1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 63
Текст из файла (страница 63)
.1 Г 2 в Р о Р Если 9) а, это выражение поло- Рис. 92. жительно, Ясно, что при возрастании 6 точка с координатами (г, 6) описывает контур области в положительном направлении, так что результат находится в согласии с нашим правилом знаков. В качестве примера рассмотрим площадь, ограниченную одной петлей лемнискаты, уравнение которой г' =2а' соз26 (см. стр. 94). Угол 9 изменяется здесь от — и/4 до +п/4, н для площади получается следующее выражение; ел/4 а' ~ соз29йб=аг. — Ш4 6. Длина дуги кривой. Еще одно важное геометрическое понятие, связанное с кривой, приводит к интегралу.
Это длина дуги кривой. Сначала выясним геометрически, как подойти к определению ллины дуги произвольной кривой. Элементарный процесс измерения длины состоит в сравнении длины, подлежащей измерению, с прямолинейным масштабом. Для этого прилагают масштаб к кривой так, чтобы его начало совпало с началом дуги, а конец лежал иа кривой, и подсчитывают, сколько раз надо повторить эту операцию, чтобы дойти ло конца дуги кривой. Затем уточняют этот процесс измерения путем гл. ж 11Риложения введения все более мелких масштабов.
По аналогии с этой элементарной наглядной идеей мы построим определение лли1ы дуги кривой следующим образом. Вписываем в дугу кривой ломаную из прямолинейных звеньев и измеряем периметр этой ломаной. Полученная длина будет зависеть от расположения вершин ломаной (и от их числа). Будем теперь неограниченно увеличивать число вершин вписанной в дугу ломаной, и притом так, чтобы длина наибольшего звена ломаной стремилась к нулю.
Предел. к которому стремится периметр этой вписанной в'дугу ломаной, мы н будем называть длиной дуги Ув У! У! Рвс. 93. кривой. Такое определение предполагает. что упомянутый предел существует и не зависит от частного выбора последовательности ломаных, с помощью которых осуществляется все большее приближение к кривой. Это лвойное предположение называтся условием сирпзгляемоспги, н лишь при его выполнении можно говорить о длине кривой. Мы вскоре увидим, что возможно доказать спрямляемость весьма обширных классов кривых.
Для того чтобы вывести аналитическое вырзжение для длины дуги, предположим сначала, что кривая задана как график функции у=у гх) с непрерывной производной )" 1х). Разобьем промежуток а (к «(Ь осн х, пад которым лежит рассматриваемая дуга кривой, точками а=х,, х,, ..., х„=Ь на и — 1 частичных интервалов длины Лхг, Лхт, ..., Лх„! 1рис. 93). Впишем в дугу кривой ломаную, вершины которой пусть лежат на ординатах, проходящих через эти точки деленин.
Согласно теореме Пифагора, общая длина этой вписанной ломаной выражается так: л — ! 2-1 Г ~~!~ 11гдл2+ ЛГу2 Ч~~~~ ~/ 1 +~ ~й) Д 1-1 2-1 Но, по теореме дифференциального исчисления о среднем значении, ПУ2 отношение приращений — = у' ял), где $2 — некоторое промежу- ЛХ2 точное значение из интервала Ьха. Заставим теперь п безгранично б! $2. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ПЛОСК>>Х КРИВЫХ 321 возрас>ать, а длину наибольшего из частичных интервалов Ах, стремиться к нулю; тогда последнее выра>кение, согласно определению интеграла, будет стремиться к интегралу ~ )У 1+у" йх.
и как к своему пределу. Так как этот предельный переход всегда принодит к одному и тому же результату, а именно интегралу, независимо от способа разбиения промежутка интегрирования, то итог нашего рассмотрения можно сформулировать в виде следуюшей т е о р е м ы: Всякая !тривия у=у(х). у которой функция у(х) имеет непрерывную производную, являеупся спрямляемой кривой, и ее длина от точки х=а до точки х=Ь, д Ра выражается фор.и улой з (а, Ь) = ~ 7 1 + у" 21х. н — 2 Простой пример вычисления длины дуги дает пзрабола у = — хг.
