1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 90
Текст из файла (страница 90)
$5. Степенные ряды Среди рядов функций наиболее важное значение имеют степенные ряды. Под степенным рядом разумеют ряд вида Р(х) = со+с,х+с,х'+ ... =- ~чЗ~ с,хь ь.-о («степенной ряд относительно х») или ряд более общего вида (степенной ряд относительно х — хо): Р(х — хо) = со+с,(х — хо)+со(х — хо) + ... = ~ са(х — хо)а, ь-о где хо — постоянное число. Если в последнем ряде ввести в качестве новой независимой переменной х — хо =П то ряд перейдет в степенной ряд .~~~ сьс относительно переменной П поэтому можно, не а-о нарушая общности, ограничиться рассмотрением степенных рядов более частного вида ~~", сьх".
а-о Мы уже в гл. Н1 подробно рассмотрели вопрос о приближенном выражении функций с помощью целых рациональных функций, и это ГЛ. ЧПЬ БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ нас привело к разложению функций в ряд Тэйлора, который, конечно, представляет собой степенной ряд. В этом параграфе мы займемся изучением степенных рядов самих по себе и получим таким путем новые и во многих отношениях более простые и удобные подходы к разложению в ряд наиболее важных функций. 1. Сходимость степенного ряда. Существуют степенные ряды, которые расходятся при всех значениях х, аа исключением, конечно, значения х = О, например ряд х+ 2гхг+ Згхг+... + и"х»+...; действительно, если х чь О, то всегда можно найти такое натуральное число М, что (х~) 1/Дг; тогда все члены и"х" при п)1ч' по абсолютной величине больше 1 и даже с возрастанием и неограниченно возрастают, между тем как члены сходящегося ряда должны стремиться к нулю. С другой стороны, существуют степенные ряды, сходящиеся при любом значении х, например степенной ряд для показательной функции х' х' е =1+х+ — + — + 21 3! сходимость которого при всяком значении х непосредственно вытекает из критерия 1!Иа) Я 2, и' 2); в самом деле, прн делении х 1п + 1)-го члена на п-й получаем — , и это частное всегда стрел+1 ' мится с возрастанием п к нулю, каково бы ни было значение х.
Характер сходимости степенных рядов описывается следующей основной теоремой: Если степенной ряд сходится при некотором значении х = $, то он абсолютно сходится при всяком значении х, для которого ) х ) ( ~ $ ~, и сходимость будет равномерной во всяком интервале 1х) (х1, где х,— любое положительное число, меньшее, чем ) $ ~, Впрочем, х, может быть взят сколь угодно близким к 4 г,'1 Доказательство очень простое.
Если ряд „'~~~ с»й» сходится. то члены »-о его с воарастанием я должны стремиться к нулю; следовательно, они непременно по абсолютной величине меньше некоторого не аависящего от А числа М, т. е. )сД')(М. Воаьмем теперь постоянное число д, удовлетворяющее условиям О ( о ( 1, и ограничим изменение х интервалом ~х~ (д)$~; тогда ~ с»х»1(1сД~)д~( М4».
Итак. ОЭ члены нашего ряда хг с»х в этом интервале по абсолютному анаь о чению меньше членов сходящегося геометрического ряда М,~'.~, д», »-о состоящего из постоянных положительных чисел. Отсюда непосредственно вытекает на основании теоремы $4, п' 2, абсолютная и равномерная сходимость в интервале — д~ Б ) (х(й~ э ~. а Б. степенные Ряды 461 Если степенной ряд сходится не всюду, т.
е. если существует значение х = Ь, при котором ряд расходится, то ряд непременно расходится и при всяком значении х, при котором [ х[ ) [$[. Действительно, если бы ряд при таком значении х сходился, то на основании только что доказанной теоремы ряд должен был бы сходиться и при значении Е, которое по абсолютному значению меньше чем л. Отсюда видно, что если степенной ряд сходится по крайней мере при одном значении х, отличном от нуля, и расходится по крайней мере при одном значении х, то он имеет интервал сходимости, т.
