1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 45

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 45)

Мы теперь докажем аналогичное утверждение для гиперболических функций: у равнобочной гиперболы хз — уэ = ! параметр ! в ее параметрических уравнениях х = сЫ, у = ВЫ равен удвоенной площади «гиперболического сектора», заштрихованного на рис. 71. ,Для этого сделаем поворот осей координат на угол а — 45' и от- 217 % 8, ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ несем эту гиперболу к ее асимптотам, которые примем за новые оси координат 9, т) (рис. 71). Выполнив преобразование координат 1 1 х — ($+ т!), у = — ( — 9+ Ч) Р2 У2 или х — у = 1/ 2 9, х + у = 1/ 2 ° 2), получим уравнение нашей гиперболы относительно асимптот: $Ч = 1/2.

Из рис. 71 видно, что площадь гиперболического сектора АОР равна площади криволинейной трапеции АВОР; это вытекает из того,, что прямоугольные треугольники ОРС7 и ОАВ равновелики на основании урав- У .пения гиперболы 92) = 1!2. Вычисляем .тлуг 7 новые координаты точки А: $=1!')/2, 2) = 1Д~2; точки Р: ~ =(х — у)Д/2, 7 2) =(х+у)Я~2. Теперь для удвоенной площади гиперболического сектора, равной удвоенной г:и площади криволинейной трапеции АВАР, 7 ьг ' х получается следующее выражение: !«Фу!/!'2 3!К2 = 1и (х + у) = 1п (х й "р'х~ — 1) = = +) п (х + 1/ха — 1) = + агсЬ х Рис.

72. (знак плюс для у) О, знак минус для у(0). Что Атеях= +агсйх =1, вытекает из уравнения х=сИ1. Таким образом, геометрический смысл параметра 1 есть действительно площадь, именно удвоенная плогцадь гиперболического сектора. Это, кстати, отражено в обозначениях обратных гиперболических функций, где частица аг есть сокращение латинского (и английского) сдова «аге໠— площадь. В заключение заметим, что совершенно таким же образом, как тригонометрические функции изображают отрезками на единичной окружности, так и гиперболические функции можно наглядно представить (рис. 72) отрезками на единичной равнобочной гиперболе' ).

1) Таблицы гиперболических функций издавались неоднократно. Из них отметил«следующие: н а у а 8 ь 1, реп!8ге!иде та!е!и бег кге!8- ивд нурегье1- !Епннопеп, Вегнв, 1930; Е. Янке, Ф. Энде, Ф. Лещ, Специальные функции (формулы, графинц таблицы). Перевод с немецкого, «Наука», 1964; Н.

Н. Бронштейн н К. А. Сене пдяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, изд. 11, «Наука», 1967. Гл. Ие диФФеРенциРОВАние и интегРиРОВАние 21В Упражнения Настоятельно рекомендуем читателю формулы, которые он выведет в упр. 1 и, записать з таблицу формул: онн ие раз пригодятся в дальнейшем. Сходство с формулами тригонометрии поиожет нх запомнить,) 1. Вывести формулу зЬ а+«Ь Ь =2 «Ь — сЬ а+Ь а — Ь 2 Получить аналогичные формулы для зйа — зЬ6, сЬа+с!гЬ, сЬа — сЬЬ.

2. Выразить гь(ажь) через гь а и гь 6. Выразить с!ь (аш6) через сш а и сгь ь. Выразить сЬ 2«; 1) через сЬ а н ВЬ а; 2) через сЬ а; 3) через ВЬ а. Выразить зЬ'а/2 н сйг а/2 через сЬ а. 3. Дифференцировать слелующие функции: а) сЬ х+«Ьх; б) егь»ьмь»; в) !язЬ (х+сЬ'х); 2х г) агой х+агзЬ х; д) агзЬ («сЬ х); е) аг1Ь 4. Вычислить площадь, ограниченную цепной линией у = ейх, ордниатами х = а и х = Ь и осью абгцисс.

9 9. Порядок роста и порядок малости функций Разнообразные функции, с которыми мы встретились в этой главе, весьма существенно различаются между собой в смысле их поведения при больших значениях аргумента или, как говорят, по порядку их роста. Ввиду их важного значения мы здесь остановимся вкратце на этих вопросах, хотя они не имеют непосредственного отношения к понятию интеграла или производной. 1.

Понятие о порядке роста. Простейшие случаи. Когда переменная х возрастает неограниченно, то одновременно с ней возрастают неограниченно при а .Р О и функции х", 1п х, е, е" . Но .относительно характера этого возрастания можно сразу же установить существенные различия. Например, функция хз обращается в бесконечность более высокого порядка, нежели функция хг; мы .хотим этим сказать, что и частное хз/хг при неограниченном возрастании х тоже неограниченно возрастает. Подобным же образом говорят, что функция х« обращается в бесконечность более высокого порядка, нежели хэ, если а .Р р .Р О, и т. д.

Вообще, относительно двух функций г" (х) и б(х), абсолютные величины которых с возрастанием х неограниченно возрастают, говорят: функция г (х) обрав(Евшая в бесконечность более высокого порядка, чем функция д(х), если с возрастанием х частное ! — ~ неограниченно возрастает; говорят, что г" (х) обращается у (х) б (х) в бесквнечность более низкого порядка, чем д'(х), когда частное — ~ стремится к нулю, и, наконец, что обе функции обращаются у (х) я (х) в бесконечность того же порядка, если частное ~ — ~ с возрастау (х) б (х) а я. погядок госта и погядок малости еянкцин 21д пнем х стремится к пределу, отличному от нуля, или по крайней мере всегда остается между двумя положительными границами.

