1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 61

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 61)

В противоположность этим свойствам, точка перегиба кривой останется и после поворота осей точкой перегиба. В самом деле, критерий точки перегиба у"=у"(л) = О (см. стр. 188) при параметрическом задании кривой принимает следующий вид: ху — ху= 0 (на основании последней формулы и' 3, стр. 308). Заменяя слева производные х, у, х, у их выражениями в новых координатах $, т1, легко получим соотношение ху — ху = $ т) — от!.

.откуда следует, что равенство ху — мху=О влечет за собой также и равенство йт) — $т)=0, так что это равенство выражает такое свойство точки кривой, которое не зависит от системы координат. В дальнейшем мы неолнократно убелимся в том, что собственно геометрические свойства выражаются такими формулами, вид которых не изменяется при повороте системы координат.

Упражнения 1. Кривая задана параметрическими уравнениями: х=асоз28созз, у=асоа28э!Я8. Найти обычное, ие параметрическое уравнение втой кривой. 2. Окружность с радиуса г катится без скольжения по внешней стороне неподвижной окружности С радиуса 11. Точка Р на окружности с. двигаясь вместе с ней, описывает кривую, называемую злициклоидой, Найти параметрические уравнения эпицнклоиды. Исходить из начального положения, когда движущаяся точка наблюдения на окружности с является точкой касания обеих окружностей.

За параметр принять угол поворота прямой, соединяющей центры этих окружностей. 3. Построить эпицнклоиду н найти ее параметрические уравнения для частного случая г = гс. (Этот частный внд эпицнклоиды называется кар.диоидой.) 31 $2. пРилОжения к теОРии плОских коивых ЗП 4. Если в упр. 2 радиус г < к и окружность с катится по внутренней стороне С, то точка Р описывает галояаклоаду. Найти ее параметрические уравнения. б. Построить гипоцнклоиду: а) для случая Р = 2г, б) для случая гг =Зг. 0.

Построить гипоцнклоиду прн Р= 4г (асявроаду) н найти обычное, ие параметрическое уравнение астроиды. 7. Найти параметрические уравнения кривой х' + у' = Заху, назмваемой декартовым листом. В качестве параметра взять тангенс угла между осью абсцисс и радиусом-вектором точки (х, у) кривой. ч у ч показать, что у гипоциклонды х а+ у т = а л (астроиды) длина отрезка касательной, заключенного между осями координат, постоянна. 9. Показать, что касательная и нормаль к циклоиде в каждой ее точке проходят через самую верхнюю и самую нижнюю точки катящейся окружности в ее соответствующем положении. 10. Вывести формулу для угла а между двумя кривыми, заданными в полярных координатах уравнениями г= У(0) и г= л(0).

11. Пусть С вЂ” неподвижная кривая, а Р(х,. ув) — неподвижная точка. Подэрой кривой С относительно точки Р называется геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из точки Р иа касательные к кривой С. Вывести параметрические уравнения подзры кривой С, которая сама задана в параметрическом виде уравнениями х = Г (т), у = й (т) 12. Найти подеру окружности С: а) относительно ее центра Ся б) относительно точки А, лежащей на самой окружности.

иг 13. Вывести формулу !Я)с =г: — (см. стр. 309) прямым путем, не. ' йб прибегая к преобразованию прямоугольных координат в полярные.1 В 2. Приложения к теории плоских кривых Мы будем рассматривать два различных типа свойств кривых илн величин, характеризующих кривые. Первый тип состоит из свойств. или величин, которые зависят только от наведения кривой в малом. т. е.

в непосредственной окрестности точки. и выражаются аналити- чески с помощью производных в рассматриваемой точке. (Такие свойства можно называть локальными, т. е. местными свойствами.) Свойства же или величины второго типа связаны со веем ходом кривой или части кривой и выражаются аналитически с помощью интеграла, Мы начнем с рассмотрения свойств второго типа.

!. Ориентация области и знак ее площади. Понятие площади служило у нас исходным пунктом для определения интеграла; однако. зта связь между определенным интегралом и площадью оставляет еще чувство неудовлетворенности в силу своей неполноты.

Для гео- метрии важно определение площади фигуры, ограниченной лроиз- волъной замкнутой кривой; с другой стороны, для «криволинейной х, трапеции», площадь которой измеряется интегралом ) у(х)йх, дуга к, кривой у = у (х) составляет только часть ее границы, а остальная часть состоит иа линий, зависящих от выбора системы координат. Если мы пожелаем определить с помощью интегралов такого вила ГЛ.

