1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 66

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 66)

Левая часть нашего равенства является величиной, определяемой эксперимгнтально путем наблюдения ускорения, и служит мерой силы. Однако это равенство имеет гораздо более глубокий смысл; опыт показывает, что в очень многих случаях можно заранее определить действующие силы, не зная самого движения, исходя иа других физических предпосылок; тогда приведенный выше основной закон Ньютона является уже не окределениеж силы, но представляет собой соотношение, из которого можно делзть важные выводы относительно рзссматриваемого движения, бф Важнейшим примером заранее известной силы 4() является сила тяжести.

Мы знаем на основании непосредственных измерений, что сила тяжгстн, действующая на массу т, направлена вертикально вниз и равна лги, где постоянная г, Рис. 94, так называемое ускорение земной силы тяжести, приближенно равна 981, если время измерять в секундах, а длину в сантиметрах. Если масса движется по заланной кривой, то опыт показывагт, что сила тяжести, действующая по направлению кривой, равна те'сова, где а означает угол касательной в соответств)нощей точке кривой с вертикалью (рис. 94), Основная проблема механики для случая движения по заданной кривой заключае~ся в следующем.

Задана каким-нибудь путгм сила, действующая на материальную точку, например сила тяжести; требуется определить положение точки, т. е. ее координату а или х, как функцию времени. Ограничимся простейшим случаем, когда сила т" = ту'(а)') заранее иавестна как функция длины дуги, так что она не зависит явно от времени; покажем, каким образом можно из уравнения з= — ге= Г" (а) 1 т узнать весь ход движения точки по кривой.

') Выделение множителя и из выражения для заданной силы несуще- ственно, ио оио упрощает формулы. 2) 5 ь пРОстеишие 3АдАчи мехАники ТОчки ЗЗ7 Мы здесь имеем дело с дифференциальным уравнением, т. е. с таким уравнением, из которого требуется определить неизвестную функцию — в данном случае з(г) — и в котором, кроме самой этой неизвестной функции, содержатся также и ее производные (ср. гл. 111, ~ 7, стр. 207).

2. Свободное падение. Сопротивление воздуха. Прн свободном падении материальной точки по вертикали, которую мы примем за ось х, закон Ньютона дает нам дифференциальное уравнение х = Р. О~сюда следует х(ь) = н)+оь, где о, есть постоянкая интегрирования, значение которой мы получаем, полагая 2=0. Тогда х,(0) =оь, т. е, о, есть скорость материальной точки в начальный момент отсчета времени, начальная скорость. Вторичным интегрированием получаем х (г) = — игу+о,у+х,, 1 где х, есть также постоянная интегрирования, значение которой опять получаем, полагая Г = 0; х, есть начальная координата, т.

е. координата точки в начальный момент. Обратно, можно выбрать произвольно начальное положение хь и начальную скорость оь, и тогда уравнение 1 х = — д(у+оьу+хь 2 дает полное описание процесса движения. Если мы хотим учесть влияние трения или сопротивления воздуха, действующего на падающую материальную точку, то должны его рассматривать как силу, действующую в направлении, противоположном направлению движения, н относительно этой салы надо ввести известные физические гипотезы, допущения 1), Разберем два различных физических допущения: а) Сопротивление пропорционально скорости; оно тогда выражается формулой вида — гх, где г есть положительная постоянная. б) Сопротивление пропорционально квадрату скорости и имеет вид — гх'. Согласно основному закону Ньютона, мы получим следующие уравнения движения: б) тх = тс — гх'.

а) тх = тй — гх, Будем рассматривать сначала скорость х = и(Г) как искомую функцию; тогда х (г) = й (г), так что уравнения движения примут такой вид: а) тй = те — ги, б) тй= тл.— ги'. ') Этн допущения должны учитывать конкретные обстоятельства изучаемого движения; например, закон сопротивления при малых скоростях другой, чем при больших (скажем, при скорости пули). 22 Р.

курант ГЛ. Ч, ПРИЛОЖЕНИЙ !3 Вместо того, чтобы определить из этик уравнений и как функцию от Е, мы найдем Е как функцию от и, для чего напишем наши уравнения в форме: с)Е 1 а)Е 1 а) — = б) с)и г сги г дс — — и е — — и' т т С помощью методов интегрирования предшествующей главы можно выполнить интегрирование, и в итоге получим: т а) Е(и) = — — !и (1 — — и1+Еа, г (, ти и 1 —— б) Е(и) = — — к !и 1 лр +Еа и 1+— ле где )2 = "ггт)гд, а Е, есть постоянная интегрирования.

