1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 58
Текст из файла (страница 58)
стр. 87 и 84), стремление к нулю этого выражения при безгранич- $ В. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТ!!Я ИНТЕГРАЛА ном возрастании А н В равносильно существованию предела Вол при А — ьсо и, следовательно, сходимости интеграла Дирихле. Имеем Ач к в+я В+я ВА,= ~ — "" ( — ~ """ + ~ — ""' г; А в Алк в последнем из трех интегралов правой части лелаем замену переменной 1 = х.+ и, так что з!и 1 = — з|пх и Ж = г(х, откуда А .~- я вья в А в А Сложивши этот результат с первоначальным выражением для ВАВ, получаем В+в 2 — Г " ! Г а|я х ! а|ах х х ггх+-и ) Г а|их х (х+ и) и'х. А в А а|их Полагаем В > А > О; тогда, принимая во внимание, что ~ — '~ ( 1 1 ! а|ох ! 1 ( — ( — и ~ х А ~ х(х+к) ! х' ~ ( — при положительных значениях х, на основании теоремы д) стр.
155 имеем в 2к 1 их Г 1 1 ! 2к ~ 2ВАВ) ( — + ~ — = и( — — — )+— А,) хг (А В) А' Отсюда видно, что ВА — ьО, когда А и В стремятся к бесконеч- ности, а стало быть„существует конечный предел интеграла А 1 а|ох Вол —— ) — г|х, и тем самым доказана сходимость интеграла дих о риале. В Дополнениях к гл. !ГШ, $3 будет дано другое доказатель- ство сходимости несобственного интеграла ))ирихле, а позднее, на стр. 527, мы покажем, что он равен и/2. 6. Замена переменной в несобственном интеграле.
Очевидно, что все правила относительно замены переменной и т. д. сохраняют силу и для сходящихся несобственных интегралов. Например, для вычисления интеграла ) хе- 'г(х вводим новую переменную ха = и, о г(и причем хс(х= —, а стало быть, 2 хе — 'с|х = —,а! е "пи = 1|ш — (1 — е А)= —. о о 294 Гл. Ил йостРОение интегРАльного исчисления 14 Другой пример применения преобразования переменной к исследованию несобственных интегралов дают интегралы Френеля, встречающиеся в теории дифракции света: ОЭ ОЭ с'1= ) з1п(хт)йх с'з=- ~ соз(х')Ых.
о о Подстановка хз = и дает 1 Г сози Р = — ~ — 41и. о 1 Р Мои Р1 = — ~ — ди, 2о )'и 2и сов (и4) 41и. о При и=")lлп (я=О, 1, 2, ...) подынтегральная функция прини- 4 мает значения 2 11~ям соз лп =' + 2 р~иж, так что подынтегральная функция не ограничена. Вместе с тем замена переменной из=х преобразует этот интеграл в сходящийся интеграл ~ сов (хз) 41х. о Замена переменной нередко преобразует несобственный интеграл в собственный. Например, преобразование х = ейп и, 11х = соз и 11и дает 1 о По правилу интегрирования произведения имеем в и и Когда А и В стремятся к со, в правой части первые два члена стремятся к нулю, а по критерию сходимости стр. 290 стремится к нулю и третий, интегральный член.
С помощью того же рассуждения, которое мы применили к интегралу Дирихле, убеждаемся. что интеграл 4"-1 сходится. Сходимость интеграла г"т доказывается точно таким же способом. Те же интегралы Френеля показывают, что несобственный интеграл может сходиться и в том случае, когда подынтегральная функция не стремится к нулю при хь со. Более того, несобственный интеграл холсеиг сходиться даже в том случае, если подынтегральная функция не ограничена. Это видно на примере интеграла % З. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА С другой стороны, интеграл от непрерывной функции может перейти в несобственный интеграл; зто происходит в том случае, если преобразование переменной интегрирования и=гр(х) таково, что производная гр'(х) обращается в нуль на границе промежутка «х интегрирования, так что там — обращается в бесконечность.
«и Упражнения Проверить сходимость несобственных интегралов в упр. 1 — 11. з 1 р' х «х 1 — соз х о личны агс!Ях „ «х, 1 —.Тз з х 10. — «х ,! ел — 1 о 9. о 12з. Доказать, что несобственный интегРал ~ згв !си вых+ — )1«х Расх) а ходится. «х 13 . Доказать, что !!вз ~ „=О. о 14, Выяснить, при каких значениях параметра з сходятся несобстиенные Г»' Г з!ях интегралы:. а) ~ «»; б) ~ — «х.
е 1+х ',~ хз о о Г з!нг !Оз. Выяснить, сходится лн интеграл ) ' «!. о 16'. 1) Пусть а — заданное ноложительное число; доказать, что а А 1!гя — «х = а. -а СО «х (1 (- х) )' х в А (х — а,) (х н лежат между агс!их 1+ хе о х 1(» 1 «х где аь а,, аз а, все раз— аз) (х аз) (х — аз) 296 ГЛ. <Ч. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЪНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 2) Пусть функция у(х) непрерывна в интервале — 1 (х(1; доказать, что ! А и ~ „,, ~-).-=.у(~). А.,о .! А'+х' — 1 )<г1 е-гк <(» 3+а!и'х ' г Г 7. ) — з!и ~х — — ) <тх.
