1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 84

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 84)

1 1 1 2 3 4 Действительно, 1 1 1 1 1 он+...+агп= + . + — > — +...+ — = —. л + 1 ''' 2л 2л ''' 2л 2 ' Ввиду того, что л и т = 2л можно взять произвольно большими, ряд рас- ходится, так как не выполняется критерий Коши, При этом л-я частичная сумма может только стремиться к бесконечности, так как все члены ряда положительны.

Напротив, ряд с чередующимися знаками (знакочередую- щийся рял), составленный из тех же чисел: !)и-1 1 — — + — — — + — —...+ +..., 2 3 4 5 ''' л сходится, и сумма его равна 1п2 (см. гл. Ч!, стр. 364). ГЛ, Чп!. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ Расходимость ряда не всегда выражается в том, что з„с возра. станием и стремится к +со или — со. Так, у ряда 1 — 1+1 — 1+1 — 1+ —... мы видим, что з„поочередно принимает значения 1 и О, и в силу этого колебания от одного значения к другому г„не стремится к определенному пределу и не возрастает безгранично по абсолютной величине.

Еще одно, правда, очевидное, но принципиально важное замечание по поводу сходимости или расходимости бесконечного ряда; сходимость или расходимость ряда не нарушается, если к ряду приписать или убрать от него конечное число членов. Следовательно, в отношении вопроса о сходимостн или расходимости ряда совершенно безразлично, начинаем ли мы ряд с ао, или с а,, или с а, или же с любого другого члена.

2. Сложение сходящихся рядов и умножеяие сходящегося ряда на число. Ясно, что два сходящихся ряда а, +а,+ ... =5 и в!+1)т+ ... =Т можно почленно сложить нли вычесть, т. е. ряд, составленный из членов с„= а„+ Ь„, сходится и сумма его равна 8+ Т. В самом леле'), и п л л'.1С„=~а»+ лил))»- В+Т (И- СО). »-1 »-! »-1 Ясно также, что если умножить каждый член сходящегося ряда на одно и то же число, то ряд остается сходящимся и его сумма умножится на это число. 3. Абсолютная и условная сходимость.

Ряд, составленный из чисел 1, 1/2, 1/3, 114, ..., расходится, если все его члены имеют положительные знаки, и сходится, если знаки членов чередуются. По-нному обстоит дело у геометрического ряда, где при О (!у(1 ии ии Ът и и 1 и одновременно с рядом д ( — 1) д = 1 сходится и ряд ~ !у, 1+в и-о и.о 1 имеющий сумму —. 1 — в' Здесь обнаруживается различие, которое мы должны несколько ближе изучить. Для ряда, все члены которого положительны, возможны, очевидно, только два случая: либо ряд сходится, либо частичные суммы з„неограниченно возрастают с возрастанием и. В самом деле, частичные суммы представляют монотонно возрастающую последовательность н, следовательно, должны сходит.;я, если только остаются ограниченными.

Сходимость имеет место в том случае, когда члены ряда с возрастанием п достаточно быстро стремятся ') Эта теорема о сложении рядов представляет лишь другую формулировку теоремы. предел суммы двух слагаемых равен сумме их пределов % 1. ПОНЯТИЕ СХОДИМОСТИ И РАСХОДИМОСТИ к нулю; расходимость же — в том случае, когда члены вообще не стремятся к нулю или же слишком медленно стремятся к нулю. Но у рядов, члены которых частью положительны, частью отриндтельны, сходимость может быть обусловлена этим различием знаков, именно, слишком быстрое возрастание частичных сумм, вызванное положительными членами, компенсируется отрицательными членами, так что в конечном счете частичггые суммы стремятся к некоторому пределу.

Чтобы лучше уяснить себе это обстоятельство, сопоставим с рядом ~~'., а„имеющим как положительные, так и отрицательные члены, т-1 ряд абсолютных величии его членов, т. е. ряд ! а,)+) аа)+ ... = ~~'.,) а,!. Если последний ряд сходится, то при достаточно большом значении и и любом т > н выражение )а„41)+~а„4а)+ ... +~а ! будет сколь угодно малым; поэтому, в силу соотношения )а„,г+ ... +а )~((а„„,)+ ...

-+)а ), выражение в левой части этого неравенства также будет сколь угодно малым; следовательно, обязательно сходится и первоначальный ряд. В этом случае ряд ~ а„называется абсолютно сходящимся. Схот-1 димость его обусловливается малостью абсолютных величин его членов и не зависит от распределения знаков. Если же ряд из абсолютных величин расходится, а первоначальный ряд сходится, то этот ряд называется условно сходящимся. Сходимость в этом случае является следствием компенсаций, получающихся благодаря различию знаков.

