наглядно представить с помощью графика.
Этот графин, логарифмаческая кривая, Рве. 66. изображен на рис. бб. Как построить его, было показано на стр. 148 (рис. 47). 2. Теорема сложения. Определенная таким образом логарифмическая функция удовлетворяет следующему основному закону: 1п (аЬ) =1п а+!п Ь. Доказательство этой теоремы сложения получается очень просто с помощью формулы дифференцирования логарифмической функции, Положим е=!п(ах); дифференцируем, пользуясь правилом цепочки: гге 1 1 — = — а= —. ах ах х Но такова же проиаводная от 1пх.
Следовательно,,так как функции е и !их имеют тождественно равные производные, то они отличаются только постоянным слагаемым, так что я = !их+ с или 1п(ах)=1пх+с при всяком х > О. Для определения с положим х=1. Так как 1п1=0, получим отсюда 1па= с и 1п(ах) =1п х+1п а. Подставляя х = Ь, имеем окончательно 1п (аЬ) = !п а+ !п Ь, и теорема сложения доказана. 200 ГЛ. Н!. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 13 Положим ао т; тогда Ь = т/а, и мы имеем 1п Ь =!п т — !п а или 1п — =1п и — !па, и а т. е. получена формула для логарифма частного.
Из теоремы сложения логарифмической функции вытекает для произвольных положительных чисел а„аа, ..., а„равенство !п (а1аа ... а„) = 1п и, +! п аа+ ... + !п и„. Если, в частности, все числа а„ат, ..., а„равны одному и тому же числу а, то получаем ! п а" = и1п а. (') Аналогично получаем 1па.+ !и — = !В1 = О, 1 а следовательно, 1 1п — — !п а. а л Если положим, далее, у'а=а, то а=а" и !па=а!по, или л 1 1п ~Га = 1п а О' = — 1п а, Отсюда же, применяя формулу (л), получаем при целом и) О л и 1п а = 1п у'а =! и а '. л Равенство !п а' = г 1п а доказано, таким образом, для всех положительных рациональных зна- чений г. Оно, очевидно, верно и при г=О. При отрицательных рациональных значениях г эта формула тоже справедлива: если г ( О, то — г)0 и 1 1п а' = 1п — = — !п а-' = г 1п а, а -г 3.
Монотонность логарифмической функции. Совокупность ее значений. Логарифмическая функция 1пх, х)О, имеет производную 1/х, всюду ) О. Ясно, что функция у=!их возрастает с возрастанием х; следовательно, логарифм является монотонно возрастающей функцией при х ) О (см. стр. 34 и 118). Так как производная 1/х с возрастанием х убывает, то возрастание функции с возрастанием х все замедляется. Несмотря на зто, е! 5 6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ЬУНКЦИИ Ю! функция 1пх при неограниченном возрастании х не стремится к какому-то определенному пределу, а стремится к бесконечности, т. е., как бы ни было велико положительное число А, всегда можно указать такие значения х, что 1и х ) А.
Этот факт очень легко получается из теоремы сложения. Имеем 1п 2" = и1п 2. Так как 1и 2— положительное число, то прн х = 2" для достаточно большого значения а функция 1пх будет иметь сколь угодно большое значение. 1 Так как !и — = — а!и 2, то мы видим, что !пх, когда х, оста2е ваясь положительным, стремится к нулю, неограниченно возрастает в отрицательном направлении. Итак, резюмируя, можно сказать: Функция!пх — монотонная функция, которая принимает все значения от — со до + Оо, когда независимая переменная х пробегает континуум (непрерывное множество) положительных чисел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
