1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 53
Текст из файла (страница 53)
— — ~ !!х. 2т 2т — 2 ''' 4 2! о о л!2 лг2 2т 2 го — 2 4 2 з! и'" " х г!х =, — — з!и х!Гх; 2ж+! 2гл — 1 ''' 5 Зе о о следовательно, ЛГ2 2п2 — 1 з!Е2~ х л'х = 2м о л/2 з!пт" +' х !Гх = 2»п 2т+1 о 2т — 3 1 и В~ — 2''' 2 2' 2т — 2 2 2т — 1 ''' 3' С помощью этой формулы шаг за шагом можно понижать показатель при синусе каждый раз на 2, пока не придем при и четном к интегралу ~ е'»гГХ, а при л нечетном — к интегралу ~ ее»а!Ехг!х, который вычислен в и' 4, стр.
253. а 7. Формула Виллиса. Рекуррентная формула для ~ з!Еп х с!х приводит элементарным путем к замечательному выражению числа и в виде бесконечного произведения. Полагаем л) 1 и в формуле Отсюда делением получим лж мп х )/х л'/2 44 662т2то 2 ) ) ' ) ) ' ) ' ' ' )) — о)2 )- ) а!пол).ь) х )/х о Но отношение интегралов в правой части с возрастанием т стре- мится к 1, что вытекает из следующего рассуждения. В интервале 0 (х (и)/2 имеем 0(з!пот+!х (з!потх (з!Я2 -'х; следовательно, л/2 л)2 л/2 0 ( ) з!п'т+' х //х ( ~ з!по" х л)х ( ~ з!П2"' 'х Г/х.
о о о л/2 РаэдЕЛИВ Каждий ЧЛЕН ЭТИХ НЕраВЕНСтВ На ~ Ейнтт+'Х//Х И ЗаМЕ- о тив, что на основании доказанной в начале пункта формулы л/2 о з!Льл ) х)/х 2т+ 1 1 л/2 2т 1+ —, 2т О!Пот+) Х ох о находим л/2 З!Пот Х аХ о '(.; о!и'и+' х Лх о (1+ —, 1 а отсюда вытекает наше утверждение. Вследствие этого получается соотношение л .
2 2 4 4 6 6 2т 2т 2, ш 1 3 3 5 5 7 ''' 2т — 1 2т+!' Это выражение и//2 с помощью произведения, которым мы обязаны Валлису, благодаря наглядности закона образования представляет весьма замечательную связь между числом /т и целыми числами. Этому соотношению можно придать и различные другие формы. 2т Заметив, что !!ш, = 1, можем написать ты 2' 42 ...
(2т — 2)' и 32 52 ... (2т — 1)' 2 ' 264 ГЛ, !Ю ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ !7 $ Е ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 265 извлекаем квадратный корень. а затем умножаем числитель и знаме- натель на 2 ° 4... (2т — 2): 2 4...(2т — 2) к — . 2' 4'...(2т — 2)л.г— — = И~ . ''' 1/2т = 11щ ' ''' , ~/2 2' 4' ... (2т)' )' 2т (2т)! 2т Отсюда, наконец, получаем (т!)л 2лл' л— 11в — ' — = )г и . т-лакэ (2т)! М т Формулой Валдиса в этом виде нам еще придется впоследствии воспользоваться (см. Дополнение к гл. ЧП).
в8. Преобразование повторного (и-кратного) интеграла к виду обыкновенного (однократного) интеграла. В обобщенной формуле интегрирования произведения мы встретилнсь с серией повторных интегралов лр1 (х)=~ гр (х) 41Х, 1ра (х)=) гр1 (х) 4гх=~ 4(х ) ср (х) 44х, ... срл(Х) = ) 4рл;(Х) 44Х = ) 4УХ ~ 41Х ... ) ср(Х) 4(Х. ФаКтИЧЕСКИ л рал эта формула выражает обыкновенный интеграл ~ у(х)ср(х)44Х через повторные интегралы.
Возникает вопрос: нельзя лн повторный, л-кратный интеграл представить в виде обыкновенного, однократного интеграла (конечно, от другой функции)? Это предположение оправдывается. Прежде чем приступить к выводу соответствующей формулы, уточним, что под символом 441(х) мы будем понимать ту первообразную для Г(х), которая обращается в нуль при х=а, т.
