1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 72
Текст из файла (страница 72)
2 3 4 Это одно из тех соотношений, открытие которых произвело глубокое впечатление на первых исследователей в области дифференциального н интегрального исчисления. Данное выше приближенное выражение логарифма приводит к другой формуле, полезной во многих отношениях, в особенности для прнближеннык вычислений. Предполагая, что — 1 <х < 1, подставляем — х вместо х в формулу для !и!1+х); получится формула хь х' х' хл !п11 — х) = — х— 2 3 4 ьь! в' и путем вычитания, при четном и, придем к равенству 1 1+х хь х' х"-' — ! и — = х +- — + — +... + + )т,. 2 1 — х 3 5 '' л — 1 При этом остаточный член дается выражением х х у~.= 2 ()4а+)~а) =2 ~ ! (1 !+1 г)дс= ~ 1 о о ') Учение о бесконечнык ридах будет подробно изложено в гл.
4!Ш. ГЛ. УЗ, ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА из которого при значении х= 1 ~так как а!с!21 = — получается ряд 47 я 1 1 1 — = 1 — — -з — — — — -з- — ... 4 3+5 7 называемый рядом Лейбница. Этот результат столь же замечателен, как и ряд, полученный для !п 2. Упражнения хз хз хз хз 1. Доказать, что х — — + 3(1+х) < !п(1+х) <х — — + — прн 2 3 4 х > О.
Отсюда вычислить !и — с двумя знаками после запятой. 3 0 2. Вычислить !а — с тремя десятичными знаками, пользуясь рядом 5 х' хз 1п (1 + х) = х — — + — — + ... Доказать, что результат верен с точ- 2 3 костью до 0,001. 5 3. Вычислить !и — с тремя десятичными знаками, пользуясь рядом для 5 1 1+х — !и —. 2 1 — х' 4.
Сколько членов ряда для !и (1+ х) надо взять, чтобы получить !и(1+х) с точностью до 10%, если 30<;х <31? $2. Формула Тэйлора Приближенное выражение с помощью рзциональных функций, как в только что рассмотренных частных случаях, можно также получить и для произвольной функции ! (х), относительно которой предполагается только, что для всех значений аргумента из некоторого заданного замкнутого интервала она имеет непрерывные производные по крайней мере до (а + 1)-го порядка. В большинстве случаев, с которымн приходится иметь дело,. заранее известно, что производные всех порядков существуют и непрерывны, так что в качестве а можно ваять любое число натурального ряда. Формула приближенного выражения функции, которую мы сейчас выведем, была открыта в начальный период развития дифференциального и интегрального исчисления Тэйлором (Тау1ог), учеником Ньютона, и носит название формулы Тэйлора' ). 1.
Формула Тэйлора для целых рациональных функций. Для того чтобы ориентироваться в вопросе, рассмотрим сперва случай, когда функция у(х) =ар+азх+ ... +азха сама является целой рациональной функцией степени и. В этом случае можно просто вы- ') Частный случай этой формулы часто называют формулой Маклорена без всяких к тону оснований, как исторических, так и по существу. Мы ие будем следовать этому обычаю. $ к ФОРмулА тэилОРА рааить коэффициенты этого многочлена через производные от у(х) в точке х=О.
С этой целью дифференцируем наше равенство по х последовательно и раз и затем положим х=О. Таким путем получаем следующие выражения для коэффициентов: аз — — у'(0), а,=у'(0), а,= — уи(0), ..., а„= — „, уЧю(0). Следовательно, всякая целая рациональная функция степени и может быть представлена в виде хь х' к" 2 (х) = у'(0) + х2" ' (0) + — Уи (0) + — у"' (0) + ... + — У" (0). Эта формула устанавливает только, что коэффициенты можно выразить через производные в точке нуль, и дает для них эти выражения.
Это «тэйлоровское представлениеэ целой рациональной функции можно несколько обобщить. Для этого заменим х через с =х+й н будем рассматривать функцию уЯ)=У'(х+Ь)=б(й) как целую рациональную функцию степени п от Й, считая пока х постоянным числом, а й независимой переменной. Тогда а (й) =у 5), ..., к'ю(ь)=учю(Ы; следовательно, полагая й=О, получим д' (0)=у (х), ..., угю(0) =~'ю(х).
Применив нашу формулу к функции у(х+й)=б(й), которая является многочленом степени и от и, получим формулу Тэйлора: у'(а) = у'(х+ и) = = г(х)+Ау' (х)+ — у' (х)+- — )' (х)+ ... + —,у' (х).. В качестве частного случая, для функции Г(х)=х" при натуральном и получаем формулу бинома Ньютона: й)ь хе+ (и )хе-гд + + (и )хе — ьдь+ +ли где числа ( )- — — -( ) п1 п(п — 1) ... (и — А+1) и1 ( и «/ И и( — )1 ( — л! суть биномиальные коэффициенты (см. также Дополнения к гл. 1П, й 3, и'1). 2. Формула Тэйлора для любой функции. Полученнзя формула наводит на мысль искать подобное же выражение и для любой функции у(х), не только многочлена; но тогда речь может идти только о приближенном представлении данной функции с помощью много- члена.
ГЛ. ЧЬ ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА Мы хотим сравнить друг с другом значения функции у' в точке х и в точке з = х + л, где й, следовательно, равно ~ — х. Теперь выражение у(х)+я — х)г'(х)-+ ... + ~, у'" (х), где и — какое-либо натуральное число, вообще говоря, уже не дает точно значения у(з).
