1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 55
Текст из файла (страница 55)
79. На ием изображена окружность из+о' = 1 в плоскости и, е. Обозначая отмеченный на рисунке угол РОГ через х, имеем и = саз х, о = з1п х. Угол треугольника 05Р, вершина 5 которого находится в точке и= — 1, о= О, равен х/2, и иа рис. 79 сразу видим геометрих ческое значение параметра т = 1е — = О!с 2 когда точка Р, начиная от точки о, пробегает один раз в положительном направлении окружность, т. е, когда х пробегает интервал от — н до + и, величина т принимает по одному разу все значения от — оо до + со. Совершенно аналогично можно прелставнть и гиперболические функции 1 1 си х= — (е."+е- ) и айх = — (е' — е-х) в виде рациональных функ- 2 2 ций некоторого параметра.
Наиболее естественным кажется положить е =т, тогда ейх= — ~т+ — ) и зйх= — ~т — — ), 1 1 1 1 т. е. действительно получаются рациональные выражения для зй х лх 1 и с1т х. И здесь — = — зависят рационально от т. Однако более л'т т полная аналогия с тригонометрическими функциями получается, если х ввести величину Г =1!т —; при этом, как легко доказать, получаются 2' формулы 1+И спх =— 12 ' з1з х =- 2т х Отсюда, как н раньше, путсзг дифференцирования 1=1!т — полу- 2 лх. чаем рациональное выражение для производной —: лс ' Лх 2 И здесь величина т имеет геометрическое знзчение, подобное ее значех нию у тригонометрических функций, что ясно видно нз рис.
80, 1= !в х 01Г. 276 ГЛ. НС ПОСТРОЕНИЕ ИНТГГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1$ $6. интеГРиРОВАние дРуГих клАссОВ Функции 277 1Это следует нз подобия треугольников БАР и ЯО1с х 2 2 2 елх АР Огс 01с 2 х, х спх+1 5А ЯО 1 Но, в то время квк для трнгонометрвчесяих функций Г должно пробегать.
весь интервал от — со до +со, для того чтобы получились все значении. Рис, 80. После этих предварительных замечаний переходим к нашей проблеме интегрирования. 2. Интегрирование рациональной функции от соз х и и!п х. Пусть )с(созхл з1пх) означает рациональное выражение относительно обеих функций з1пх и созх, т. е. выражение, составленное нз этих функций и постоянных с помощью рациональных операций, например: 3 Ывв Х + СОЗ Х тг ' ттятт' Х й 8 = 1в. —, то интеграл 2' Если применим замен> переменно Й (созх.
з!их)с1х перейдет в интеграл и под знаком интеграла находится теперь рациональная функция от 8. в1пх и совх, у гиперболических функций величина Г ограничена интер-. валом — 1 < г < 1. 2та ГЛ. Ич ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 13 . Тем самым задачз интегрирования нашего выражения принципиально решена. так как последний интеграл можно найти методами, указанными в прелыдущем параграфе. 3. Интегрирование рациональной функции от с!т х и а!г х.
Таким же образом, если )т(с!г х, з!т х) есть рациональное выражение относительно гиперболических функций айх и сйх, то его можно к проинтегрировать с помощью подстановки Г=!и —; принимая во зни- 2' мание, что и'х 2 2Ш а'х =— 1 — Р' ! Р получаем ~: :Гс(с!гх, зпх)Их=~ Гс(1,.
1 Г,) 1 Г, Ггг. Можно, впрочем, согласно сделанному выше замечанию, ввести просто т = е" в качестве новой независимой переменной н выразить сих н зпх через т. И здесь интегрирование приводится к интегрированию рациональной функции. 4. Интегрирование рациональной функции от х и у' ! — х'. Интеграл ~ ГГ(х, у'! — хт) Фх путем подстановки х = соз и, 1Г! — ха=япи, ГГх= — з!лиг!и приводим к типу, рассмотренному в и'2, затем уже от этого типа с помощью подстановки 1=1е'— переходим к интегралу от рациональной функции. Впрочем, приведение к интегралу от рациональной функции можно выполнить и сразу, а не в два приема, с помощью замены переменной / 1 — х 1 — Р,Г з 21 их Чт 1+А ' 1+Р ' " 1+Р ' ггг !1+Р)Г ' -/! — х и Это значит, что можно сразу ввести 1=1ГГ ! — 1д — в качестве 1+х новой переменной и получить интеграл от рациональной функции в один прием.