3. ~ (1пх)'<Гх. е! х <а х<(х — ! <<! к 8*. Доказать, что 1пп е х ~ е' <!1=0. к.ь<» О. Предполагая, что ) а) ~ (О 1, доказать, что 1пп — ~ 5<п ох 5!и !<х <тх = О. г „т~ о ! 10. Вычислить ( хзе " сов 2»<(х.
-! 11". Доказать, что ззмена переменной х= —, где аб — ОТ+О, «т+ О те+6 ' преобразует интеграл <тх Ах'+ Вх'+ Ех'+ Рх+ Е в интеграл такого же типа и что, если многочлен четвертой степени Ах'+ Вхз+ Сх'+ 27»+Е не имеет одинаковых множителей, то ик не имеет и новый, зависящий от т многочлен, заменяющий его в результате преобразования.
Доказать, что эти же утверждения справедливы для интеграла е<(х, Ах<+В»!+С»!+1)х+Е <Гх, где тг — символ рациональной фуш<ции. 1 1 1 1~ Найти предел выражения а„= + — + ° ° ° + — при и+1 и+2 ''' 2л Дополнительные упражнения и главе !Ч Вычислить интегралы в упр. 1 — 7. ха<О!як пх 2. ( з!и' х соз' х <Гх. (Метод тригонометрического преобразования подынтегральной функции быстрее приведет к цели, чем применение рекуррентиой формулы.) ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ 1Н 13'. Найти предел выражения ь„= ' + ' + ' +...+ О 1 — 1 л,l и! 1 14*. Доказать, что Нш 1( л,л, 1' и" е при и -ь со.
15'. Вычислить 1 +2л+йк+ ... +нл 1!ш л.+ со и" е е .+ -И) —.-' +© .-'.-(".)"-'+ +-"(".)= 1)л 22л (п1)2 (йп+1)! ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ 12' Вторая теорема о среднем значении в интегральном исчислении') Правило интегрирования произведения дает простой метод доказательства важной теоремы для оценки определенного интеграла. Эта теорема называется второй теоремой о среднем значении в интегральном исчислении; она особенно часто применяется в теории чисел. Обозначим через ф(х) функцию монотонную и непрерывно дифференцируемуюз) в интервале а~(х (б, и пусть )(х) — непрерывная функция в этом интервале.
Тогда найдется такое число $, а ( $ ~~ б, что ) ) (х) 1р (х) с(х = 1р (а) ) ( (х) их+ ф (д) ~ ( (х) е(х. ') Зту теорему часто называют теоремой Бонна (Вопве!). (Прин. перев.) ') Функция у(х) называется непрерывно дифференнируемой в интервале, если она имеет в каждой точке этого интервала непрерывную пронз.
водную у'(х). (Прим. перев.) где а — любое действительное число, большее чем — 1. 1 16. Вычислить ~ (х' — 1)л йх, не развертывая подынтегральной функции -1 по формуле бинома. с 1 !т*. При вычислении ~ (х' — 1)" их двумя способами (здесь, в упр. 16, — 1 и в смешанных упражнениях к гл. !1, упр, 64) получены различные по виду результаты. Доказать без помощи интеграла, что ответы совпадают, т. е. доказать тождество 298 ГЛ.
Ил ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЪНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Таково содержание второй теоремы о среднем значении. Для доказательства положим х Р(х) = ~ У(у) ьгу, а так что Р'(х) = у (х). По правилу интегрирования произведения имеем ~ у" (х)ф(х)г(х= ~ Р'(х)ф(х)ьгх= а а ь ь =Р(х)гр(х) (,— ~ Р(х)ф'(х)ьгх= Р(Ь)ф(Ь) — ~ Р(х)ф'(х)гаях. Так как ф(х) — монотонная функция в интервале а ~(х~(Ь, то производная ф'(х) сохраняет постоянный знак в этом интервале. Поь этому можно к интегралу ) Р(х)ф'(х)г)х применить теорему о среда нем значении, выражаемую формулой (а) на стр. 155. Следовательно, существует такое число Э, а (~~(Ь, что ь ь ~ Р(х) ф'(х) гаях = Р($) ~ ф'(х) ~Гх = Р($) (ф(Ь) — ф(а)). Отсюда вытекает, что ~ ~'(х)ф(х)ьгх= Р(Ь)ф(Ь) — Р(Г,) гф(Ь) — ф(а)) = а = (Р(Ь) — Р($)) ф(Ь)+ Р(~)ф(а).
Подставив сюда $ ь е ь РЕ= ~ у(х) (х, Р(Ь) — Р(и=~у(х)а — Г1 у(х)о = ~у(х) тх, а а а получим окончательно то равенство, которое требовалось доказать. Добавим еще (без докааательства), что эту теорему можно обобщить на более общие классы функций. Дело в том, что теорема остается справедливой, если ф(х) — любая непрерывная монотонная функция, не обязательно дифференцируемая. Более того, теорема справедлива и в том случае, если ф(х) имеет раврывы, прн условии, что интеграл ~ у(х)ф(х)Фх существует. а СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАЗЕ !Ч СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ П Выполнить интегрирование в упр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
