1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Сказзнное выше хорошо иллюстрируется на практике индикашорлой диагра.изгой паровой машины. Надлежащим образом приспособленное механическое устройство сообщает движение перу по листу бумаги; горизонтальное перемещение пера относительно бумаги пропорционзльно пути з, пройденному поршнем от своего крайнего положения, а вертикальное смегцение пера пропорционально давлению пара и, стало быть, пропорционально полной силе р, с которой пар действует на поршень. Поэтому перо автоматически вычерчивает в известном масштабе диаграмму работы для паровой машины. Площадь этой диаграммы измеряют (обычно планиметром) и таким образом находят работу, производимую паром над поршнем. И здесь становится ясно, что наше соглашение о знаке площади (стр, 315) имеет не только чисто теоретический интерес. Действительно, иногла случается, ГЛ.
Н. ПРИЛОЖЕНИЯ что машина идет легко, что весьма расширившийся в конце хода поршня пар имеет давление более низкое, чем требуется, для того чтобы толкнуть поршень в обратный ход; это покажет на диаграмме работы петля, пробегаемая в положительном направлении; это значит, что машина вместо того, чтобы дать энергию, сама получает энергию от махового колеса. 2. Взаимное притяжение двух масс.
Одна материальная точка притягивает другую по закону тяготении Ньютона; в кзчестве первого примера мы рассмотрим работу, производимую этой силой притяжения, когда вторая точка движется по прямой, соединяющей обе точки. По закону тяготения Ньютона сила притяжения обратно пропорциональна квздрату расстояния. Пусть прктягизающая точка находится в покое в начале координат, а притягиваемая — на расстоянии г от начала; тогда притягивающая сила будет 1 .г" (г)= — Р—,, * где Р— положительная постоянная.
Работа, произведенная этой силой при перемещении второй точки от положения г до положения г,(г, положительна и равна интегралу Если посторонняя сила. противоположная притяжению, заставляет вторую точку 'удаляться от первой, от положения г до положения г, ) г, то работа, совершенная силой притяжения, выразится тем же интегралом, но теперь она будет отрицательной. Работа, произведенная посторонней движущей силой (точнее, та часть этой' работы, ;оторая затрачена на преодоление силы притяжения], имеет ту же .бсолютнукг величину, но противоположный знак: она положительна и равна )ь(11г — 1/г,). Представим себе, что конечное положение г, удаляется все дзльше и дальше в бесконечность; тогда выражение для работы будет стремиться к пределу Р!г, который мох<но рассматривать как величину работы, которую надо затратить для преодоления силы притяжения, с тем чтобы полностью удалить подвижную точку из сферы притяжения неподвижной, от положения г до «бесконечности».
Эта работа, рзвная Р(г, является очень важной физической величиной и называется потенциалом. Следовательно, потенциал опрелеляется здесь как та работа, которую требуется затратить для того, чтобы полностью отделить друг от друга две взаимно притягивающиеся точки, как, например, работа, требующаяся для того, чтобы электрон полностью вырвать из атома (ионнзационный потенциал). 3.
Растягивание пружины. В качестве второго примера рассмотрим работу, произволимую при растягивании пружины. Мы делаем ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ Ч обычное в теории упругости допущение (ср. также стр. 338), что сила, которая требуется для растягивания пружины, пропорциональна удлинению 'х пружины, т. е. р = йх, где й — постоянная. Работа, 'которую надо затратить для того, Чтобы растянуть пружину от положения равновесия х = 0 до конечного положения х = хн выражается, следовательно, интегралом ЛАД2 их г(х = —.
2 о 4. Заряжание конденсатора. Аналогично обстоит дело с понятием работы в других областях физики. Рассмотрим, например, процесс заряжания конденсатора. Обозначим через АГ количество электричества на конденсаторе, через С его емкость, через )г разность потенциалов на его обкладках. Тогда Я = Сгг. Если бы разность потенпиалов на обкладках конденсатора имела постоянное значение Ь', то работа, требующаяся для того, чтобы сообщить незаряженному конденсатору количество электричества Я, измерялась бы произведением АГЬ'.
Но так как при заряжании разность потенциалов не постоянна, а возрастает в процессе заряжания, то надо выполнить предельный переход, совершенно аналогичный проведенному нами' на стр. 348, и мы получим следующее выражение для работы, затраченной на заряжание конденсатора: ш С) 2С 2 2 где 2,22 означает полный заряд электричества, сообщенный конденсатору, а )г, — разность потенциалов на обкладках в конце процесса заряжания, ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ 22 В 1. Свойства эволюты На стр.