Ллина 2 ее луги выражается интегралом, который вычисляется преобразованием переменной х= ай и, их =сн идй! агав з агав з з(а, ь)= ~ 'г>1+ха их= ~ сиаийи= — ~ (1+си2и)ли= 2 и агаь а агава =.— (и+ ) ~ =-2-(и+з)>испи) ! окончательно длина дуги параболы между абсциссами х = а и х = Ь выра- жается так: з (а, Ь) = — (агзЛ Ь + Ь гг1 + Ь' — агзй а — а '$УТ+а' ). 2 Лругой пример, Ллина дуги цепной линии у = сй х: з +зйгх их= ~ сихйх нли з(а, Ь)=зйЬ вЂ” зйа.
и з (а, Ь) ~ Г' 1 и 21 Р. Курант Обозначим через в длину дуги, отсчитываемой вдоль кривой от некоторой произвольной, но фиксированной точки до точки с абсциссой х; тогда из последней формулы, в которой верхний предел будет переменный (х). получим следующее выражение для производной от длины дуги по абсциссе: 322 ГЛ. Ч. ПРИЛОЖЕНИЯ 7. Параметрическое выражение для длины дуги. Длина дуги в полярных координатах. Наше выражение для длины дуги связано, однако, со специальным и искусственным допущением, что рассматриваемая дуга кривой представляет собой однозначную ветвь, лежащую над осью х. От этого ограничения можно освободиться, если перейти к параметрическому представлению кривой.
Если та же кривая задана в параметрическом виде уравнениями: х = х (В), у = у((), то, введя параметр В в качестве новой переменной интегрирования, имеем » В В 1/ у' ' )>г1+у' г)х= — ~ 1/ 1+ у хг((=~ Ух»+у'с>(, х» а а а где а и р — значения параметра г, соответствующие началу и концу дуги х=а и х=д.
Отсюда получается пара»>етрическое выражение длины дуги." В г (а, р) = ) г х'+ у» Ж. а Ниже мы покажем, что это параметрическое выражение для длины дуги имеет над предыдущей формулой то существенное преимущество, что его применение не ограничивается однозначными ветвями кривых, представленными уравнения»>и вида у=) (х); это выражение сохраняет силу для любой дуги кривой и даже для замкнутой кривой, если только производные х(() и у(() непрерывны вдоль рассматриваемой дуги. Для того чтобы это показать, вернемся к исходному выраягению для периметра ломаной, вписанной в дугу кривой. Предполагаем, что вдоль этой дуги х(В) и у(() имеют непрерывные производные х(В) и у(().
Теперь делим промежуток а (В~(Р точками а=(„, Вп ... ..., В„= — р на и частей с разностями Лг» и соответствующие точкам деления точки кривой используем в качестве вершин вписанной ломаной. Переход к пределу при и -ьоэ совершается таким образом, что наибольшая из разностей М» стремится к нулю. Общую длину ломаной запишем в следующем виде: где О' и О' — некоторые промежуточные значения из интервала аг». Сразу видно, что последняя сумма стремится к интегралу ГЛ. Н. ПРИЛОЖЕНИЯ 324 Заметим, что во многих случаях удобно пользоваться в качестве параметра длиной дуги з, отсчитываемой от некоторой фиксированной точки Ра кривой, т.
е. записывать параметрические уравнения кривой в виде х=х(г), у=у(г). Точкам кривой, лежащим по разные стороны от Ра, будут соответствовать значения г с противоположными знаками. В таком случае ха+уз=( — ) =( — ) =1, откуда дифференцированием получается хх+-уу =О. Оба этих соотношения находят частое применение.