е. существует определенное положительное число р такого рода, что при [х [) р ряд расходится, при [х [(р ряд сходится, и притом абсолютно; относительно [х[=р мы не можем сделать заранее никаких общих утверждений. Предельные случаи, когда ряд сходится только при значении х = О или сходится при всех значениях х, мы символически выражаем записью р=О или р=со. [Итак, интервал сходимости таков: — р(х(р. Само число р называется радиусом сходимости степенного ряда. Сходимость является равномерной в любом замкнутом промежутке, содержащемся целиком внутри интервала сходимости.[') Например, для геометрического ряда 1 +х +х'+ ...
значение р равно 1; иа концах интервала сходнмостя этот ряд расходится, Подобным же образом для ряда хл х' агс!дх=х — — + — — + ..„ 3 5 с которым мы познакомились в гл. Ч! (стр. 355), р=1; иа обоих концах интервала сходимости, т. е. когда [х ! = 1, ряд сходится, что сразу видно по признаку сходнмостн Лейбница (стр. 431). В качестве следствия равномерной сходимости отметим важное положение, что степенной ряд внутри своего промежутка сходимости представляет непрерывную функцию [т. е.
сумма его есть непрерывная функция). ') Можно указать простое правило для определения радиуса сходнмости л по козффнциентам са степенного ряда. Вели существует предел Ищ г'[ел[, л-Ьлл то 1 р л Ит г'[ел[ л-ьсо В общем случае р выражается формулой 1 Р Ищ г' [с„[ (где Ищ есть символ верхней точки сгущения, введенный на стр. 85). гл. щп. ьесконечные виды 462 2.
Интегрирование и дифференцирование степенных радов. В силу равномерной сходимости степенной рнд у (х) = ~ч'., с»х» »-о всегда можно почленно интегрировать в любом замкнутом промежутке, целиком лежащем внутри его интервала сходимости. Таким образом получаем функцию Р(х) =с+ ага " х»+', »-и для которой р'(х) = у (х).
Заметим кстати, что ~ » 1 ~ < с» при всех значениях !г; следос» вательно, ряд, полученный почленным интегрированием, сходится (даже абсолютно) много быстрее, чем первоначальный степенной ряд. Степенной рнд можно также павленко дифференцировать внутри его промежутка сходимости и таким образом получить равенство у'(х) = ~ йс»х »-1 Чтобы доказать правильность етого утверждения, достаточно только показать, что степенной ряд, полученный дифференцированием, сходится равномерно, коль скоро х ограничен интервалом, который целиком лежит внутри промежутка сходимости.
Выберем какое-либо положительное число $<р, так что ряд ~ с»з» сходится (число й «-о может лежать как угодно близко к р). Тогда, как мы видели выше, все числа ! с»С«! будут меньше некоторого числа М, не зависящего от !г, так что ~ с»с ~ < — =М. Пусть теперь д — любое число, М удовлетворяющее условию 0 < ») < !. Если мы ограничим х интервалом (х! «)й, то члены ряда, полученного дифференцированием, по абсолютной величине меньше членов ряда ~ (йс»д« '$» '( и, следо- »-1 вательно, меньше членов ряда ~~'„МАд» '.
Но в атом ряде отпоше- »-1 и -1-1 ние (п+1)-го члена к п-у равно — д. Оно стремится с возрастанием п к пределу д. Так как 0 < д < 1, то по признаку сходи- мости (1!!а) (стр. 439) этот ряд с положительными и не зависящими $ Б. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ от х членами сходится. Следовательно, степенной ряд, полученный дифференцированием, сходится равномерно и представляет поэтому„ согласно теореме предыдущего параграфа, производную у' (х) от функции 1'(х); тем самым наше утвержление доказано.