Мы должны поэтому положить Ы) =П )+а —.) у'( )+" „' ~ч(.)+ ". ... + (~ ~, ) Уоо(х)+Яч, (А) где так называемый остаточный член )тк означает ошибку, получающуюся при замене )' Я) многочленом Г" (х)+(З вЂ” х) у'(х)+ ... Это равенство есть не что иное, как формальное определение остаточного члена Гт,, но значение этого равенства заключается в том, что очень легко найти наглядное и удобное выражение для )т„. С этой целью представим себе величину й постоянной, а х независимой переменной; тогда остаточный член является функцией )ск (х).
Эта функции обращается в нуль при х = $, что непосредственно следует из нашего равенства, определяЮщего )ск, т. е. Лк(ь) = О. Далее путем дифференцирования по х получаем В самом деле, дифференцируя равенство (А) по х, мы слева получаем нуль, так как г Я) не зависит от х и поэтому при изменении х остается постоянной; справа мы днфференцируем все слагаемые, помимо Й„(х), как произведения и замечаем, что при этом все члены взаимно уничтожаются, кроме последнего, который перенесен на другую сторону с обратным знаком.
Но, согласно основной теореме интегрального исчисления, имеем к я„(х) =й„(х) — й„(В) = ~ й„®ж= — ~ рс'„®и. к Таким образом, мы получаем для остаточного члена выражение д ( ) ~ (э ~) уч~+н(р) ( ~ (х+ ~) у~к+и(г) у~ 1' л! $2. ФОРМУЛА тэпЛОРА 369 Введем новую переменную интегрирования т =с — х; тогда последнее выражение примет такой вид: ь = — (Г (И вЂ” с)" У'"""(х+ т) дт.
и! а е Резюмируем полученный результат: Если функция у (х) имеет в рассматриваемом интервале непрерывные производные до (п+!)-го порядка, то у(х+И) =Г" (х)+ИУ (х)+ — у (х)+ Из Ил + 3! к ( )+ ''' + и! к ( )+ или, что равносильно, при И = $ — х й — к)' у(а)=у(х)+(з — х)у'(х)+ ~, ул(х)+ ... ... +",' у'"'()+)~.. п! причем остаточный член гс„выражается формулой Л„= —, ~(й — г) Уч"~ (х+т)с(т.
о Если положим, в частности, х=О, а вместо И будем опять писать х, то получим формулу у (х) =к" (0)+ — у'(0)+ — к' '(0)+ + — у' '(0)+ ге, (В) (А) (А,) с остаточным членом к А'.= —, ! (х — )" У'"" '()4~. е (в,) 24 Р. Курллк Формула (А) и ее частный случай формула В называются формулами Тэйлора. (А) выражает у(х+И) приближенно в виде целого многочлена степени и относительно й, а формула (В) выражает У(х) с помощью многочлена степени и относительно х, с добавлением (в каждой из этих формул) остаточного члена. Упомянутый целый многочлен называется аппроксимирующим полиномом или приближающим многочленом.
Приближающий многочлен характеризуется тем, что при И=О (формула (А)] или при х=О (формула (В)) его значение и значения его первых и производных совпадают с соответствующими значениями функции и ее первых и производных. (Говорят еще, что формула (В) дает разложение функции у(х) по формуле Тэйлора в окрестности точки х = 0 (иногда прибавляют: ГЛ, Ч!. ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА зто по степеняи х), а формула (А) дает разложение той же функции у(х) по формуле Тэйлора в охрестносяги я!очки х (по степеням приращения л).) В формулах (А) и (В) остаточный член и его выражение играют существенную роль, в отличие от формул Тэйлора для целого много- члена, которые являются точными и не содержат поэтому остаточного члена. Значение этих формул состоит в том, что хотя остаточный член и имеет более сложный вид, чем другие члены формулы, но он является удобным орудием для оценки точности, с которой и+1 членов приближающего многочлена представляют У(х+л) или г(х).
"3. Другой вывод формулы Тэйлора с остаточным членом. Ладим другой вывод формулы Тэйлора, который приведет нас впоследствии к имеющей важное значение суммационной формуле Эйлера (стр. 543). Исходим из тождества в котором мы рассматриваем х и $ как фиксированные числа. Воспользуемся обобщенным правилом интегрирования произведения и положим ф(()=1, — эту функцию будем последовательно интегрировать, а второй множитель У'(г) будем последовательно дифференцировать. В качестве первообразной для !р(г) берем !р! (Г) = г — $, а не Г, с той целью, чтобы при подстановке верхнего предела она обращалась в нуль; аналогично выбираем первообразную для !р!(Г); (г — э)л !р,(Е)= и т. д, Выписываем и членов готовой части и до- 2 полнительный интегральный член: з (г — $)л (Г лл)э У () ь( ЫУ () ! У ()+ 3 У () л-! (г я)л ! ! 11 цл ~ (г ь)л (лл и и! л! Следовательно, у(а) — г( )= ~ у'(х)+ ~~, ) ул(х)+ (1 — «)л «($ — х)л ! ! л! где 1 т)л и! л 1Ыы получили ту же формулу Тэйлора.л 1 3.
ФОРмУлА тэйлОРА 4. Оценка остаточного члена. Насколько первые и + ! членов формулы Тэйлора действительно дают достаточно хорошее приближение к функции, будет, конечно,'зависеть от того, как мал остаточный член; поэтому следует сосредоточить внимание на оценке этого остаточного члена. Естественным средством для такой оценки является теорема о среднем значении из интегрального исчисления (гл. И, 9 7, стр. 155, формула (п)~. Применяем эту теорему в следующем виде: л л ~ р (с) 1р ( с) в1т = 1р (бй) ~ р ( с) 1(с, о о причем р(т) предполагается непрерывной неотрицательной функцией в промежутке интегрирования, ф(т) — только непрерывной в этом промежутке, а 6 — некоторое значение из интервала О ( б ( 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