5. Интегрирование !Г(х, ргх' — 1). Интеграл ) й (х, у"х~ — 1)их переводится подстановкой х = си а в интеграл типа, рассмотренного в п' 3. И здесь можно прямо прийти к цели путем подстановки l х — 1 и г= 1/ „+1 =Гп 2. 6. Интегрирование !г (х, !Гхз+ 1). Интеграл ) й!х, ')l х'+ 1) Их путем замены переменной х=зйи также приводится к типу, рассмотренному в п'3, и, следовательно, интегрируется в элементарных Ь б. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРУГИХ КЛАССОВ ЕУНКЦИН 279 функциях; затем новой подстановкой е =т или гп — =Г он привоя и 2 дится к интегралу от рациональной функции.
Вместо этого можно получить интеграл от рациональной функции сразу с помощью замены переменной г=х+')/ха+1 или же Г= + ' . Из. х х = зп и и е" = т, вытекает и = агзй х =1и (х -+ )/хт -+ 1) и =е"=х+")/ха+-1. Из х=з(ги и 1(г — =Гзытекает(см. стр. 276) 2 2Г х= 1, и для Г получается уравнение Гтх+2à — х= О, один — \ + Ьсхс ~+ 1 из корней которого Г = + х 7. Интегрирование ег(х, )/аха+2Ьх+с). Интеграл ( Й (х, 1/ ахт+ 2Ьх+ с) с(х от выражения, которое рационально составлено из х и корня квадратного из произвольного трехчлена второй степени от х. можно непосредственно привести к одному из только что рассмотренных типов.
Мы пишем (ср. со сказанным на стр. 268) ахт+ 2Ьх+ с = — (ах.+ Ь)а + и вводим з случае, если ас — Ьа ) О, с помощью преобразования ах+ Ь вЂ” новую переменную $, причем наш квадратный корень Ь' ас — Ь' ас — Ь' примет вид — 1/ йа+ 1. Следовательно, интеграл с новой а переменной $ будет как раз рассмотренного з и'6 типа. При этом постоянная а должна быль положительной, для того чтобы корень вообще имел действительные значения. Если ас — Ьз=О, а ) О, то подынтегральная функция уже с самого начала рациональна относительно х, так как )/аха-+ 2Ьх+ с = =1/а (х-+ — ). +Ь Если, наконец, ас — Ьа(О, то полагаем с= и полу- )~ Ь' — ас / Ьс — ас чаем для корня выражение у — Яа — 1). Если а — число поло- а жительное, то интеграл тем самым приводится к типу, рассмотренному в и'5; если же а — число отрицательное, то пишем наш корень. Ьс — ас в виде 1/1 — За и видим, что получается интеграл типа, рассмотренного в и'4.
гл. 1к, ПОстРОениг. интегРАльного исчисления 1В 280 8. Дальнейшие примеры приведения к интегралам от рацио; нальных функций. Из других типов функций, интегрирование которых осуществляется с помощью приведения подынтегральной функции к рациональному виду, мы остановимся еще на двух. Во-первых, рассмотрим рациональные выражения Й(х, 1/ах+-Ь, 1/ ах+а) относительно двух различных квадратных корней из линейных "/ ах+а 1 функций, во-вторых, выражения вида Й ~х, в/ — ), причем а, У сх+л/ ' Ь, с и г/ — постоянные.
