1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 65
Текст из файла (страница 65)
329), в виде за 2л 2л Ь'=2л ~ у ба =2л ~ а(1 — соз1) 2аз1п — от = 8а'л ~ 21п' — 2(Г = Г 2 ) 2 о о о =16а»л ~ з1п'иаи=16а'л ~ (1 — соз»и) з(пи Ни. Этот интеграл вычисляется с помощью подстановки соз и = о, и мы получаем Р = 16а'л ( — соз и+ ка- соз' и~ ~ о В качестве упражнения вычислите сами ордннату т) центра тяжести одной арки циклонды и ее момент инерции т' . Результат: Р 4 256 «1= —.= — а, 1 = — а'. 21«з 3»= 16 2. Цепная линия. Длину дуги цепной линии у = сЬ х мы уже вычислили в качестве прнмера в предыдущем параграфе (стр. 321) и получили ь з = ~ сЬ х 2(х = зЬ Ь вЂ” зЬ а. а Для площади поверхности, образуемой вращением цепной линии у = сЬ х вокруг оси х, так называемого катеноида, получаем Р = 2л ~ сЬ'х «(х = 2л ~ Г 1+сЬ2х т 1 1 2 ~ 2 2 «(х = л ~Ь вЂ” а + — зЬ 2Ь вЂ” — зЬ 2а).
а а Отсюда получается ордината центра массы дуги от а до Ь; 1 1 Ь' 2 2 Ь вЂ” а + — зЬ 2Ь вЂ” — зЬ 2а 2лз 2(зЬ Ь вЂ” зЬ а) Наконец, для кривизны получаем у" сЬх 1 (1 + фз)~Л сЬ» х сЬ» х У 3. Эллипс и лемниската. Длины дуг этих кривых уже не могут быть сведены к элементарным функциям, но выражаются «эллиптическими интегралами», о которых уже упоминалось на стр. 283. Для эллипса Ь у = — г' ໠— х' а получаем 1 ~ /а' — (а' — Ь') х' ~ 1 — к»С» * ( гтг — вга — чэ где бз 1 =нт; а' х а х с помощью подстановки — = з!п(Р этот интеграл приводится к виду а з= ~ у а' — (а' — бз) з!и'е тйб= а ~ У1 — н'з!пам сэр, Чтобы получить длину половины эллипса, мы должны изменять здесь х от — а до + а, что соответствует интервалу — 1 ( $ ( 1 и, соответственно, интервалу — н/2 < ~р < + п(2.
Уравнение лемнискаты в полярных координатах имеет вид г' = 2а' соз 28; поэтому з= ~ ')?г'+г' г(8= 3! !г 2азсоз28+2ат а8= / з!и' 28 соз 28 =аг 2 38 =аУ2 — г8 )' соз20 ) )' 1 — 2 з!п'8 Введя в последний интеграл в качестве независимой переменной и = !РО, получаем: нэ Ни з!пз 8 = —, с(8 = 1+ из ' 1+ ит ' Вдоль правой петли лемнискаты — и!4~~ 8 <и/4; следовательно, и изменяется от — 1 до 1, к длина одной петли равна Упражнения 1.
Вычислить площадь, ограниченную полукубической параболой у = х гц осью абсцисс и прямыми х= а и х = б. 2. Вычислить площадь области, ограниченной прямой у = х и нижней половиной петли декартова листа. (Воспользоваться параметрическими уравнениями, полученными при решен~ ?, стр. 311.) 3. Вычислить площэдь секте имедовой спирали г= ай (а > О) между радиусами-векторамн, соот ющнми значениям 8 = 8, и 8 = 8,. 4. Вычислить площадь кардио,,„, пр. 3, стр, 3!О), пользуясь полярными координатами.
(Указание. Прежде чем перейти к полярным координатам, упростить параметрические уравнения кардионды (упр. 3, стр. 310) параллельным переносом оси у.) 5. Вычислить площадь астроиды (упр. 6, стр. 311). 6. Вычислять плошадь подэры окружности х'+у'=1 относительно ~очки Р(х,, О) на оси абсцисс. Показать, что эта площадь имеет наименьшее значение, если Р находится в начале координат. (См.
упр. 11, стр. 311). х' у' 7. Сделать то же самое, что в задаче 6, для эллипса †+ = 1. а' б' Этот специальный эллиптический интеграл играл большую роль в исследованиях Гаусса. ГЛ, Ч. ПРИЛОЖЕНИЯ 8. Найти параметрические уравнения кардиоиды (упр. 3, стр. 310), приняв за вараметр длину дуги. 9. То же самое, что в задаче 8, сделать для цинлоиды. 1О. Вычислить длину дуги полунубической параболы у =хв». 11.
