1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 77

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 77)

А-1 Отсюда вытекает, что при И вЂ” »1 Я, (1) < 1, а так как величины Я„составляют монотонно возрастающую последовательность, то Ялг(1) при И!-«со стремится к пределу Я, который не может быть больше единицы: 8=Ям(1)+йл1(1)<1. Переходя здесь к пределу при М-«са и учитывая, что Ош Ям(1) =8, получим А1-+са !с, (1) — «О при Л1 — «со.

Но ЯА1(И) при фиксированном И! является непрерывной и монотонно возрастающей функцией от И и, в частности, 5„(И) 8,(1). Выберем при ааданном малом значении е число 1, настолько близкое к 1, что л (1) > 1 — е/2, а затем И! — столь большое, что Йм(!) < е/2; тогда 3,(!) =а'(!) — !с„(!) > 1 — е. В результате при всяком И> 1 1 > 8, (1) " Ям(И) >! — е. йй1 дополняния к глава чг Следовательно, Юм(1) прн М вЂ” ь со стремится к 1 = й'(1), а стало быть, Йм(И) (Йзг(1) с. е.

Отсюда вытекает, что для всякого ззданного е существует такое число М, что Этот результат мы используем прн И=1 — хз, ~/1 — И=(х~ (биномнальный ряд дает положительное значение квадратного корня). Обозначим через Р„следующий многочлен степени 2М: м Р„= 1 —,'Е ра(1 — хз)з; ь-1 тогда последнее неравенство запишется так: ~ ) х ~ — Р„(х) ! < е, а это н значит, что Р„(х) есть аппроксимирующий многочлен для функции ! х ~. Но эту теорему о приближения функции х ) много- членом мы покамест доказали только для хз (1. Это ограничение хя можно устранить, полагая И = 1 — —; тогда справедливость теоремы А' ' будет непосредственно установлена для интервала — А с.х ( А сколь (х — а)' угодно большой длины 2А.

Если же положить И=1 —,, то так же- точно получим приближающий многочлен для ~ х — а ~. 3. Доказательство теоремы Вейерштрасса. С целью доказать теорему Вейерштрасса для любой непрерывной функции у (х) заменим кривую у = у (х) приближенно ломаной П, т. е.

функцию у (х) аппрокснмируем кусочно линейной функцией, Обозначим через а = х,, хю ..., х„=д абсциссы вершин ломаной П; тогда уравнение лома- ной П можно записать в следующем виде: л-~ у = ф (х) = с + ~~ ~с „1(х — х,) + ! х — х, ~ 1 м=г с надлежащим образом выбранными постоянными с, с,.

ся, ..., с,, Действительно, каждый член этой суммы, а стало быть и ф(х), является кусочно линейной н непрерывной функцией. Ломаная линия, являющаяся графиком функция ф(х), совпадет с ломаной П, если каждое прямолинейное звено первой, соответствующее частичному интервалу х, х ч. х,+н нмеет тот же утловой коэффкциент, что н соответствующее звено ломаной П, и если к тому же обе ломаные нмеют общую вершнну. Угловой коэффициент звена с номером й гл.

у1. ФОРмулА тэнлОРА равен 2 ~~'„~~ с,; поэтому надо последовательно определить коэффи- -1 циенты с так, чтобы при всяком Ь = 1, 2, ..., и — 1 эта сумма ь 2 ~ с равнялась угловому коэффициенту звена ломаной П, лежа- У 1 щего в интервале хд(х ч., ха+1, и, наконец, так выбрать постоянную с, чтобы ф(х,)=ф(а) равнялось г" (а).