ЬЭ ПРИЛОЖЕНИЯ 312 площадь фигуры, ограниченной замкнутой кривой, вроде круга или эллипса, то должны будем разбить фигуру на несколько частей, каждая из которых ограничена однозначной ветвью кривой, отрезком осн х и двумя ординатами, Прежде чем заняться исследованием этого общего случая, целесообразно сделать несколько замечаний по вопросу об определении знака рассматриваемой площади. Вопрос о знаке площади фигуры, ограниченной произвольной ззмкнутой кривой, не пересекающей самое себя, можно связать с чисто геометрическим понятием направления обхода этой кривой с помощью следующих определений. Говорят, что обласогь обходилгся в положипгельном направлении, если ее гг х границу описывают в ~аком направлении, что Ряс.

88. внутренние точки области остаются слева ')," противоположное направление обхода называется отрицательным. Область, которой приписано определенное направление обхода, называется ориентированной областью, и плошадь такой области считается положительной при положительном направлении обхода и отрицательной, если направление обхода отрицательное (ср. рис. 88). Предположим, в частности, что з промежутке а ( х ( Ь функция у (х) всюду положительна. Рассмотрим замкнутую ломаную линию, которую опишем, отправляясь от точки х = а = хз, у = О, вдоль ординаты х = — а до кривой у = ~(х), затем вдоль этой кривой до ординаты х = б = х,, далее вдоль У-- этой ордннаты до осн абсцисс, т.

с. до точки х = д = хп у= О, и, наконец, вдоль оси х до У а х, исходной точки х = а = хе, у = О (рнс, 89). Абсолютная величина плогцади внутренней Рнс. 89. области этой замкнутой ломаной(число содер- жащихся в ней единиц плошади) равна. как нам известгго,) ) (х) г(х.

Если обозначить через Рш площадь, снабженную знаком согласно данному выше определению, то этот интеграл даст абсолютную ') Если в этом обьяснеини желательно обходиться без слов «слева» н «справа», то можно сказать так: треугольник, вершины которого по порядку лежат в начале координат, в точке (1; 0) и, наконец, в точке (О; 1), описывается в положительном направления нри указанном порядке обхода вершин.

Всякой областн, граница которой пробегается в таком же направлении, приписывается в этой системе координат положительное направление обхода, а всякой области, граница которой пробегается в противоположном направлении, приписывается отрицательное направление обхода. $ к пРиложения к теОРии ПлОсКих кРиэых величину ) Ра>!. Для определения знака надо только заметить, что граница фигуры описывается здесь в отрицательном направлении, так что га> отрицательно; стало быть, ь Ьщ= — 1 У(х) (х. а Аналогично, если а ) Ь, то на основании правила определения.

ь анака площади Рв> положительно, между тем как ) у'(х) г(х имеет в отрицательное значение; таким образом, формула для Ьв> справедлива в обоях случаях. 2. Общее выражение для площади, ограниченной замкнутой кривой (в прямоугольных координатах). После этих прелварительных замечаний мы теперь в состоянии преодолеть упомянутые выше затруднения очень простым путем, а именно путем перехода к параметрическому представлению нашей кривой: х = х (1), у = у (Г). Начнем с того, что введем параметр Г формально в качестве новой независимой переменной в интеграл, выражающий площадь >че>. Имеем х = х (Г), у = у (г) = г' [х (г)), откуда и Ь'ш = — 1 у(г) х(()л>Г, и где га и г> — значения параметра, соответствующие абсциссам хе=а и х, = Ь.

При этом мы предполагаем, что рассматриваемая ветвь кривой у=у (х) связана с промежутком гз (Г (Г> взаимно однозначным соответствием' ), что у(х) всюду положительна и что х(Г) нигде в этом интервале не обращается в нуль. Как мы видели, лоследняя формула дает площадь криволинейной трапеции, ограниченной нашей кривой; осью х и ординатами х = а и х =Ь, и, очевидно, все еше страдает теми же недостатками, о которых говорилось выше Но параметрическая форма выражения для площади замечательна тем, что онз сохраняет силу и лля замкнутой кривой. Мы сейчас покажем, что если кривая х =х(Г), у=у(Г), гв (( (ГР является замкнутой кривой.

ограничивающей область с площадью Ьа>, то эта плошадь дается интегралом точно такого же вида, как написанный выше Рассмотрим замкнутую кривую, заданную параметрическимй уравнениями х=х(Г), у=у(Г), причем эта кривая описывается одни раз, когда г пробегает промежуток Ге (Г (ти Тот факт, что кривая замкнутая, выражается равенствами х (Ге) = х (Г>) и у (Гв) .= у (Г,).

Характеристики

Список файлов книги