Вычислить длину астроиды. 12. Вычислить длину дуги; а) архимедовой спирали г = а0, а > 0; б) логарифмичесной спирали г = е~~; в) кардноиды (упр. 3, стр. 310); г) кривой г= а(0' — 1). 13. Найти радиус кривизны: а) параболы у =х', б) эллипса х= а сох д», у= 8 з1п»(», выразив его как функцию от л и как функцию от 9. Найти наибольшее и наименьшее значения радиуса кривизны и точки, которым онп соответствуют. 14.
Сделать эсннз кривой Г з1пи у = ~ — йи о я определить ее радиус кривизны р. 15. Показать, что выражение для кривизны кривой х=х(Г), у.—.=у(Г) не изменяет своего вида ни при повара~с осей координат, ин прн изменении параметра по формуле т = »ь(т), где »р'(г) > О. 1О. Кривая задана в полярных координатах уравнением г = У (О). Вывести следующую формулу для кривизны: ьа + 2г" — гг" /г = (г'+г") ' где йу й»у г'= —, I'= 0' =й0 17. Найти объем шарового слоя и площадь шарового пояса сферы радиуса»т, т. е, объем части шара и площадь части его поверхности, вырезанных двумя параллельными плосностямн, расстояния которых от центра сферы равны Д» и 222.
18. Определить объем и площадь поверхности тора или кольца, полученного вращением окружности вокруг оси, лежащей в одной плоскости с этой окружностью и ее ве пересекающей. 19. Сделать эскиз кривой, определенной уравнениями х= ) соз( — п(2) йй у=- ~ 21п( — п(2) йй Каков общий ход кривой, когда Г изменяется от — оз до +От) Вычислить кривизну й этой кривой как функцию длины дуги.
21). Кривая, у которой длина отрезка касательной от точки касания до оси у всегда равна единице, называется»пракгарисой. Найти ее уравнение. Поназать, что радиус кривизны в каждой точке трактрисы обратно пропорционален отрезну нормали от этой точки кривой до оси у. Вычислить длину дуги трактрисы и найти ее параметрические уравнения, приняв за параметр длину дуги, 21.
замкнутая кривая задана уравнениями х = х (т), у = у (1). Вдоль каждой нормали к этой лрнвой отложен отрезок постояьвой длины р. Концы этих отрезков образуют кривую, ноторая называется параллельной кривой $ Е ПРОСТЕНШИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ТОЧКИ по отношению к первоначальной кривой. Найти площадь области, ограниченной параллельной кривой, длину дуги и радиус кривизны параллельной кривой. 22. Найти центр массы произвольной дуги; а) окружности радиуса Й; б) цепной линие у = сй х. 2З. Вычислить момент инерции относительно оси абсцисс периметра прямоугольника а (х (Ь, а( у ()). 24. Вычислить момент иверцийдуги цепкой ливии у=сих: а) относительно оси х; б) относительно оси у, 25.
Уравнение у = У(х)+с, а (х( Ь, представляет семейство кривых, по одной кривой для каждого значения параметра с. Локазать, что среди кривых этого семейства яавмеиьший момент инерции отиосительио оси х имеет та кривая, центр массы которой лежит на оси абсцисс. ф 4. Простейшие задачи механики точки Наряду с геометрией, механика была той областью науки, которой в первую очередь интегральное и дифференциачьное исчисление обязано своим возникновением, Механика покоится на нескольких основных принципах, установленных Ньютоном; формулировка этих принципов требует введения понятия производной, а их использование возможно лишь с помощшо теории интегрирования. Не вдаваясь в подробный анализ основных принципов, мы поясним на простых примерах применение интегрального и дифференциального исчисления в механике.
1. Основные допущения механики. Ограничимся рассмотрением одной материальной точки, т. е. точки, в которой мы представляем себе сконцентрированной некоторую массу т; предположим, далее, что движение может происходить исключительно по некоторой заранее заданной фиксированной кривой, на которой положение материальной точки характеризуется длиной дуги з, отсчитываемой от некоторой определенной фиксированной точки кривой; в частности, речь может идти о прямой линии, на которой мы тогда вместо г вводим в качестве координаты места абсциссу х.
Движение точки характеризуется заданием криволинейной координаты г = ф (Ь) как функции от времени Ь. Под скоростью движения следует понимать производную св'(Ь) или, как мы будем также писать, 44'а — =ф (г) =з. ат Ускорением называют вторую производную 4445 и — „, =ф (г)= з.
Механика исходит из того представления, что движение материальных точек может быть объяснено или описано с помощью сил, имеющих определенную величину и направление. Второй основной закон механики Ньютона для случая движения по заданной кривой можно формулировать следующим образом: масса ги, умноженная ГЛ. Н. ПРИЛОЖЕНИЯ иа ускорение з, рияна силе, действу оигей на материальную точку ио наиравлению кривой, или, обозначая силу через Р, Направление силы поэтому всегда совпадает с направлением ускорения, так что сила направлена в сторону воарастания значений з, если скорость растет в этом направлении; в противном случае сила направлена противоположно напрзвлению з. В этом законе Ньютона содержится пока только определение понятия силы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
