1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Полученную формулу (В) можно доказать методом полной индукции; еще проще проверить ее дифференцированием. Словесно формулу (В) можно выразить в виде следующего правила: 1) Интеграл от произведения двух функций равен сумме проинтегрированной, т. е. готовой, части, состоящей из л членов, и добавочного интеграла. Знаки всех членов чередуются, начиная со знака плюс. 2) Первый член равен произведению одного из сомножителей подынтегральной функции на интеграл (первообразную) от другого множителя.
3) Каждый следующий член проинтегрированной части тоже является произведением двух множителей и получается из предшествующего ему члена по одному и тому же правилу: множитель, полученный интегрированием, еще раз интегрируют, а другой множитель дифференцируют. Ие следует забывать поставить перед каждыч полученным членом полагающийся знак (плюс или минус) согласно пункту 1). 4) Подынтегральная функция добавочного интеграла получается из последнего члена проинтегрнрованной части так: множитель, полученный интегрированием, переписывают без изменения, другой иножитель дифференцируют. Перед интеграл ч ставит надлежащий знак согласно пункту 1) (чередованне знаков' 257 зе ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ Таким образом, из двух сомножителей подынтегральной функции один, мы его обозначили через 7" (х), приходится последовательно дифференцировать и раз, другой, тр(х),— последовательно интегрировать и раз.
Если добавочный интеграл легко вычисляется, то интегрирование будет успешно завершено. В применении к определенному интегралу обобщенная формула интегрирования произведения ииеет следующий вид: ь У(х)ф(х)а)х=),) (х)))))(х) — у (х))))2(х)+у (х))р3(Х) — +... + а ь +( — 1)" 7'" '(х)т!)а(х)],+( — 1)" ) у'" (х)ф„(х)а)х. а ак еак Пример 1.
еаксозЬх а)х= — сов Ьх — —,( — Ь яп Ьх)+ а ат е!х) У ге) Г + ~ —,( — Ьесоздх)е(х. После того, как был написан второй член, ат стало ясно, что если на нем закончить готовую часть, то добавочный интеграл воспроизведет искомый, но с коэффициентом, отличным от единицы; так оно и получилось. Перенесем последний интеграл в левую часть, и мы получим одну из первообразных: "0" Ь2'1 Г Еах 1+ — ат( ~ еа"создхг(х= —,(а созЬх+ЬЗ1пЬх), откуда Еах е'ксоздх)1х=,, (а создх+ЬзтЬХ)+С. а)+ Ьт Так же точно вычисляется ~ е'кз|пЬхах. Пример 2. ~ с))ах з!Пдха)х= — япЬх —, ЬсозЬх+ з!) ах сп ах а ан Ч!к) у!х) + ~ †, ( — д з!п Ьх) а)х. И здесь потребовалась готовая часть из Г ниах двух членов. т.
е. и=2. Решая полученное уравнение относительно искомого интеграла, получим = +' 1 сйахз!пдхт(х=, Ь, (азйахяпЬх — Ьс))ахсоздх)+С. а'+ Ь' Читателю предоставляется вычислить самостоятельно интегралц сйахсоздха)х, ~ з))ахз!Вдхь(х и ~ зйахсоздха)х. Этим же метолом можно также найти ~ созахсоздха)х, ~ созахяпдхс)х и 17 Р. Курант 2бй ГЛ, РЛ ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО НСЧИСЛЕНИЯ 1з з1пахз1пдх~1х, но эти три интеграла лучше вычислять другим путем (см. стр. 246). Все интегралы, перечисленные в примерах 1 и 2, любопытны еще тем, что при их вычислении безразлично, какой из двух множителей последовательно дифференцировать и какой интегрировать, — успех обеспечен при любом выборе у(х) и <р(х). Применение обобщенного правила интегрирования произведения особенно выгодно при вычислении интеграла ) Р„(х)~р(х)Их, где Р„(х) — целый многочлен любой степени и, а множитель ф(х) таков, что его легко интегрировать последовательно а+ 1 раз.
В таком случае выписываем готовую часть из (а + 1)-го члена, причем Р„(х) дифференцируем е раз. В последнем, (а+ 1)-м члене многочленный множитель Р2'~(х) сведется к постоянной. Дополнительный интегральный член ) Р), 1(х)~р,+1(х)Г(х= ~ 0 с~х = С, т.
е. даст лишь постоянную интегрирования. Таким образом, обобщенное правило даст возможность сразу выписать результат интегрирования для всех интегралов вида ~ Р„ (х) )С )~~р(х)Их, где Р„(х) — целый многочлен степени а, а ф(х) — одна из следующих шести функций: , с (Ьх+Ь), з)п» .+Ь), с)г(Ь +Ь), зп(йх+Ь), (Ьх+Ь)ч, причем (в последней функции) а — любое действительное число, кроме а= — и, где Гл — целое положительное число, меньшее степени и многочлена. Случай а= — т исключается не потому, что правило к нему неприменимо, а лишь потому, что при Гр(х) = = (Ьх+ Ь) (т — целое, О ( лг ( л) получается ф,=(дх+д) ° сопз1, Гр (х)= „сопз1 -1 1и ~ Лх+ Ь 1 и последующие интеграции уже затруднительны. Впрочем, в этом исключительном случае интеграл проще всего взять заменой перелг менной: Ьх+Ь 1.