4. Знакочередующиеся ряды и признак сходимости Лейбница. Для распознавания условной сходнмости приведем здесь только признак сходимости Лейбница, относящийся к знакочередующимся рядам. Так называются ряды, у которых соседние члены всегда имеют противоположные знаки. Если а знакочередующемся ряде абсолютное значение ~а„! с возраслганием а стремится монотонно к нулю (тан что ( а„4, ( < ~ а„(). то ряд ~ а, сходится. Примером может ! служить ряд Лейбница (стр. 366). Для доказательства. запишем наш ряд в виде да+да д4+ ГЛ.

ЧН!. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ где все числа Ь„положительны, удовлетворяют условию Ь„, < Ь„ и Ь„стремится к нулю. Группируя члены следующими двумя способами: Ь, — (Ьт — Ьз) — (Ь, — Ьз) — ... и (Ь вЂ” Ья) -т- (Ь1 — Ь ) + (Ьв — Ьа) + мы непосредственно замечаем, что частичные суммы удовлетворяют следующим соотношениям; > ВЗ > За » ' ' ' Вям41 > ' ая < З4 < За « ' .

Вал < С дРУгой стоРоны, вя < вв +, < в, и вяж.„> вьл > зя. Следовательно, частичные суммы с нечетныии индексами образуют монотонно убывающую последовательность чисел. которые. однако, всегда остаются больше чем вя; позтому зта последовательность стремится к некоторому пределу 0 (см. стр. 84). Подобным же образом частичные суммы с четными индексами вя, г4, ва, ... образуют монотонно возрастающую последовательность чисел, которые во всяком случае меньше постоянного числа з,; следовательно, зта последовательность должна иметь пРедел 0'.

Так как Разность зя„+, — вял = Ья„+1 стРемится с возрастанием и к нулю, то 0 = 0'. Таким образом, те и ва ал зл в. .Ъ з, зл Ъ $ Рис. 113, другие частичные суммы стремятся к одному и тому же пределу, который мы теперь обозначим через 8 (рис. 113). Но это означает, что паш ряд сходится и сумма его равна О'. Из написанных выше двух цепей неравенств нетрудно вывести следующее предложение: сумма знакочередующегося ряда, сходящегося по признаку Лейбница.

заключена между любыми двумя его соседними частичными суммами, например между в, =Ь, и гм между вя и за, вообще, между га и за+и 6. Коренное разлмчие между абсолютно и условно сходящимися рядами. В заключение сделаем еще одно общее замечание о коренном различии между абсолютно и условно сходящимися рядами. Рассмотрим сходящийся ряд ~~~~~ а, обозначим положительные .1 члены етого ряда по порядку через рн рв, рз, ..., а отрицательные чеРез — 1)1, — дя, — дз, ...

Если составим и-ю частичнУю сУммУ л данного ряда з„ = ~~'.~~ а,, то среди ее слагаемых встретится некотол 1 рое число, скажем п', положительных и некоторое число, скажем и", отрицательных членов, причем и'+ил=и; далее, при неограниченном возрастании и будут неограниченно возрастать и числа и' и п", З !. понятия сходнмости и влсходнмости 433 если только наш ряд содержит бесконечно большое число как положительных, так и отрицательных членов. Частичная сумма з„, очевидно, просто равна частичной сумме ~ р„ряда положительных . ! Л' членов, сложенной с частичной суммой — ~~'~, о, ряда отрицательных т членов.

Если заданный ряд сходится абсолютно, то непременно сходится и ряд положительных членов ~.", р и рид абсолютных величин 1 отрицательных членов ~ !т . В самом деле, частичные суммы ~'., р т-! т=! и д, д„представляют две последовательности чисел, монотонно аозт ! растающие вместе с т и ограниченные сверху числом ~ ! а, ). Сле. т ! довательно, сумма абсолютно сходящегося ряда равна сумме ряда, составленного только из его положительных членов, и ряда, составленного только из его отрицательных членов; иными словами: сумма такого ряда равна разности сумм двух рядов ь Л' Л" с положительными членами.

Действительно, ~~'., ат = ~~'., р,— ~л Чт; т-! т-! т с возрастанием и неограниченно возрастают также и' и и"; следовательно, предел левой части должен равняться разности пределов обеих сумм справа. Если ряд содержит только конечное число членов определенного знака, то положение соответствующим образом упрощается.

Если же данный ряд не абсолютно, но только условно сходящийся, то оба ряла,,"~ р и ~~'.,'!т, необходимо должны быть расходящимися. ч-! т 1 В самом леле, если бы оба ряда были сходящимися, то данный ряд был бы абсолютно сходящимся, что противоречит условию. Если бы только одни из рядов, скажем ~ р, был расходящимся, а другой т-! Р ь" был бы сходящимся, то, как следует из формулы е„=~а'.! р — ~~'.! б, т ! т-1 данный ряд вообще не был бы сходящимся; в самом деле, с возрап' станием и число и' и ~ р, неограниченно возрастают, в то время ь ! л" как ~~р~ О, стремится к определенному пределу, поэтому частичная ч.= ! ь сумма ~ а„с возрастанием и должна неограниченно возрасгать.

Характеристики

Список файлов книги