Выведем еще формулу для длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями в полярных координатах г = г((), О = 0((), Для этого надо только подставить в параметрическую формулу для длины дуги вместо производных х и у их выражения через г и О из формул (*) стр. 309, чтобы получить х'+ у' = гз+ г'Оа, откуда в а(п Р) ) УГгг+ ггОЯ дг а От параметрического задания кривой в полярных координатах легко перейти к уравнению вида г = у"(О) путем введения в качестве параметра самого полярного угла О = г, так что О = 1, и для длины дуги получится следующая формула: а (Ою 0,) = ) Р гт+ га дО. 8.
Кривизна кривой. В то время как площадь и длина дуги кривой зависят от всего хода кривой или ее дуги и выражаются через интегралы, понятие кривизны относится к поведению кривой только в окрестности точки и поэтому выражается лишь с помощью производных. Представим себе, что кривая описывается равномерно в полонсительном направлении, так что в равные промежутки времени пробегаются дтти равной длины; тогда направление кривой будет изменяться с определенной скоростью, Эту скорость и принимают за меру кривизны кривой в соответствующей точке. Обозначим угол от положительного направления оси х до положительного направления касателыюй (стр.
307) через а и будем рассматривать этот угол как В1 э к пРилОжения к теОРии плОских кРивых зйб функцию длины дуги 5. так что а=а(5); тогда кривизну л в точке, соответствующей длине дуги 5, определяют равенством Как известно, 18 а = у . а стало быть, по правилу цепочки веса а — = а да Г(5 =у' — или (1+у ) — =, откуда а а'х ,5 аа у" 55 Н5 У"1 Да у" 1 55 1+у 1/1+,2 где положительный знак квадратного корня означает такой выбор положительного отсчета длины дуги, что возрастанию х соответствует и возрастание 5. В итоге для кривизны получается выражение И+у") * Знак кривизны в этой формуле не имеет геометрического значения, не зависящего от системы координат. Считая, как обычно, Л 1 +у положительным, мы видим, что кривизна имеет тот же знак, что у", и, следовательно, кривизна положительна, если кривая обращена вогнутостью вверх (лежит выше своей касательной), и отрицательна.
если кривая обращена вогнутостью вниз (лежит ниже касательной). (Ср. стр. 187, 188,) Лля того чтобы получить выражение кривизны для кривой, заданной параметрическими уравнениями, можно воспо.чьзоваться фор- мулами у'= У. и у" = . (см. стр. 306 и 308), и с их помощью х х' прежнее выражение преобразуется в следующее параметрическое выражение кривизны: к= ху — ух (х5 + у') ~л Эту формулу можно, конечно, вывести и непосредственно из равенства 1д а = у/х теч же путем, каким первая формула кривизны получена из равенства 1да=у'.
Первое выражение для кривизны, выведенное для явного задания кривой у=у (х), связано, в силу этого, со специальным допущением о расположении дуги кривой относительно оси х. В противоположность этому параметрическое выражение кривизны пригодно для всех дуг, вдоль которых х, у, х, у являются непрерывными функциями 18 ГЛ.
Ч. ПРИЛОЖЕНИЯ 326 от ~, и хв+-уат'=О. Оно, в частности. сохраняет силу и в точках, где х=О, учьО и где, стало быть, — обращается в бесконечность. йу й« Если параметром служит длина дуги в, то (см. стр. 324) ха+уз=1 и хх+ уу=-О, откуда — х/у='у/х, и для кривизны получаются особенно простые выражения: и = ху — ух = у ( х + у —.[ = —. = — —..
х1 «у Знак кривизны (по параметрической формуле) изменяется при изменении направлении пробе~а кривой, т. е. если заменить параметр с или в новым параметром т = — 1 или о = — в. Действительно, при такой замене х и у изменяют свой знак, а ха, уа, х и у не изменяют знака, что видно из следующих простых вычислений: й йх йс — х [1 (г)[ = — ° — = х( — 1) = — х, йт иг ит Аналогичное вычисление можно слелать для у. В первом выражении лля кривизны й= „этот факт скрыт, так как для кривой ([+у")н' у = г'(х) естественно и привычно считать, что кривая описывается слева направо, и в этом случае квадратный корень в знаменателе может.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