Если мы зададимся произвольной границей точности е, то можно точки деления х выбрать столь частыми, что 1 г (х) — 1р(х) ) С е/2 при а (х 4Ь. Теперь можно кажлую из функций (х — х„)+! х — х,) с какой угодно точностью аппроксимировать многочленом, и в результате получится и сколь угодно точное приближение для линейной комбинации ф(х); точнее, можно найти такой многочлен Р(х), что ! 1р(х) — Р (х) ! < е/2. Для этого многочлена Р(х) ~ У(х) — Р(х) ~=! [У'(х) — 1р(х))+ (ф(х) — Р(х)) ~ ( .4 /,г (х) — 1р(х)) + !1р(х) — Р (х)~, а следовательно, ),г (х) — Р (х)) < е, что и требовалось доказать. Значение весьма общей и важной теоремы Вейерштрасса †преимущественно теоретическое, Хотя с точки зрения аппроксимации целые многочлены и являются единственным классом функций, которым можно вполне обойтись, но было бы крайне непрактично не использовать самым широким образом все алгебраические и трансцендентные функции.

Только введением этих функций обеспечивается необходимая простота и свобода движения в анализе, подобно тому как введением иррациональных чисел создается необходимая простая основа для действий анализа, хотя рациональные числа и дают в каждом случае сколь угодно точные приближения. 4. Приложения. Тригонометрические приближения. Пусть у= = 11(х) есть монотонная и непрерывная функция в интервале а ~( х (Ь, имеющая непрерывную обратную функцию х=ь(у) в интервале от р(а) = а до р(Ь) =Р; тогда преобразование у = (г(х) переводит непрерывную функцию г(х) в непрерывную функцию ~(ду)=Ь" (у). По теореме Вейерштрасса.

можно функцию у(х) =д'(у) аппроксимировать многочленами относительно у, а у= р(х)', поэтому утверждение теоремы Вейерштрасса сохраняет силу, если вместо многочленов относительно х применять многочлены относительно р(х). ДОПОЛНЕНИЯ 1< ГЛАВЕ Ч! Другой важный пример дает функция у = р(х) = сов пх, монотонно убывающая в интервале 0 ~(х~(1 от значения а= 1 до р = — 1. Так как степени функции сових можно выразить как линейные комбинации функций 1, созпх, соз2пх, ..., то получается слелующий результат: Всякую функцию у(х), непрерывную в промежутке 0 (х (1, можно с какой угодно точностью е представить приближенно «тригонометрическим многочлеиом», т.

е. выражением вида ае+ассозпх+ 61з1ппх+.... +а„созплх+Ь„Е1ппах, причем здесь 6„ = О. для четной функции д'( — х) = А"(х) это приближение сохраняет силу и в иитервале — 1 ~ х~(0, так как созпих — четная функция. Эта же теорема справедлива и для нечетной непрерывной функции и(х) = — а ( — х), если предположить, что ие только и (0) =О (что обязательно для непрерывной нечетной функции], но и а(1) =О. Действительно, сначала можно аппроксимировать и(х) с какой угодно точностью функцией х — б и(у), где у= — при Ь (х (1 — Ь, 0 при 0 (х~(Ь и 1 — Ь~(х~(1, — о( — х) при — 1 ~(х ~(0, о (х) = если взять достаточно малое положительное число Ь. (о(х) построена так, что оиа еечетпа и непрерывна при — 1 ~(х (1.) Тогда —.

о (х) з!и пх является четной функцией, и ее можно аппроксимировать с какой угодно точностью тригонометрическим полипомом. Так как произведение тригонометрического многочлена на з!ппх есть опять тригопометрический миогочлен, то наша теорема справедлива и для нечетной функции сс(х). Всякая функция у(х), непрерывная в иитервале — 1~(Х~~1 и удовлетворяющая условию у( — 1) =у(+1), является суммой четной функции 4'(х) = — (с (х) + г ( — х)1 1 нечетной функции и(х) = — (с'(х) — сг( — х)1 1 2 причем и(0) = и(1) =О. Например, если г — любое положительное число, то функцию у (х) можно в интервале 0 ~( х «(! аппроксимировать с какой угодно точностью функциями вида се+ с1х~ + сзхю + ' ' + сих ГЛ. Щ. ФОРМУЛА ТЭИЛОРА Отсюда вытекает следующий важный результат: Всякую функцию )'(х), непрерывную в интервале — 1 (х~(1 и удовлетворяющую условию г ( — 1) = У(+1), можно аппроксимировать с какой угодно точностью тригонометрическим многочленом.