327 мы вывели для кривой х=х(1), у=у(Г) параметрические уравнения ее эволюты: й=х — Р, 2)=У+Р ')Г 22+ у2 1/х2+у2 Эти урзвнения дают возможность вывести некоторые интересные геометрические соотношения между данной кривой и ее эволютой. или Поэтому ру=х и рх= — у. 9 = х — ру, т1 = у+ рх[ ГЛ. Ю ПРИЛОЖЕНИЯ Для удобства примем за параметр длину дуги э, так что хг+ у' = 1, хх+ уу = О, 1 „у р х у дифференцируя, получаем: $ = х — ру — ру = — ру, т[ = у+ рх+ рх = рх (1) и, следовательно, $х+т[у= О. Отсюда —, ° —. = — 1; так как —.
= — и —. = — (угловые коэфч у у иу з х их фициенты касательных к эволюте и к кривой), то — ° — = — 1, «у ие ' их ь" т. е. касательная к эволюте и касательная к кривой в соответствующих точках взаимно перпендикулярны. Вспомним, что соответствующими являются точка кривой и центр кривизны, который лежит на эволюте и на нормали данной кривой.) Из этого вытекает: нормаль кривой является касательной к ее эволюте в центре кривизны, или: Е касательные к эволюте являются нормалями данной кривой, или же: эволюта является «огибаюгцейь семейства нормалей данной кривой (рис.
98). [Слово «огибающая» применено здесь как наглядный образ. Определение математического понятия Рис. 93. огибающей будет дано во втором томе, гл, И1, 9 5, п' 2.[ [Обратная теорема тоже верна: если нормали кривой С касаются кривой Е, то Е является эволютой кривой С. Докажем это. Пусть уравнения кривой С суть х = х(э), у = у(в), и пусть ее нормали касаются кривой Е'в точках $ = 9(з), т[= ц(в), где в-длина ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ т дуги кривой С. Тогда направляющие косинусы — у, х нормали кривой С в точке (х, у) должны равняться направляющим косинусам 4, т1 касзтельной к кривой Е в точке (с, т)), т. е.
— у= ь, х=т), откуда сх + т) у = О. (2) Обозначим через г расстояние между точками М(х, у) и РЯ, т)); так как обе эти точки лежат на нормали к кривой С в точке (х, у), то, проектируя вектор МР на осн, имеем: $ — х = — гу, т) — у = гх или я = х — гу, 21 = у+ гх, Дифференцируя последние два равенства по з, получим: й=х — гу — гу, 21=у+-гх+гх. Подстановка этих двух выражений в (2) дает г (ху — ух) = 1.
1 Следовательно, г= —...... =р. т. е. точка (й, т)) является центром ху — ух кривизны кривой С для точки (х, у). Это и подтверждает, что кривая Е валяется эволютой кривой С.) Обозначим через о длину дуги эволюты. отсчитываемую от ее любой фиксированной начальной точки; тогда ( ) — о2 еь2+ 212 Из предыдущих формул (1), так как хэ+уэ = 1, получаем о2 р2. следовательно, при надлежащем выборе направления отсчета о мы получаем (во всяком случае, пока о остается отличным от нуля) п=р. Интегрируя, получаем оо = Ру Ро Таким образом, длина дуги зволюты между дву.чя ее точками равна разности соответствуюиьих радиусов кривизны данной кривой, во всяком случае, пока р остается отличным оуи нуля вдоль рассматриваемой дуги.
Последнее условие не является излишним: действительно. если р при переходе через нуль меняет свой знак. так что радиус кривизны достигает максимума илн минимума. то равенство о =р показывает, что и и имеет максимум или минимум, и при дальнейшем двиукении 23 р. курант ГЛ. Ч. ПРИЛОЖЕНИЯ точки по эволюте длину дуги о следует не просто продолжать считать дальше, но необходимо изменить направление отсчета дуги на обратное. Если мы желаем этого избегнуть, то должны прн переходе через такую точку изменить знак в нашем равенстве, т. е. положкть теперь о= — р. Кстати, заметим без доказательства, что центры кривизны, соответствующие максимуму нлн минимуму радиуса кривизны, являются точками заострения (точками возврата) эволюты. Найденное нами геометрическое соотношение может быть выражено иначе следующим образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