е. к к 4'1 (х) = ~ г (х) Их = ) Г (1) 411, а а к к Р, (х) = ~ Р1 (Г) 4(Г = ~ 4(Г ~ р (Г) 14(, а а а л рлл Таким образом, г1(а)=га(а)=... =Г„(а)=О. Производные от этих интегралов равны л(Х) — 4'л 1 (Х), г л-1(Х) Гл-а(Х), °,, 4'2(Х) Р4 (Х), л 1(Х) — л (Х) и $5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ жч (6. Доказать формулу, преобразующую л-кратный интеграл в обыкиовенный, применяя обобщенное правило интегрирования произведения к ин- й Б. Интегрирование рациональных функций Самый важный общий класс функций, интегрирование которых всегда выполнимо с помощью элементарных функций, представляют рациональные функции Й(х)=— у (х) Р(х) ' где у(х) = омх'"+ а, 1хФ 1+...
+ аз, л (х)=Ь„х"-+Ьа-,х"-'+... +Ьз (Ьа-+О) — целые многочлены. Напомним, что всякая целая рациональная функция интегрируется сразу и приводит при этом снова к целой рациональной функции. Нам нужно поэтому сосредоточить внимание исключительно на дробных рациональных функциях, у которых знаменатель отличен от постоянной. Прн этом мы всегда имеем право предполагать, что степень т числителя у'(х) меньше степени п знаменателя и (х). Действительно, в противном случае можно разделить многочлен у (х) на д.(х), и остаток будет многочлен г(х), степень которого меньше и; другими словами, имеем тождество у (х) = А' (х) д (х) + г (х), где д(х) и г(х) тоже многочлены, причем степень г(х) меньше и.
Таким образом, интегрирование дроби — сводится к интегрированию у (х) Р (х) многочлена д(х) и «правильной дроби» вЂ” . (Дробная рациональг (х) я (х) пая функция называется правильной, если степень и числителя меньше степени л знаменателя. В противном случае она называется неправильной.! Заметим, далее, что такая дробная функция — может быть у (х) й (х) аахз представлена в виде суммы дробей вида " и поэтому достаточно Р (х), х" рассмотреть только интегралы от функций вида —.
Р (х) 1. Основные типы. Мы проведем сперва интегрирование не самых общих рациональных функций такого рода, а лишь таких, знаменатель которых н(х) особенно простого типа, а именно: А" (х) =х или д(х) = 1+ха, 268 ГЛ. !Ч. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 11 или более общего вида: Ь (х) =х", Е'(х) =(1+х')", где показатель н — любое целое положительное число. К этому случаю можно тотчас же привести интегрирование несколько более общего случая, когда д'(х) =(пх+Д)п представляет степень линейного выражения ах+р или когда Ьт(х)=(ахз+2Ьх+с)п есть степень определенного квадратичного выражения ').
В первом 1 случае мы вводим новую переменную $=их+б. Тогда х= — З вЂ”вЂ” а а 1 также является линейной функцией от з и дх = — с(й. Поэтому а числитель у'(х) переходит в многочлен гр(З) той же степени и Во втором случае пишем и(х)=ахз+2Ьх+с= — (ах+Ь) + — (Аз=ос — Ьз, А О); 1 з Аз а а при этом а+О и ас — Ьз должно быть положительным числом, ввиду того что наше квадратичное выражение, по условию, определенное.
Вводя новую переменную ах+ Ь А$ — Ь А д$ — х= !т'х = —, А ' а ' а мы тотчас же приходим к интегралу от рациональной дроби со знаАт г А! зп менателем — (1+аз) или 1Š— (1+Я] соответственно. а ( а Итак, чтобы проинтегрировать рациональные функции, знаменатель которых есть степень линейного выражения или степень определенного квадратичного выражения, достаточно уметь интегрировать следующие типы функцей: х2А хззе! (х! -1- 1)п ' (хз -1- Ип Ниже мы увидим, что вовсе не понадобится рассматривать эти типы в общем виде и что можно свести интегрирование всех рациональных функций к интегрированию функций этих типов для частного ') Квадратичное выражение (;! (х) = ах!+ 2Ьх+ с называется определенным, если при действительных значениях х оио может принимать значения только одного знака, т.
