1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Напишем это уравнение в форме — = 3' 2 [Р (5) + с) . Ясно, что нельзя непосредственным интегрированяем получить из этого уравнения сразу 5 как функцию от г, но можно реш44ть нашу задачу, если сперва найти обратную функцию Г(5), т. е, время Г= Г(5), требующееся для того, чтобы материальная точка достигла определенного места 5. Для этой функции Г(5) имеем уравнение л'( 1 255 г' 2 (Г (5) + с! т.е, нам известна производная от функции Г(5), откуда +сь й5 )'2т()+ ) где с, означает новую постоянную интегрирования.
Выполнив это последкее интегрирование, мы получаем окончательное решение задачи, так как, хотя мы н не выразили ксэрдинату места 5 как функцию времени, но зато нашли обратное выражение времени ( как фуннции координаты места 5. То об- стоятельство, что в иагйем распоряжении еще остаются обе постоянные ин- тегрирования с, и с,, дает возможность приспособить общее решение к спе- циальным начальным условиям.
В нашем предшествующем примере упругого движения мы долины х приравнять 5, тогда У (5) = — м25 н, соответственно, 1 р' (5) ы252 2 Мы получаем, таким образом, лт 1 п5 )' 22 — 44252 и отсюда Л5 )Г2с — ы252 Этот интеграл легко вычислить, вводя в качестве новой переменной Ы5 †; ПОЛУЧИЛ4 г' 2с Г= — агсз!и — +сн ы )'2с э л пноствпшип злдлчи мнхлники точки откуда можно выразить обратную функцию з(Г); з(п ы (à — с,). 3/ 2с Мы получили нак раз тот результат, который был дан выше (стр. 339) непосредственно. На этом примере мы снова видим, каково значение постоянных интегрирования и кэким путем они должны быть определены.
Если мы, нэпример, потребуем, чтобы цри г = 0 материальная точка находилась в точке з = 0 и имела в этот момент скорость з(0) = 1, то получнл1 два уравнения: 0 = — 51П мсь )' 2с Ь 1 =)' 2с сок ыс„ откуда найдем для постоннных с, и с значения с, =0 и с =1/2. Совершенно таким же образом можно определить постоянные интегрирования с и сн задавая совершенно произвольно начальное положение з, и начальную скорость з(0) = оэ в момент (=0. Упражнения 1. Точка А движется с постоянной скоростью 1 по окружности радиуса г с центром в начале. Точка А связана с точкой В отрезном постоянной длины 1 > г; точка В может двигаться только по оси х (ср.
кривошип, шатун н поршень у паровой машины). Вычислить скорость и ускорение точки В как функции времени. 2. Материальная точка начинает двигаться из начала координат со скоростью 4 и нод действием силы тяжести скользит вдоль прямолинейной проволоки до тех пор, пока она не достигнет вертикальной прямой х = 2. Каков должен быть наклон проволоки, чтобы точка могла достичь вертикали х = 2 в кратчайшее время? 3. Материальная точка массы 1 движется по прямой линии (при отсутствии внешней силы) и встречает сопротивление, равное акт, где и — ее скорость и й — постоянная.
Найти выражения для скорости и и времени Г через з (расстояние от начального положения) и и, (начальную скорость). 4. Материальная точка единичной массы движется вдоль оси х н находится под действием силы у(х) = — жпх. а) Определить движение точки, если в момент Г = 0 она находвтсв в точке х = 0 и имеет скорость о, = 2. Показать, что при Г-ь со движущаяся точка стремится к некоторому предельному положению, и найти это положение. б) Условии остаются те же, с единственным нзменевием, что о, может иметь любое значение. Показать, что если н, > 2, то движущаяся точна удаляетСя в бесконечность при Г -ьою еСли же о, С 2, то точка колеблется около начала координат.
5. Начало прямоугольной системы координат находится в центре земного шара, радиус которого обозначим через Л. По закону тяготения Ньютона материальная точка единичной массы, находящаяся на оси у, притягивается к Земле с силой — ид()у', где Р— «гравитационная постоянная», а Л( — масса Земли (предполагается, что > > В). а) Рассчитать движение материальной точки после того, как она была отпущена в положении у, > Л, т.е. она, находясь в точке у = ум начинает падать в момент Г = О, имея начальную скорость о, = О.
б) Найти скорость, с которой материальная точка из а) досп1гнет Земли. в) Используя результат вопроса б), вычислить скорость, с которой достигнет Земли материальная точка, падающая на нее из бесконечности. ГЛ, Ю ПРИЛОЖЕНИЯ (Эта скорость равна наименьшей скорости, с которой надо выпуствть снаряд по вертикали с тем, чтобы он оставил Землю и никогда нз вернулся.) л 6'. Материальная точка массы т движется по эллипсу г = 1 — есозо ' Сила, действующая на движущуюся точку, равна ст1г' и направлена н началу (полюсу) полярной системы координат.