Вводя в первом случае в=1/сх+Н в ка— а'х 2Д честве новой независимой переменной, откуда х =— с 'гГьл с' получаем ~ Й(х, 1/ах+ Ь, ~~ сх+ Х) Их = = ~ гт~ —, 1// — '1а~~ — (аИ вЂ” Ьс)1 $) — сф, т. е. тип, рассмотренный в и'7. Во втором случае берем за новую независимую переменную вели- л /„х+Ь ЧИНУ $ = 1Еà — ; тОГДа = У сх+л' ах.+Ь вЂ” ЛДл+Ь лх ал — Ьс сх+ л' ' с"" — а ' ~Ц (сел — ар н мы приходим к формуле т. е. к интегралу от рациональной функции. 9.
Замечания по поводу примеров. Предыдущие рассуждения имеют преимущественно принципиальное, теоретическое значение. Действительное проведение вычислений при сложных выражениях было бы часто слишком громоздко. Чтобы добиться большей простоты, целесообразно поэтому, когда это возможно. использовать специальный характер интегрируемой функции. Например, при интегрировании вы- 1 ражения ...,, лучше, вместо рекомендованной ранее пода' в1пв х+ Ьв сов' х становки 1 = 1д —, ввести новую переменную 1=1п х, так кзк з1п х н х з 2' соз'х выражаются рационально уже через 1пх, и поэтому обращаться к более сложной подстановке 1=1д —, нет нужды.
Это же относится 2 ко всякому выражению, составленному рационально из з1пвх, соз'х Ь З. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРУГИХ КЛАССОВ ФУНКЦНП 281 т. е. полагаем Ь соз 0 = —. А' 5!П 0= —, а А' А г' а'+ Ьз, Интеграл переходит тогда в 1 ( ГГХ А ) э!п (х + О) * рассматривая х+О как новую переменную, находим (см. стр. 244), что значение интеграла равно — !п~ ! — ~. Упражнения ех 1+ з!и х л'х 1+ соз х ' гГХ 2+з!пх ' Ых 3+созх о 7. 1+сов'х 8. 3+з!пзх 9.
~ !дз Лх. 10. лх 5!их+сов х 1 1 ) В самом деле, з!пхсозх= — ып2х, конечно, рационально выражается через !Ех. и з!ихсозх'). Впрочем, при вычислении многих интегралов предпо- читают иметь дело не с рациональной, а с тригонометрической фор- мой, когда, отправляясь от нее, можно прийти к цели с помощью простого рекуррентного процесса. Например, вместо того чтобы прилг Г 'м водить к рациональному виду интеграл ) х (р 1 — ха~~ г!х, лучше путем подстановки х = з)п и представить его в виде ) з! и" и соз" +' и г!и, и тогда его легко проинтегрировать рекуррентным процессом, ука- эанным в $ 4 (или также переходя с помощью теорем сло:пения от степеней синуса и косинуса к синусам и косинусам кратных аргументов). Для вычисления интеграла пх (аз + Ь' > О) асозх+Ь з!пх лучше вместо того, чтобы пользоваться общей теорией, определить число А.
и угол 6 так, что а=Ажио, Ь Асозо, 282 ГЛ. 1Ч. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ф 7. Замечания относительно функций, не интегрирующихся в элементарных функциях 1. Определение функций с помощью интегралов. Эллиптические интегралы. Указанными примерами типов функций, интегрирование которых приводится к интегрированию рациональных функций, в основном исчерпывается область функций, интегрируемых в элементарных функциях. Попытки выразить через элементарные функции, например, общие интегралы следующего вида: ~ у' ае.+а1Х+ ...
+а„Хча1Х или всегда кончались неудачно; в Х1Х столетии удалось, наконец, доказать принципиальную невозможность выполнить эти интегрирования с помощью элементарных функций. Если бы, следовательно, целью интегрального исчисления являлось интегрирование в элементарных функциях, то мы быстро достигли бы границ этого искусства. Но такая ограниченная цель, действительно, не имеет никакого внутреннего оправдания; напротив, з ней есть нечто искусственное. Мы знаем, что интеграл от непрерывной функции существует и представляет з свою очередь непрерывную функцию верхнего предела, и этот факт не имеет ничего общего с возможностью выразить первообразную функцию через элементарные функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