й 4. Задача интерполирования и ее связь с формулой Тэйлора Формулу Тэйлора можно рассматривать как предельный случай общей формулы интерполирования, которая сама по себе имеет важное теоретическое и практическое значение. 1. Постановка задачи и предварительные замечания. Начнем с решения следующей задачи: требуется определить многочлен, т. е. целую рациональную функцию Ф(х) степени не выше а, который в данных л.+1 различных точках хз, х,, ..., х„принимает соответственно заданные значения УФ уо ..., у„, т. е. ф (хз) = уз, ф (х,) = Л, ..., ф (х,) = Г „.

Если числа Л даны как значения Л =у(х,), принимаемые какой-то заданной функцией у(х) в точках х=хн то многочлен ф(х) или Ф,(х) называется интерполлционным многочленом л-й степени этой функции у(х) для точек хз, х,, ..., х„. ,Прежде всего заметим, что такой многочлен и-й степени может существовать, самое большее, только один.

Действительно, если ф(х) и ф(х) — два многочлена такого рода, то их разность й(х)= =Ф(х) — ф(х) является многочленом степени и или ниже, который обращается в нуль в различных точках хн хм .. „Х„( следовательно, по известной теореме алгебры имеем О (х) Сз (х х|) (х хг), (х х~) Но так как и Й(хз) =О, т. е. Сз(хо х1)(хо хг) ° (хо х ) = О то отсюда следует (ввиду того, что по условию все значения хз, хп ..., х, различны между собой), что постоянная Се=О, и, следовательно, многочлен О(х) тождественно равен нулю.

Тем самым доказана однозначность интерполирующего многочлена. Однозначность интерполирующего многочлена можно доказать еще и другим способом, опираясь на обобщенную теорему Ролла (стр. 129). Применяя эту теорему к разности Р(х)=0(х)=Ф(х) — ф(х), которая по условию является многочленом степени л, обращающимся в нуль в л+1 точках, мы заключаем, что л-я производная 0 (х), обращается в нуль в некоторой точке $ интервала.

Но эта производная равна и1Сз, следовательно, Се=О, т. е. разность представляет многочлен (и — 1)-й степени, обращающийся в нуль в наших и+1 точках. Применяя обобщенную теорему Ролла к этому много- ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ Щ члену, убеждаемся, что С, = 0; продолжая таким же путем, шаг за шагом обнаруживаем, что и все остальные коэффициенты много- члена 0(х) равны нулю, что и выражает однозначность ннтерполяционного многочлена. Полученные результаты легко обобщить на тот случай, когда некоторое число г значений х„ совпадает, например: хз = х, = ...

... = х,, Тогда в условии интерполяционной задачи надо задать значения ф(х) и ее производных гр'(х), ф" (х)...., ~1О-п(х) прн х = хо и значения самой функции ф(х) в остальных точках х„х,„,,... ..., х„. Разность двух многочленов имеет теперь вид 0(х)= ь с(х — хз)'(х — х,)... Однозначность интерполяционного многочлена доказывается любым из двух примененных методов. 2. Построение решения. Интерполяцноиная формула Ньютона. Переходим теперь к построению интерполяционного многочлена и-й степени ф(х), удовлетворяющего следующим требованиям: ф(хз) =уз, ф(х,)=л, ..., ф(х„)=У'„. Чтобы постепенно, шаг за шагом построить этот многочлен. будем исходить из постоянной у, много- члена «нулевой степени», который всюду, а значит и при х=х„ имеет значение го=Аз.

Характеристики

Список файлов книги