1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 62
Текст из файла (страница 62)
') То есть таням, что каждая точка втой ветви соответствует елчвствеиному значению Г в интервале Г, (Г (й и, обратно, каждое значение Г соответствует единственной точке. ГЛ. У. ПРИЛОЖЕНИЯ '3! 4 Мы будем предполагать, что производные х и у непрерывны, за исключением, самое большее, конечного числа разрывов первого рода, и что ха+уз отлично от нуля, за исключением, быть может, конечного числа точек.
Эти исключительные точки могут быть угловымн точками кривой '). Рассмотрим сначала замкнутую кривую, не имеющую угловых точек, и притом выпуклую, так что ни одна прямая не пересекает ее более чем в двух точках. Обозначим через Р, и Рх те точки кривой, в которых она обладает вертикальной касательной; эти касательные называются опорными прямыми в точках Р, и Рт, потому что точки кривой в окрестности точки Р, (или Рэ) лежат полнйстью по одну сторону от соответствующей касательной. Площадь, ограаиченную нашей замкнутой кривой, мы можем тогда рассматривать Рве. 90.
(рис. 90) как сумму площади Рю, ограниченной замкнутой кривой Р,МР,АВР,, и площади Ры, ограниченной замкнутой кривой РэИР,ВАР;, эти фигуры имеют форму, описанную в предыдущем и'. Мы здесь предполагаем, что даннзя замкнутая кривая Р,МРаНР, описывается в положительном направлении; тогда, по нашему правилу знаков, площадь Р1э положительна, а Рм отрицательна. Предполагаем, что точка х(~), у(~) описывает верхнюю часть кривой Р,МРэ.
когда г изменаетса от ~э до т, и нижнюю часть Р,РРРО когда ~ пРо.бегает значения от т до 10 Из сказанного вытекает, что ') Точка Г = Гр непрерывной кривой х = х (Г), у = у (Г) называется угловой точкой этой кривой, если предельное положение секущей, проходящей через точки Гр и Г кривой, существует, когда à — Гр-+О как по положительным, так я по отрицательным значениям, по оба эти предельных положения различны.
$7. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ПЛОСКИХ КРИВЫХ Отсюда для площади, ограниченной заданной выпуклой кривой, получается оо Ьо Это выражение дает абсолютную величину площади (число содер-. жащихся в ней единиц плошади), снабженную знаком в соответствии с правилом предыдущего и'. Для того чтобы увидеть, что произойдет если изменить направление обхода кривой на противоположное, надо просто взять тот же интеграл не от ов до аи а от г, до гь; получится.
— 1 ух(г)с(г= — р. Таким образом, установлено следующее положение: Площадь, вычисленная по нашей формуле, положительна при. положительном обходе и отрицательна при отрицательном обходе ее вриницы. Остается освободиться от стеснительного предположения, что. у=У'(х) Р О для всех точек замкнутой кривой. Общность результата, действительно, не ограничена этим предположением. В самом деле, сместим нашу замкнутую кривую параллельно оси у (без вращения) на такое расстояние а. чтобы все ординаты стали положительны, иначе говоря, заменим у на у + а; плошадь при этом не изменится, но не изменится и Рис. 9К значение ее, получаемое по формуле, так как прежнее выражение для площади заменится выра>кением и — ~ (у+и)х(с)йг, а так кзк кривая замкнутая, то добавочный член оо ) ах (() йг = а [х (г,) — х (св)) = О.
ц Два простых замечания дают возможность обобщить полученный результат. Во-первых, наша формула остается верной для замкнутой кривой, не пересекающей самое себя, и в том случае, когда она не выпуклая, а имеет более общую форму, вроде показанной на рис. 91 ГЛ У. ПРИЛОЖЕНИЯ 818 Во-вторых, производные х(й) и у(й) могут иметь конечные разрывы (скачки, разрывы первого рода) или могут обращаться одновременно в нуль в конечном числе точек, что тоже может означать наличие угловых точек; согласно гл. 1т7, 9 8, стр. 28б и след., функция у(й) к(С) остается интегрируемой. (Ордината в угловой точке считается опорной прямой, если кривая в окрестности этой точки лежит полностью по одну сторону от ординаты.) Предполагая, что кривая имеет лишь конечное число опорных прямых, соответствующих точкам Р,, Рг, ..., Р„, разбиваем эту кривую на однозначные дуги Р,Р, Р,Рг, ....
Р, ,Р„, Р„Р,, Тогда площадь, ограниченная наше» замкнутой кривой, можно записать в виде Р = Рю+ Рю+-... ... +Р„, „+Рт (см. рис. 91, где показан случай п=б). Выражая площадь каждой из этих частей в виде интеграла в параметрическом виде и объединяя все эти интегралы в один интеграл.
получим для площади всей области, ограниченной нзшей замкнутой кривой, выражение — ) у(г) к(гтдг и результат, как и раньше, будет того же знака, что н направление обхода граничной кривой. Наша формула дает в некотором смысле площадь области даже в том случае, если граничная кривая сама себя пересекает. Однако в этом месте мы не будем входить в обсуждение этого вопроса; читатель можеоь обратиться, если пожелает, к $ 2 Дополнений к этой главе (стр. 357).
Формулу для площади, ограниченной замкнутой кривой, можно привести к симметричному и более изящному виду преобразованием интеграла по правилу интегрирования произведения: Р= — ~ у(у)х(с)м= — х(1)у(1) +~ х(с) уяж. ь и Так как граничная кривая замкнута, то кто) = к(7ь) У(го) =У(г1) а потому') Р= У х(й) у(1)Д. ') Эту вторую формулу для площади можно получить н другим путем, с помощью следующего рассуждения, В отношении площади, ограниченной замкнутой кривой, обе оси координат равноправны, за исключением одного обстоятельства: направление поворота, приводящего ось х по кратчайшему пути к совпадению с осью >, противоположно направлению поворота, приводящего ось у к совпадению с осью к по кратчайшему пути.