Смысл Е таков; в момент времени Е=Е, скорость и(га) =0 или, что то же самое, Е(0) =Е. Решая зги уравненйя относительно и, получаеи: г )' — р-),) а) и(Е) = х(Е) = — — (е — 1), г -2 () — с,))а б) и(Е) =.х(Е) = — дй е-20-б))а+ ! Эти уравнения обнаруживают важное свойство нашего движения; с возрастанием Е скорость не растет неограниченно, но стремится к некотороиу. определенному пределу, зависящему, впрочем, от массы т. В самом деле, а) )нн и(Е) = —, тт )-а со б) Вт и(Е)=1,г / те !.Ьсо Вторичное интегрирование полученнык выражений для и(Е) = х(Е) с помощью методов предыдущей главы дает следующие результаты (которые можно проверить дифференцированием): г та !г-га) а) х (Е) = —, Еге .+ — !+с, б) х(Е)= — !псн 1/ 'ь (Š— Еа)+.с, где с есть новая постоянная интегрирования.

Обе постоянные интегрирования Еа и с легко определить, если известны начальное положение х(0) =х, и начальная скорость х(0) =и(0) =иа падающей материальной точки в момент Е = О. 3. Простейшее упругое колебание. В качестве второго примера рассмотрим движение материальной точки, движущейся по оси х и связанной с началом координат упругой силой.Мы предполагаем, что зта упруган сила постоянно направлена в сторону начала и -з ее величина пропорциональна 5 К ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ТОЧКИ 339 расстоэнвю от начала.

Другимн словами, мы полагаем силу равной — Лх, где коэффициент Л > 0 служит мерой жесткости упругой связи. Так как Л предполагаешься положительным, то сала имеет отрицательное значекне при положительных значеннях х и положительнее значение, когда х отрицателен. Уравнение Ньютона в этом случае гласит: тх = — Лх.

Нельзя ожидать, что это дифференциальное уравнение вполне определяет процесс движения; наоборот, естественно полагать, что в определенный момент, например при (=О, мы можем произвольно задать начальную.координату х(г) =хс и начальную скорость х(0) = о,, т, е., выражаясь физически, материальная точка может быть приведена в движение из любого начального положения и с любой начальной скоростью, и только тогда процесс движения однозначно определяется уравкением движения.

Математически это выражается в том, что самое общее решение нашего дифференциального уравнения содержит две, сначала неопределенные, постоянные интегрирования, которые должны быть определены нз обоих начальных условий; докажем, что это действительно так. Можно указать такое решение. Положим м=)'Л'т; тогда нетрудно провсрить днфференцированиель что наше дифференциальное уравнение удовлетворяется всеми функциями вида х (Г) = с, созна+се з1пей где с, и сэ обозначают произвольно выбранные постоянные. Мм увидим в и' 4, стр.

341, что других решений нашего дифференциального уравнения не существует, так что всякое такое движение, совершающееся под влиянием упругой силы, описывается приведенным выше выражением, которое можно представить и в таком виде; х (г) = а з1 и и (1 — б) = — а э1 и иб соя ссс+ а соз иб з1 и ы(; для этого достаточно положить — а щиыб = с„асов ссб = с, и тем самым ввести вместо пос~оянных с, и с, новые постоянные Г т 1 с, а='у с,-)-с н б= — — агсгя —. и с, Движения этого типа называются синусоидальными или проспгыми гармоническими колебаниями. Они представляют собой периодические движения; всякое состояние, т. е. положение х(О и скорость х(г), повторяется снова через промежуток времени Т = 2и!щ называемый периодом колебания, так как функции юпи( и соя ой имеют этот период Т.

Величина а называется амплитудой колебания, а число НТ=и/2и — частотой колебания; оно измеряет число колебаний в единицу времени. Мы еще вернемся к теории колебаний в гл. Х1, й 3 стр. 610. 4. Общий случай движения по заданной кривой. В заключение мы исследуем поставленную выше задачу в ее самом общем виде, а именно задачу о движении точки по заданной кривой под влиянием произвольной заданной силы лгу (з). Вопрос здесь сводится к нахождению з(Г) как функции от Г из дифференциального уравнения 5 = Т (3), где у(с) — данная функция.

Это дифференциальное уравнение с неизвестной функцией з можно полностью разрешить с помощью следующего приема. Рассмотрим сначала любую первообразную функцию г (з) от у (з), так что Т' (з) = У (з), и умножим обе части дифференциального уравнения 22" ГЛ. Н. ПРИЛОЖЕНИЯ 14 5=У(5) =Г'(5) на 5. Тогда левую часть уравнения можно написать в виде 4( г1 — ~ — 52). что легко проверить дифференцвроваиием; правая же часть 44( (2 тч'(5) 5 является как раз производной от тч(5) по врел4ени й если рассматривать в тч(5) величину 5 как функцию от й Таким образом, получаем — ~ — 52) = — Р (5), с25 '12 ) ос откуда, интегрируя, 1 2 ()+' где с означает постоянную, еще подлежащую определению.

Характеристики

Список файлов книги