Применяя этот результат снова к степенному ряду )'(х)= ~~ (гс»х -', »-1 получаем путем почленного дифференцирования Гл(х) = ~ я(1» — -1)с»х» г » 2 продолжая таким образом дальше, приходим к следующей общей теореме: осиная фуннпия, выражаемая с по.иои(ью степенного ряда, имеет внутри промежутка сходимостп производные любого порядка, и эти производныв можно получить почлвнным диффвренлированивм данного ряда'). 3. Действия над степенными ридами. Свойствами степенных рядов, выраженными в предыдущих теоремах, объясняется тот факт, что со степенными рядами можно оперировать так же, как с целыми рациональными функциями. Само собой понятно (см. стр. 430), что сложение и вычитание степенных рядов производятся путем сложения и вычитания соответствующих коэффициентов. Подобным же образом очевидно, что умножение степенного ряда на постоянный множитель производится, как н у всякого сходящегося ряда, путем умножения каждого члена в отдельности на этот множитель.
Умножение и деление двух степенных рядов требуют уже несколько более детального рассмотрения, которое дается в Дополнениях к этой главе, Здесь я только отмечу без доказательства, что два степенных ряла у'(х) = ~ а„х и д (х) = ~~'~ Ь»х »-в »-о перемножают, как целые.рациональные функции. Точнее это правило выражается следующей т е о р е м о й; ') В качестве явного вырвжеиия и-й производной получаем У 1(х) = ~ » (л — 1) ... (Л вЂ” и+1) с»х » л илн, в несколько иной форме, СΠ— — ( ) с»х" "= ~) ( + ) с»»лх». » л »-О Эти две формулы часто применяются.
ГЛ. У!и. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ Произведение двух написанных выше степеннмх рядов выражается е общей части интервалов сходимости обоих рядов е аиде нового степенного ряда ~~~~~ сьхь, ь-о иовффиииенты сь которого даются формулами: со = 'годо с, =аоЬ, +а,Ьо, со — — афо + а Ь, + подо, сь — — аоЬь + а,Ь„; +... + аьЬ, (доказательство дано з Дополнениях к этой главе, $ 1). 4. Теорема об однозначности разложения в степенной ряд. Для теории степенных рядов имеет важное значение следующий факт: если относительно двух степенных рядов ~ч„'', а„х" и ч.", Ь„хь ь-о ь-о известно, что они сходятся в общем промежутке, содержащем точку х = О внутри себя, и з этом промежутке представляют одну и ту же функцию У(х), то они тождественны, т. е.
при любом п имеет место равенство а„=Ь„. Иными словами: Если функиия г'(хе) разложима в степенной ряд, то вто возможно только единственным образом. Короче: разложение функции з степенной ряд однозначно. Для доказательства этого факта достаточно только заметить, что разность этих двух рядов, т. е. степенной ряд гр(х) = ~ч'.~ с„х' ь-о с коэффициентами сь —— аь — Ь„, имеет во всем промежутке значение О, т. е.
представляет функцию !р(х) =О. Следовательно, при х=О значение последнего степенного ряда равно нулю, т. е. со=О. и потому ао — — Ьо. Дифференцируя этот степенной ряд внутри проМежутка сходимости и замечая. что производная гр' (х) также всюду равна нулю, мы получаем, что и степенной ряд ~ йсьхь ' л-! постоянно равен нулю, откуда, в частности, при х = О следует, что с, = О или а, = ЬР Мы можем продолжать, таким образом, повторно э а. идзложзннн эвикции в стзпвнныи виды 4бб дифференцировать и, полагая затем х= О, находим, что все коэффициенты сз исчезают, а это и нужно было доказать. Добавим еще, что из наших рассуждений можно извлечь следующий вывод. Если продифференцировать ряд /(х) = ~.", а„ха а-о м раз и затем положить х=О, то мы тотчас же получим а„= —, у'<а) (0), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
