1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 56
Текст из файла (страница 56)
В сущности, элементарные функции отличаются только тем, что свойства их легко охватить и практическое применение их значительно облегчается удобными таблицами или тем, что ик, как, например, рациональные функции, можно просто вычислять'с произвольнои точностью. Ничто не мешает в случае, когда интеграл от некоторой функции не выражается с помощью известных нам функций, ввести этот интеграл как новую, «высшую» функцию, т. е., в сущности, только дать ему имя. Целесообразно ли введение такой новой функции или нет, 1" МП'Х+ СОЗ'Х Н. шп х1тх. 3 соз' х+ з1п' х 12.
1 Уха — 4 ах. 13. ~ У 4+ 9х' Ых. 14 (х — 2) 1/ ха — 4х + 3 15. ~ х Ух~.+4х ах. ах ' ~ У'х-1-~"~ — х' у уГ+..+у Г=х ' 3 У'1+ — У'~ —. ,1 1-1-Угх — а+1 а'х Г'х — а+у х — Ь 11 $7. ФУНКЦИИ, НЕ ИНТЕГРИРУЮШПЕСЯ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ гэз будет зависеть от того, какими свойствами эта функция обладает, часто ли она встречается и насколько легко она поддается теоретическому изучению или вычислению в сл1ысле нахождения числовых значений функции.
В этом смысле, следовательно, процесс интегрирования является принципом образования новых функций. В сущности, с этим принципом мы уже ознакомились при изучении элементарных функций. Так, в третьей главе мы должны были ввести неизвестный нам тогда интеграл от функции 11х в качестве новой функции, которую мы назвали логарифмом и свойства которой мы затем сумели легко установить. Совершенно аналогичным образом мы могли бы ввести и тригонометрические функции, опираясь исключительно на рациональные функции, процесс интегрирования и процесс построения обратной функции.
Для этого достаточно было бы только взять за исходный пункт одно из равенств: дг агсейп х = ~ уТ:7Г о У Г дг агой х = 1 1, нли и(У)= о ~( — ' (> — ~' 7 Обратная ей функция У(и) также играет важную роль. В частности, при й=О получаем и(У) =агсз1па или з(и)=з1пи. Функция з(и) при йФ О так же хорошо изучена и представлена в таблицах, как и элементарные функции. Но здесь мы уже выходим из рамок нашего курса в область так называемых эллиптических функций, которая составляе~ важную часть теории функций комплексной переменной, которой нам еще придется заниматься впоследствии. ') Мы яе будем здесь ааниматься проведением этой мысли.
Основной шаг заключается в доказательстве теоремы сложения для обратных функций, т. е для синуса н тангенса. в качестве определения функции агс1ях или агсз)их, чтобы затем путем обращения получить из них тригонометрические функции; этим путем мы освобождаем определение этих функций от геометрии, но налагаем, конечно, на себя обязанность вывести теперь все их свойства тоже независимо от геометрии, прямо из их определения с помощью интегралов '). Первым и самым важным примером, выводящим нас за пределы области элементарных функций, являются эллиптические интегралы.
Это такие интегралы, подынтегральная функция которых рационально выражается через переменную интеграции и корень квадратный из многочлена третьей или четвертой с~висни. Среди этих интегралов особенно важной оказывается функция 284 ГЛ. 1Ч. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО 1!СЧИСЛЕНИЯ 12 Здесь мы только заметим, что название «эллиптические интегралыв объясняется тем, что такого рода интегралы встречаются в задаче определения длины дуги эллипса !сл». гл.
!Г, стр. 332). Заметим, далее, что интегралы на первый взгляд совершенно иного вида приводятся с помои!ью простых подстановок к эллиптическим интегралам. Вапример, интеграл лх )г соз а — соз х х путем подстановки и = соз — переходит в интеграл 2 — Л)'2, а=в «гаг) соз гг 2 интеграл г)х )г соз 2х путем подстановки и= 21пх переход!и в ГТà — Ч (à — ~) наконец, интеграл г)х гт — т*'агат подстановкой и = 21пх превращается в (! — иг) (! — Лгиг) 2. Замечания по существу относительно дифференцирования н интегрированна. Сделаем еше одно общее замечание об отношении дифференцирования к интегрированию. Операция дифференцирования является более элементарной операцией, чем интегрирование, так как она не выводит нас за пределы ранее известных функций. С другой стороны, мы должны, однако, иметь в виду, что дифференцируемость произвольной непрерывной функции ни в коем случае не является чем-то само собой разумеющимся, а представляет собой весьма ограничивающее дополнительное условие.