Г(х = —. Тогда Р„(х)(йх+Ь) Их= ~ Г Рч~,» ) ЛГ Раскрыв многочлен в числителе и поделив его почленно на Г~, получим под знаком интеграла сумму степеней вида а~/, где ю' пробе- 1 гает целые значения, начиная с 1=в — ш ) 9, через нуль, до 1= — лг< О. Степени же интегрируются сразу по формуле 1 таблицы интегралов.
З ь ннтигвнвованив пвонзввдення 259 в! ак П р имер 1. )(хз — Зх.+ 1) а-" с!х = (хз — Зх+ 1) —— !па а" ак — (2х — 3) — + 2 — + С. (!п п)в (!п а)' езх Пример 2. ~Рв(х)еа" игх=Р„(х)— вх Р (х) — + +( — 1) Р (х) — +С = — „'„, [йпР„(х) — й" Р„(х)+... +( — 1)" Р„"'(х)1+С. Пример 3. ((хв — 2хв+Зх — 1)соз2хв(х= в!п 2х 3 сов 2х ! 4 ) =(х' — 2хз+ Зх — 1) — — (Зх — 4х+ 3) ! — — ) + = — (2хв — 4хз+ Зх) (- -У вЂ” 3-Х- (бхз — Зх+ 3) + С.
4 Пример 4. ) х'з!пахе(х получает различные выражения в зависимости от того, четно или нечетно целое число в, (Последний член содержит соз ах при нечетном п и в!п ах при четном и.) Однако можно получить одно выражение, пригодное для обоих случаев, если заметить, что в!п( ах+ Ь вЂ” — ) з!п(ах-(-А)с(х= сов(ах+Ь) ( С 2 Тогда в!п (ах —— в[п1ах — 2 х" з!п ах !!х = х" а ав в!п (ах — 3 — ) +.а(л — 1) х, — -+...
+ Мп(ах — л ) +( — 1)" л(л — 1) ... 3 ° 2х и + в!и ~ак — (и+1) — 'е 1 +( — 1)" п(и — 1)... 2 ° 1 „, +С. 17' 260 ГЛ. !Ч. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Пример 5. ~(хз+х — З)в(т 2ха!х=(хт+х — 3) — '' '"— 2 вв 2х сй 2х, си 2х — (2х+ 1) +2 ° +С = — (2хз+ 2х — 5)— 4 8 4 — 4 ("+1)+С. вн 2х Пример 6, Вычислить ~ (х' — аз)" а!х, где л — целое поло- -а жнтельное число. (х' — а')" с(х = ~ (х — а)а(х+а)" а!х = — а — а , (х+ а)" ~! а-1 (х+ а)" е +1 "'" "' ( +1)( +2) +" + а) ат1 +( ) (и+ !) (и+2)... (2п+1) ~ ( — 1)" (л!) (2а)~а+! (2л+1)! П р и л! е р 7. ~ (хз+ хз — Зх+ 1) ргах+ Ь т(х = (х'+х' — Зх+1)( — ', Ь) лгух= =(х +хе — Зх+ 1) — (Зхз.+ 2х — 3) (ах+ Ь)з~ 2 (ах + Ь) "Я .
2т За 3 5а' +(бх+2) (ах+Ь) ° 2 6 (ах+Ь) 2 +С. 35 ° уа' 357 ° 9а' У п р а нт н е н и я Вычислить следующие интегралы: 1. ~ (х' — хз+ 4х — 3) с!ьЗх Лх. 2, 3. ~ (х' — 5х'+4) сов'(ах+ Ь) ах. 4. о. ~ (х' — х) в!п(ах'+Ь) ах. (Указание; дящую подстановку.) (Зх'+ х — 2) з!п'(Зх+ 1) ах. (х'+х — 6) з!1т (ах+ Ь) ах. сделать предварительно подхо- При х =- — а все 'члены обращаются в нуль. При х = а не обращается в нуль только последний член. Следовательно, а (2а)за+' (л + 1) (л + 2) ... (2п + 1) 5! 5 ь интеГРиРОВАние пРОизВедения 8. Вычислить ~ (ах+а)л!(ах+6)" дх, где л! к л — целые положительные числа, двумя способами. Г х' — 7х+! Г 1. ) 5 лх.