е. если уравнение О (х) = О ие имеет действительных корней. Для этого необходимо и достаточно, чтобы ос в Ь' было положительным числом. я! $5, ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИ!Ч 269 случая й= О. Поэтому мы сперва займезшя интегрированием следующих трех выражений: 1 хл ' 1 х (хг+1)л " (хг+ !)л 1 2.
Интегрирование основных типов. Функция первого типа — сразу п интегрируется н дзет прв и=1 функцию 1п !х!, а при л > 1 — функцию 1 ,, т. е. опять рациональную функцию. Функцию третьего типа (и — !) хл можно непосредственно интегрировать, если ввести новую переменную Е = х'+ 1; тогда ла = 2х г(х, и, следовательно, 1 х 1 Г г(й 2(л — 1)(х'+1)л-! + ) ~ ! — !п(х'+1) ( 2 при л> 1 при и=1 Наконец, для того чтобы найти интеграл г(х при любом л > 1, воспользуемся рекуррентным методом. Именно, пишем 1 (хг+1) — хг 1 хг (хг+ 1)п (хг+ 1)л (хг+ 1)л-! (А!+ 1)п ' откуда г(х ~ г(х хг лх ( .г+ !)л (,г ! 1)л-! (хг+ 1)л х г(х (хг+ 1)п х 1 ~ ггх 2(л — 1) (х'+1)л ! 2(л — 1) (хг+1)п ! 2л — 3 +— г(х лп= (хг+ 1)л 2 (л — 1) (хг+ 1)л 1 2 (л — 1) (хг+ 1)л Следовательно, нахождение интеграла /и приводятся к нахождению интеграла лп !.
сели л — 1 > 1, то применяем тот же прием к последнему второй внтеграл правой части преобразуем по правилу внтегрирования произведения. полагая у (х) = х, Ф (х) = Тогда (см. выше) 1 1 2 (и — 1)(х' + 1)» в результате получаем 270 ГЛ. !Ч. ПОСТРОЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 13 интегралу и продолжаем этот процесс до тех пор, пока не придем к выра- жению ~ — = асс!Ях. Таким образом, мы убеждаемся в том, что инйх х'+ 1 теграл 1л выражается с помощью рациональных функций и функции агс!я х '). Кстати, заметим, что интегрирование функции —. можно было бы (х5+ 1)л и! выполнить также с помощью подстановки х = !и й тогда йх = —, и соз ! 1 Т вЂ” — = со5' г, следовательно, йХ ~ тл ттй! 1'„, а последний интеграл мы уже научились вычислять в 6 4, п' 6, стр. 261.
3. Разложение дробной рациональной функции на элементар- ные дроби. Теперь мы уже в состоянии интегрировать рациональ- ные функции самого общего типа. 1(ело в том, что всякую дробную рациональную функцию (если она сама нс является правильной дробью) можно представить в виде суммы целого многочлена и правильной дроби (см. начало й б), всякую же правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы так называемых элементарных дробей или, как говорят, разложить на элементарные дроби.
Эле- ментарными называются такие дроби, у которых знаменатель — сте- пень линейной функции, а числитель — постоянная, либо знаменатель— степень определенного квадратичного трехчлена, а числитель — линей- ная функция. Все такие элементарные дроби мы уже умеем интегри- ровать, так как знаменатель можно привести к одному из частных видов хл или (х'+ 1)" (см. п* 1), и дробь окажется суммой основ- ных типов, проинтегрированных в п' 2.
Общее доказательство возможности такого разложения на элемен- тарные дроби относится к алгебре, и мы его здесь излагать не будем, Мы ограничимся тем, что разъясним содержание втой теоремы и покажем на примерах, как фактически выполнить разложение на элементарные дроби в каждом отдельном случае. На практике при- дется иметь дело только со сравнительно простыми функциями, так как в противном случае вычисления становятся слишком громоздкими. Каждый многочлен л'(х), как известно из элементарной алгебры, можно представить в виде й'(х) = а (х — а,)' (х — аз)й...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
