1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Показать, что зта функция непрерывна при х=О. Имеет ли эта функция максимумы, минимумы или точки перегиба! 71. Среди всех треугольников с заданным основанием и заданным периметром раввобедреиный треугольник имеет наибольшую площадь. 72. Среди всех треугольников с заданным основанием и заданным углом при вершине наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник.
СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ Н! 23! 73. Среди всех треугольников с данным основанием и данной площадью наибольший угол при вершине имеет равнобедренный треугольвик. 74". Среди всех треугольников заданной плошади наименьший периметр имеет равносторонний, 76*.
Среди всех треугольников с данным периметром наибольшую площадь нмеет равносторонний. 76'. Среди всех вписанных в окружность треугольников наибольшую площадь имеет равносторонний. 77. Лоназать следующие неравенства: а) ек> —, х>0; б) е»>1+!п(1+х), х>0; 1 1+х в) ек > 1+(1+х)1п(1+х), х > О. 78'. Пусть а, Ь вЂ” даа положительных числа, р и а — любые не равные нулю числа, р < а. Доказать, что [Оае+ (1 — О) ЬР[пл [Оае+ (1 — 8) Ьч[ при всех значениях О из интервала 0 < 8 < 1. (Это — неравенство Йенсена (Зепаеп), которое устанавливает, что «средр ьд иее взвешенное р-го порядка» (р!й роткег шеап) [Оа»+(1 — О) ьл[ двух положительных чисел а, Ь является возрастающей функцией от р.) 79.
Поназать, что в неравенстве предшествующего упражнения знак равенства имеет место в том и только в том случае, если а =Ь. Н» 80. Доназать, что !пп [Оал+ (1 — 8) ЬР[ Р =авЬ! р-»О 8!. Назовем средним взвешенным нулевого порядка чисел а, Ь выражение а~Ь~ в.
Показать, что неравенство Йенсена (упр, 78) приложимо и . к этому случаю и при а ~ Ь принимает следующий вид: а Ь' в ве [Оач+(1 — О) Ьч[ смотря по тому, будет ли а т:О. При а =1 авЬ! — в <Оа+(1 — О) Ь. 82. Лоназать неравенство авЬ' в < Оа+ (1 — О) Ь, где а > О, Ь > О, 0 < < О < 1, не прибегая к неравенству Йенсена, и показать, что анан равенства имеет место лишь при а = Ь. (Это неравенство устанавливает, что среднее геометрическое с весами О, 1 — О меньше соответствующего взвешенного среднего арифметического.) 83. Лана: в(х)-»оо при х-»со. Показать, что !пв(х) имеет более низкий порядок, а ев!") более высокий порядок роста, чем р(х). 84.
Зная, что порядок роста положительной функции У(х) при х-»оо выше, тот же самый или ниже порядка роста степени хм, доказать, что к у(С) ай имеет соответствующий порядок роста по отношению к стев пени х 85. Сравнить порядок роста интеграла ~ у (Г) а7 при х -» со по отное шению к у(х) для следующих функций у(х): е» к. Ук а) =; б) е"; в) хе; г) !пх. к». 232 ГЛ.
1Н. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 86. Доказать, что если функция Г(х) непрерывна и у(х) = [ у(т) ю, о то У(х) тождественно равна нулю. л — 1 (л — 1) хл — лхл — '+1 82 Доказать, что ~) ахл (х — 1)' А ! 88. Показать, что †„ „ е 1т = ил(х) е ', где и«(х) есть многочлен стек'!т к'Д пени а..Вывести рекуррентную формулу и„=хи«+и„. 89".
Вывести для мнегочлена ил(х) из предыдущего упражнения рекуррентную формулу и«к, =хил+лил применяя правило Лейбница для вычисления производной порядка а к функции — «!з= хе Р. к' к! йх ' 90'. Комбинируя рекуррентцые формулы нз упр. 88 н 89, вывести дифференциальное уравнение для ил(х): и'„'-[- хи„' — лил = О. 91. Найти многочлен ил(х) =х" +а,хл '+ ... +ал,х+ил, удовлетворяющий дифференциальному уравнению и„+ хи — лил = О. 92". Вывести для функций [многочленов Лежандра) гл Р«(х) = — — (х' — 1)л 2«а! ихл рекуррентные формулы: хк — 1 «(а+2) х ! л+2 ) «е! 2(л+!) «+ «+1 «+ 2 б) Р„„, = хР„+ (л + 1) Рл и дифференциальное уравнение в) — [(х — 1) Р„! — а (л+ 1) Р« = О. 93.
г!айти многочлен Р„(х) = „,, ха+и,хл '+ ... +ал,х+аю (2л) ! удовлетворяющий дифференциальному уравнению — [( ' — 1) Р„') —.(.+ 1) Р«=О. ах 94. Найти развернутое выражение многочлеиа Лежандра Рл (х) ,тл = — — (х' — 1)", пользуясь разложением (х' —,1)л по формуле бинома 2«л ! ах« Ньютона. СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ П1 233 95'.