8, ) х5$' (4х — !)' Пх.ч $' 2х+1 6. Рекуррентные формулы. Во многих случаях подынтегральная функция вависит не только от аргумента (переменной интеграции), но и от целочисленного индекса и, причем методом интегрирования произведения удается привести интеграл к интегралу такой же формы. но с меньшим значением индекса; продолжая понижать таким путем индекс, после некоторого числа таких шагов приходят к интегралу, который можно найти с помощью нашей таблицы интегралов.
Такой метод вычисления называют рекуррепглнмм мел!одел! (методом приведении), Разъясним этот метод на нескольких примерах. Повторным применением интегрирования произведения (интегрирования по частяи) можно вычислить тригонометрические интеграль! соз" хдх, ~ 5!п" хдх, ( 5!Ежхсоз" хг(х, если гл и п — целые положительные числа. Например! соз" хп1Х= ~ соз"-'х сов х дх = = созл 'х 5!их+(л — 1) ) соз" Зх 5!пт х1!х = =воз" 'хяпх+(л — 1) ) соз" ах 5(х — (п — 1) ~ соз" хг(х, и отсюда получаем рекуррентную формулу л-! л — 1 Г соз" х дх = — сов"-' х 5!п х+ — ~ соз"-'х дх. П П Эта формула дает возможность уменьшать показатель степени в подынтегральной функции каждый раз на две единицы до тек пор, пока мы наконец не придем к интегралу со5хдх=5!пх+С или ~ г(х =х+С, смотря по тому, является ли п числом нечетным или четным.
Таким же путем получаются аналогичные рекуррентные формулы л — 1 л †! ! 5!П' Х 5(Х = — — 5!П"-'Х СОЗ Х+ Р!Пл-ЕХ Г(Х, л П 51п хс05 х и — 1 51П Х Соз Х Г(Х вЂ” + 1 51ПП' Х С05" ~ХС(Х, т+л 1Л+Л,~ 262 ГЛ. Ш. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ !6 В частности, эти формулы позволяют вычислить интегралы 1 з!пах 2х = — (х — яп х соз х)+ С 2 совах ах= — (х+з!пхсозх)+С, 1 2 которые получены уже раньше другим методом (стр. 245). Едва ли нужно упоминать о том, что аналогичные интегралы для гиперболических функций вычисляются таким же путем, Следующие преобразования интегралов представляют собой еще ряд рекуррентных формул: ~ (!их) с!х=х(!их) — т ~ (!пх) г(х, х'"е г!х=хаек т ~ ха-'е ~Гх, хмз!пхг(х= — х" созх+т ~ ха-'созхИх, х созха'х х япх — т ~ ха-'з!пхИх, х (!пх) т ~ а а-1 х "'(!пх)"' х'(!их)'"ах= (и») — — ! ха(!п х) |а!х (а+ — 1).
"Интегралы ~ х'"е»Фх, ~ х з!пхс(х, ) х" опахалах, как мы уже знаем, можно написать сразу по обобщенному правилу интегрирования произведения из п' 5, и рекуррентные формулы для этих интегралов даны лишь как легкие примеры для упражнения. Остальные интегралы, для которых выведены здесь рекуррентные формулы, невозможно вычислить с помощью обобщенного правила нз и' 5. Иногда обобщенное правило интегрирования произведения помогает выводу рекуррентной формулы, как показывает пример интеграла Ул = ~ еа з!и" хс(х.
Выпишем готовую часть из двух членов: Еа» , „ Еа» ! = елка!и"хг(х= — з!и" х — — пяпл-'хсозх+ л а а' аак +) —, (п(п — 1)зп1" т х совах — и яп" ' х япх] г!х. Подставим в последнем интеграле совах=1 — з!Лтх; после несложного преобразования получим Еак еа'з!п" хНх = — з!п"-'х (а з!их — псов х)+ а~ + п(п — 1) Г еа»З!пл-ах!!Х вЂ” — ~ еа»з!Ел» г!х и' Г ал ал „~ 4 е интеГРКРОВАние пРОизВедения 233 Выразив искомый интеграл из полученного уравнения, придем к следующей рекуррентной формуле: = '+ Еак еакз!пах!ах=,, з!Еп 'х(аз!Ех — л соя х)+ л'+ лп л1л — 1) ! + ~ еакз!Еп-зх!Гх.
лп+ л' 1 л — 1 5!П ХПХ =л — —. 3!Пп — ХСОЗХ.+ ) 5!Пп- Х 6~Х л л примем за пределы интегрирования 0 и и!2; тогда получим л!2 лга з!па хе!х= — ~ з!Еп тх!Гх при л) 1. о о Применяем теперь эту же рекуррентную формулу к интегралу в правой части Н продолжаем этот процесс далее; тогда получаем, рассматривая отдельно случаи л= 2гл и л= 2!к+1, л!2 л!2 2т — 1 2п2 — 3 3 1 !' з!и' х!гх= — —...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