317 Ь 2. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ПЛОСКИХ КРИВЫХ Составив среднее арифметическое обоих выражений, получим для площади новое, симметричное выражение: Г гч= — ~1 (ху — ух)Ж. 2,~ Резюмируем сделанное. Пля площади, ограниченной замкнутой кривой х = х (Г), у = у (С), имеем три равноценных выражения: Г= — ~ у(Ь) х(Ь) ((= ~ х(Ь) у(Г) я = — ~" (ху — )х) (Г. 1 Г и 3.
Пример: площадь эллипса. В качестве примера вычислим площадь Ь эллипса у =- ц — р а' — хн учитывая симметрию этого эллипса относительно а осн х, можно вычислить площадь верхней половины эллипса и результат удвоить. Пользуясь формулой лля площади криволинейной трапеции, получим для площади эллипса выражение' а г" = 2 — ~ г' ао — хэ ах. Ь Г а а Если же воспользоваться параметрическими уравнениями эллипса х = а соэ й у = Ь з1п д то сразу получим Р = — ~ у(т) х(т) от =аЬ ) з(пэта(= яаЬ.
Вычисление интеграла можно провести по формуле, выведенной на стр. 245. [ Автор пользуется первой из трех формул, приведенных в конце и' 2. 2Л вт По второй из этих формул Ь'= ') х(Г) у(Г) Ж= аЬ ~ соээ(аа Проще всего о о вычисление по третьей, симметричной формуле: 2л 2Л 2Л Ь = — ~ (ху — ух) ат= — ~ (созот+э!пэГ) ат= — ~ от = паЬ.
о о 4. Независимость от выбора системы координат и от выбора параметра. Всякая подлинно геометрическая величина не может зависеть от частного выбора системы координат. Поэтому и площадь. ограниченная замкнутой кривой, как чисто геометрическая величина, не может зависеть от этого выбора. Между тем как самый вил формулы для этой площади, так и ее вывод базируются на некоторой системе прямоугольных координат.
Поэтому очень важно установить. что наши интегралы для площади, ограниченной замкнутой кривой, 318 ГЛ. У. ПРИЛОЖЕНИЯ не изменяют своего значения при преобразовании системы прямоугольных координат, причем достаточно это сделать для одного из эяих интегралов. Ясно, что эти интегралы не изменяются при параллельном переносе осей координат, — на стр. 315 это было показано для параллельного переноса оси абсцисс. Предположим теперь, что оси координат повернуты на угол а; вместо х и у мы будем теперь иметь новые переменные ~ и т(, связанные со старыми х, у формулами преобразования координат х=йсоза — т)з!па, у=$з1па+т)сова, так что новые переменные тоже будут функциями параметра 1.
Дифференцирование этих формул дает х=з сова — т1з!па, у=$з(па+ +т)сова. Небольшое вычисление дает ху — ух=от) — т)$, откуда 1, Р = — ~1 (ху — ух) 1тг = — ) (йт) — т1~) л1Г. 1 Р 2,~ 2,) Итак, площадь области, ограниченной замкнутой кривой, выражается в новой системе координат той же формулой. что и в старой, чем и доказывается независимость этой площади от выбора системы координат. Наше интегральное выражение для площади не зависит также и от выбора параметра 1. В самом деле, введем вместо 1 новый параметр т с помощью преобразования т=т(1).
Тогда чх ттх чт . 1ту лу 1тт х= — =— лт 4т тГГ ' У лс 1тт лс ' откуда 1, т, ~ ~х — „У вЂ” у ~ )г(1 =~(х пг — у '~ ) ~ с(1= ~ ~х —,У вЂ” у Я~11т, тю где та и т, — начальное и конечное значения нового параметра, соответствующие начальному и конечному значениям 1е и Гт старого параметра. До сих пор мы основывали определение площади на понятии ,интеграла и лишь затем показали, что это аналитическое определение площади носит подлинно геометрический характер, так как оно приводит к формуле, не зависящей от системы координат. Можно, однако, дать прямое геометрическое определение площади фигуры, ограни, ченной замкнутой кривой, не пересекающей самое себя, следующим образом: эта площадь есть точная верхняя граница площадей всех многоугольников, лежащих внутри кривой (существование этой точной верхней границы нетрудно доказать). Можно доказать эквивалентность обоих определений, но мы этим здесь заниматься не будем.
Б. Площадь в полярных координатах. Во многих случаях целесообразно выразить площадь в полярных координатах. Пусть $2. пРилОжения к теОРии плОских кРиВых 319 г = /(6) — уравнение кривой в полярных координатах. Обозначим через г'(б) плошадь фигуры, огрзниченной полярной осью, т. е.
прямой О = О, радиусом-вектором, проведенным из начала координат к точке (г"(6), д), н лежащей между ними частью кривой. Тогда р~(б) 1 гг 2 В самом деле, пусть го — наименьший, г, — наибольший полярный радиус в интервале (б, б+Щ изменения угла д (рис. 92), Тогда площадь Ьг" сектора кривой, заключенного между радиусом-вектором д и радиусом-вектором О.+М, содержится между числамн 1 г 1 2 ЛР 1 2 — ггЛ6 и — ггбд. Таким образом, — г ~4 — ~( — г, и переход 2 о 2 2 о Лй 2 н к пределу при Лб.-ь О приводит к укаванному выше значению производной г"' (9). Отсюда, согласно основной теореме интегрального исчисления. получается следующее выражение площади сектора О кривой между полярными углами а и р: В ло" г'= — ~ ггйб.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