Так, например, функция аха+Ьха+с = у (х) при а Ф О будет того же порядка, что и функция х =-и(х), так как частное ~— а 1 У (х) 1 1 ах' -(- Вх' -1- с Г 1Л(х)! ~ ха имеет предел 1а~. Напротив, функция хз+х+ 1 обращается в бесконечность более высокого порядка, чем функция ха+ х + 1. Сумма двух функций у(х)+ ~р(х), из которых у (х) имеет более. высокий порядок роста, чем ф(х), имеет такой же порядок роста, как и )'(х). В самом деле ~ ( ) +~ ( ) 1 = 11 + ~(~) (, а поу(х) 1 1 у(х) следнее выражение с возрастанием х стремится, по условию, к пределу 1. Можно было бы пытаться измерять порядок роста функций по известной шкале, приписывая величине х порядок роста 1, а степени хя при положительном значении ц — порядок а. Тогда целая рациональная функция степени и имела бы, очевидно. порядок роста и; дробная рациональная функция, у которой степень числителя на И единиц больше степени знаменателя, имела бы порядок роста И.

2. Порядок роста показательной и логарифмической функций. Оказывается, однако, что попытка определить порядок роста любых функций с помощью описанной выше шкалы обречена на неудачу, Дело в том, что существуют функции, которые стремятся к бесконечности сильнее '), чем любая сколь угодно высокая степень хя от х; точно так же имеются функции, которые стремятся к бесконечности слабее' ) любой сколь угодно малой степени х. Эти функции, таким образом, совершенно нельзя включить в нашу шкалу. Не вдаваясь здесь в более подробную теорию порядка роста, докажем следующее предложение: Если а — произвольное число, большее 1, то отношение а"(х стремится с возрастанием х к бесконечности. Для доказательства построим функцию а» ф(х)=!п — =х1п а — 1пх; х очевидно, достаточно показать, что эта функция неограниченно возрастает, когда х стремится к +со. Рассмотрим для этого производную ф (х) = 1п а —— с 1 ') Это значит, что существуют функции, порядок роста которых больше.

порядка х" (прн х-ь+оо), как бы велик ии был показатель а ) О, и существуют функции, порядок роста которых меньше порядка ха, как бы малсь ни было а > О. (Прим. п»рвв.'~ 220 гл. нн дне ьвгвнцнговлннв н ннтвггигованнв !г и заметим, что при х)~с=2/!па она не менее положительного числа (1/2)! и а. Отсюда для х )» с получим ф (х) — ф (с) = ~ (р' (Ю) ~й )~ ~ —,! и а Ж = — ! и а, ,! 2 2 т. е. ~р (х) )~ ф (с) + — !п а, а выражение в правой части стремится с возрастанием х к бесконечности. Приведем еше другое доказательство этой важной теоремы.

Полагая )/а=1+Ус, имеем )га > 1 и Уг) О. Выберем такое число п, что и ~(х < я+1; можно считать х > 1, так что п)~ 1. Применяя неравенство (1), стр. 49, имеем ах (1 ! Л)х (1 ! Л)п 1 ! Л 3гх Рп+1 1'2п Р2п Ф' 2 откуда ах Л2 — ) — и, х 2 и, следовательно, а /х стремится к бесконечности, когда х — ьсо. Из доказанного положения вытекает еще гораздо больше, а именно: при любом положительном показателе и и при любом числе а ) 1 отношение а /х" стремится с возрастанием х к бесконечности, т. е. показательная функция стремится к бесконечности сильнее любой степени х, или: показательная функция а" при а> 1 имеет более высокий порядок роста, чем степенная функция х", иак бы велик ни был показатель и > О. Чтобы убедиться в этом, достаточно только показать, что корень степени а из выражения ах/хь, т. е.

ах/а,гхт ! ау х х а у ив где у=х/а, стремится к бесконечности при х-ьоо. Но это непо- средственно вытекает нз предыдущей теоремы, если применить ее к у = х/а вместо х. Подобным же образом можно доказать следующее положение. При 1и х любом положительном значении а отношение - стремится к нулю, хо когдахстремится к бесконечности, т. е. логарифм стремится слабее гс бесконечности, чем любая сколь угодно малая пологкительная степень аргумента х. Доказательство получается тотчас же, если положим 1п х = у;. тогда наше отношение примет вид — = —. где е =а; отсюда У У а еаУ аУ ' число а больше 1, и наше частное — стремится с возрастанием у У аг л) а к повадок поста и пояядок малости евнкцни 221 к нулю.

Так как у стремится к бесконечности одновременно с х, то наше утверждение тем самым доказано '). Опираясь на полученные результаты, можно, очевидно, построить функции, имеющие еще гораздо более высокий порядок роста, чем показательная функция, и другие функции, имеющие гораздо более низкий порядок роста, чем логарифмическая функция.

Например, функция е'" растет быстрее показательной функции, а функция !п 1п х растет иедленнее логарифма; можно, очевидно, подобные процессы итерации нагромождать как угодно один на другой и комбинировать между собой. 3. Общие замечания. Наши рассуждения обнаруживают, что принципиально невозможно отнести каждой функции определенное число как порядок ее роста таким образом, чтобы быстрее растущей функции соответствовало большее число. Например, если функция х имеет порядок 1, а функция х'+' — порядок роста 1+е, то функция х1и х должна была бы иметь порядок больший чем 1 и меньший чем 1+-е, как бы мало ии было положительное число е.

Характеристики

Список файлов книги