Пусть Ли,»(х) =( )хи(1 — х)» ", и =О, 1...„р, Показать, что 1= ~~!', Л„, р(х), »=0 =У.— "Л„,,( ), — Л,р л=! ха = ~~~ — Ли, р (х), , ~(".) '=~(:) х» Л, (х), ГЛАВА !У ДАЛЬНЕЙШЕЕ ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ установив в предыдущей главе правила дифференцирования, мы в значительной мере справились с задачей дифференцирования заданных функций. Но как раз обратная задача.
задача интегрирования, оказывается почти всегда более важной, чем задача дифференцирования. Ввиду этого мы должны теперь ознакомиться с искусством интегрирования заданных функций. Результат, полученный с помощью наших правил дифференцирования, можно резюмировать следующим образом: всякая функция, выраженная с номогцью элементарных функций «в конечном виде» 1), может быть нродифференцирована, и ее производная является функцией, которая также выражается через элементарные функции в конечном виде.
Напротив, в проблеме интегрирования элементарных функций мы не встретились с вполне аналогичным фактом. Мы знаем, правда, что всякая влементарная функция и даже -любая непрерывная функция интегрируема, и мы даже проинтегрировали много элементарных функций, прямо или путем обращения формул дифференцирования, с помощью элементарных же функций, однако мы еше очень далеки от того, чтобы уметь решить в общем виде следующую.задачу: Дана функция г'(х), которая каким-нибудь образом выражена с помощью элементарных функций в конечном виде. Требуется найти выражение ее неопределенного интеграла г'(х)= ) у(х)ььх, и притом найти в том смысле, чтобы функция Р(х) тоже была выражена через элементарные функции в конечном виде. Более того, такая задача в общем даже неразрешима; интегрирование элементарной функции не всегда приводит опять к элементарной функции или,.
как говорят, не всегда «вынолняется элементарно». Однако, несмотря на это, чрезвычайно важно уметь действительно выполнять такое интегрирование там, где оно возможно, и 1) Под этим мы разумеем функцию, которая может быть образована из элементарных функций х«, е», з!пх путем повторного примеяения (в конечном числе) процессов составления сложных функций, рациоиальнык операций и построений обратных функций. Следует при атом подчеркнуть, что само разделение функций иа «элементарные» и иезлементарные есть нечто весьма произвольное. % Ь ТАБЛИЦА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ вообце приобрести известные технические навыки в интегрировании заданных функциЯ.
Первая часть этой главы и будет посвящена изложению приемов такого интегрирования. При этом я хотел бы определенно предостеречь начинающего от попытки выучить наизусть то множество формул, которое получается при применении этих технических приемов. Нужно стремиться исключительно к тому, чтобы понять и научиться применять А1етодм интегрирования. Кроме того, не следует забывать, что даже в том случае, когда интегрирование с помощью этих приемов невозможно, интеграл все же существует (по крайней мере для всех непрерывных функций) и его можно фактически вычислить с любой желательной степенью точности с помощью численных методов, которые будут изложены позднее (гл.
НП, стр. 403). В конце главы мы займемся некоторыми вопросами более принципиального характера для углубления и расширения наших понятий интегрирования и интеграла (независимо от вопроса о технике интегрирования). ф 1. Таблица элементарных интегралов Прежде всего еще раз напомним, что каждой из ранее доказанных формул дифференцирования соответствует равносильная ей формула интегрирования. Так как эти элементарные. интегралы то и дело встречаются при интегрировании, то мы сведем их в таблицу.
В каждой строке этой таблицы справа стоит элементарная функция. слева — ее производная. Если читать эту таблицу слева направо, то для функции, стоящей слева, найдем в правом столбце ее неопределенный интеграл (см. таблицу на стр. 236). При пользовании таблицей полезно помнить основные теоремы дифференциального и интегрального исчисления, особенно тот факт, что определенный интеграл получается из любой первообразной гч(х) с помощью формулы ~ у'(х) г(х = Р (х) !, = г" (Ь) — Р (а). а Наконец, для овладения техникой интегрирования необходимо помнить элементарные правила интегрироваяия, изложенные в гл.
П. й 1, и'3. В ближайших параграфах мы попытаемся тем или иным путем привести интегрирование заданных функциЯ к элементарным интегралам, собранным в таблице. Если отвлечься от искусственных приемов. которые начинающий не может, конечно, систематически изучить и которыми овладевают лишь в результате более долгой практики. такое приведение в основном всегда базируется на двух методах. ц э г. метОд 3Амены пеРеменнОЙ (метод пОдстАБОВки) Р3т Каждый из них позволяет различными способами преобразовать данный интеграл, и цель таких преобразований — привести данную задачу интегрирования, сразу или целым рядом шагов, к одной или нескольким из указанных элементарных формул интегрирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