Описать движение точки, найти период обращения и показать, что радиус-веитор движущейся точки описывает в равные промежутки времени секторы, имеющие равные плошали. ф Б. Дальнейшие приложения. Падение материальной точки по заданной кривой 1. Общие соображения. Изложенный выше метод дает возможность особенно просто исследовать движение материальной точки, скользящей под влиянием силы тяжести, без трения, вдоль плоской кривой.
Мы рассмотрим это движение сперва в общем виде и затем на специальных случаях обыкновенного и циклоидального маятников. Выберем систему координзт х, у так, чтобы ось у была направлена вертикально вверх, т. е, противоположно направлению силы тяжести, и предположим, что кривая задана с помощью параметра д в параметрическом виде: х = ф (д) = х (6), у = ф (д) = у(д), и пусть, например, х возрастает вместе с д. Та часть кривой, по которой происходит исследуеРис.
95. мое движение, изображена на рис. 95. В каждой точке кривой на массу т движущейся частиг!ы действует сила тяжести тд, направленная вертикально вниз, т. с. в отрицательную сторону оси у. Обозначим через а угол между направлением силы тяжести и касательной к кривой; сила, действующая по направлению кривой, равна тд соз а =- — тд У т' х' +у' где с' =- — „= ф' (д), у' = — „= ф'(6). лф Заметим, что штрихом обозначена здесь ие производная по х, а производнзя по д, (у'< О, так как у убывает с возрастанием (), и правая. часть формулы имеет положительное значение, тзк же как и левая (тд соз а).
) Введя, в частности, в качестве параметра вместо 6 длину дуги з, ыы получаем для силы, действующей по направлению кривой, выра- 5 З. ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ жение — тд' —, и дифференциальное уравнение, определяющее, сову ля гласно закону Ньютона, функцию я(Г), гласит: я= — л— л'у ля Справа стоит известная функция от я, так как кривая задана, и, следовательно, величины х и у мы должны рассматривать как известные функции от я. (Положительный отсчет длины дуги я ведем вниз.! Умножая снова, как в предыдущем параграфе, обе части уравнения на я, мы получаем слева ля, т. е, производную от — я по вре- 2 2 мени 1, а справа ~ — К вЂ” я), т, е, производную от — ду по и'я " (в функции у(я) мы рассматриваем я как функцию от С), и находим интегрированием 'а — яа= — Ру+с, 2 где с есть постояннзя интегрирования.
Чтобы теперь >ке установить значение этой постоянной интегрирования, мы предполагаем, что в момент 1=0 наша материальная точка занимает на кривой место, в котором параметр 6 = Ое, а координаты суть хе — — ф(де) н уе=ф(де), ~огда как скорость движущейся точки в этот момент равна нулю, т. е. я(0) = О. Полагая выше 1= О, мы получаем — А"уз+с = О, откуда 1 2 Я = — К(у — Уо).
Теперь вместо того, чтобы рассматривать я как функцию от 1, будем искать обратную функцию Г(я) и для этой функции получаем уравн ние ЛГ 1 Ля 'г' 2А' (уо — у) При извлечении квадратного корня берем знак +, так как он должен совпадать со знаком я; мы изучаем движение на части кривой ниже точки (хе, уе), где я ) О. Интегрируя, получим ия с=с,+ ф' 2л (у — у) где с, — новая постоянная интегрирования. Справа стоит под знаком интеграла выражение, известное нам как функция от д по параметрическому заданию кривой. Введя д в качестве переменной интегрирования, получаем ~./ "+ ' ля ю ~./'+ ' лб ту"-й(у,— у) ) К 2а(у — У) Гл.
ю пРилОжения где функции х'=~р'(д), у'=ф'(д), у=ф(д) суть известные нам функции. Чтобы определить постоянную сп заметим, что при Г=О параметр должен разняться да. Поэтому наше решение принимает окончательный вид: $' 2з (Уа У) Это уравнение выражает с помощью процесса интегрирования время г, которое материальная точка затрачивает для прохождения пути от значения параметра ба до значения параметра д. Обратная функция д (г) для найденной функции г(д) дает возможность полностью описать процесс движения, ибо мы можем для каждого момента Г определить точку кривой: х=гр(б(Г)!, у=ф1о(Г)1, через которую наша движущаяся материальная точка проходит в этот момен н 2.
Исследование движения. С помощью полученных уравнений, даже не имея явного выражения для результата интегрирования, можно У уясни~ь себе общий характер движения путем простого наглядного исследования. Ф 2У Предположим, что наша кривая имеет показанную на рис. 96 форму, т. е. состоит из дуги, обращенной своей выпуклостью вниз. Пусть з возрастает слева направо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