Мы ведь видели, что существуют непрерывные функции, которые в отдельных точках недифференцируемы, и добавим без доказательства, что можно построить много примеров непрерывных функций, которые даже не имеют производной ни в одной точке '); первый примар такого рода был построен Вейерштрассом. !Таким образом, в содержании математического определения ') См. )г. К)егп, Е)ешеп!агшангегпа1!К чош Явйегеп 31апг)рипх! апз. Ш, стр.
39 и след., Вегйп, гп!!па 5рг!пяег, 1928. В В. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА 285 непрерывности кроется значительно меньше того, что на первый взгляд позволяет предполагать непосредственная интуиция.) В противоположность этому, интегрирование в общем случае, правда, уже невыполнимо в элементарных функциях, но зато мы всегда уверены в существовании интеграла от непрерывной функции. Итак, мы видим, что нельзя просто противопоставить друг другу дифференцирование и интегрирование, как более элементарную или менее элементарную операцию, но что в одном отношении одна из этих операций заслуживает названия более элементарной, в другом— вторая.
Что касается понятия интеграла, то мы в ближайшем параграфе увидим, что оно не связано даже с предположением непрерывности интегрируемой функции, а может быть распространено на широкие классы функций, имеющих разрывы. ф 8. Обобщение понятия интеграла.
Несобственные интегралы 1. Функции с конечными разрывамн. Прежде всего, мы непосредственно видим, что не встречается никаких затруднений в расширении понятия интеграла на тот случай, когда подынтегральная функция у (х) имеет конечный разрыв в одной или нескольких точках интервала л интегрирования. Тогда достаточно под интегралом функции понимать сумму интегралов, взятых по отдельным частичным интервалам, в которых функция остается непрерывной. При этом и геометрическое значение л' интеграла как площади остается в силе Рис. 81.
(рис. 81)'). 2. Функции с бесконечнымн разрывами. Иначе обстоит дело, когда функция обращается в бесконечность в какой-нибудь точке внутри интервала или на одном из его концов. Для того чтобы иметь возможность формулировать понятие интеграла в этом случае, мы должны прибегнуть еще к одному предельному переходу. Разъясним предварительно на нескольких примерах возможные здесь случаи. Дня этого рассмотрям интеграл ~' Их ') Собствевно, следовало бы обратить внвманве на то, что раньше, прн определения интеграла, мы рассматривали замкнутые интервалы н предполагали функцию непрерывной во всем замкнутом интервале.
Но зто обстоятельство не вызывает никаких затруднений, так как в каждом замкнутом частичном интервале мы можем дополнить функцию у(х) до непрерывной, принимая просто пределы функции, при неограниченном приближении изнутри к концам интервзла, за значения функции в этих конечных точках. 286 ГЛ, 1Ч.
ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ !г где а — положительное число. Подынтегральная функция 1/ха обоащается в бесконечность при х-ьО, поэтому мы ие можем взять за нижнии предел интеграции значение нуль. Но мы.можем исследовать, что подучится, если возьмем интеграл в пределах от положительного числа е, например, до 1 и затем заставим е стремиться к нулю. На основании элементарных правил интегрирования мы получаем, если оф!, 1 — = — (! — е ). ил ! а 1 Теперь мы непосредственно видим, что имеются следующие возможности. Во-первых, а > 1, тогда правая часть с убыванием е стремится к бесконеч- 1 ности. Во-вторых, а с 1, тогда правая часть стремится к —. Во втором 1 — а случае мы будем рассматривать этот предел, в порядке определения, просто как интеграл, взятый в пределак от О до 1.
В первом случае иы скажем, что этот интеграл не сходится. В третьем случае, когда а = 1, интеграл равен — !из и потему с убыванием е не стремится к конечному пределу, а возрастает неограниченно, т. е. интеграл, взятый от О до 1, ие сходится (ие существует). Этн выводы, очевидно, не изменятся, если взять за верхний предел любое постоянное число а > О, т. е. рассматривать интеграл а 1% е Другой пример того, что можно расширить промежуток интеграции вплоть до точки, в которой подынтегральная функция обращается в беско- 1 нечность, представляет функция .
Имеем ) 1 —.е' 1-е йх = агсе!п(1 — е). )с! — х' о Когда е стремится к нулю, правая часть стремится к определенному 1 пределу, именно к и/2, и этот предел обозначзют поэтому как Р 1 — ле хотя подынтегральная функция и обращается в со при х=1. Для того чтобы извлечь иэ этих примеров общее определение, прежде всего ааметим, что совершенно безразлично, лежит ли точка разрыва подынтегральной функции на верхнем или нижнем конце промежутка интеграции; в самом деле, можно поменять местами верхний и нижний пределы, если только изменить в то же время знак интеграла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
